函数的奇偶性教学设计
函
数
的
奇
偶
性
学院:数学与信息科学学院
班级:应数一班
学号:
姓名:刘德粉 1101114213
函数的奇偶性
一、教材分析
“奇偶性”是人教A 版必修1第一章“集合与函数概念”的第3节“函数的基本性质”的第2小节。
奇偶性是函数的一条重要性质,从知识结构看,它既是函数概念的拓展和深化,又为是续研究指数函数、对数函数、幂函数、三角函数的基础。因此,本节课起着承上启下的重要作用。
学习奇偶性,能使学生再次体会到数形结合思想,初步学会用数学的眼光看待事物,感受数学的对称美。
二、学情分析
从学生的认知基础看,学生在初中已经学习了轴对称图形和中心对称图形,并且有了一定数量的简单函数的储备。同时,刚刚学习了函数单调性,积累了研究函数的基本方法与初步经验。
从学生的思维发展看,高一学生思维能力正在由形象经验型向抽象理论型转变,能够用假设、推理来思考和解决问题。但是,学生看待问题还是静止的、片面的,抽象概括能力比较薄弱,这对建构奇偶性的概念造成了一定的困难。
三、教学目标
【知识与技能】
1、能正确理解和掌握奇函数和偶函数的定义,进而理解函数的奇偶性。
2、能学会初步判断函数的奇偶性。
3、能运用函数奇偶性的代数特征和几何意义解决一些简单的问题。
【过程与方法】
经历观察、探索、发现、探究等教学过程,强化学生的分析,归纳和探究能力。
【情感、态度与价值观】
了解“恒等变形”、“数形结合”和“合理分类”的数学思想在解决函数问题上的应用,感受数学的对称美。
四、教学重点和难点
重点:1、正确理解和掌握奇函数和偶函数的定义;
2、掌握判定函数奇偶性的方法和步骤;
3、理解奇偶函数的分类。
难点:1、对奇偶函数下定义时,数学符号语言的提炼过程;
2、结合函数的其他性质解变形题和简单综合题。
五、教学方法
采用“导、探”式教学,学生合作交流。
六、教学手段
导学案、课本、PPT 课件。
七、教学过程
(一)创设情境,导入新课
1、从形到数——引入(1)
温故:复习初中几何学过的轴对称图形和中心对称图形
知新:由上述两种图形引导学生研究f(x)和f(-x)的关系
2、从具体到抽象——引入(2)
从研究具体函数的的求值问题入手:
(1) 已知f(x)=-4x4+x2-2,求f(-x);
(2) 已知g(x)=x3, 求g(-x);
(3) 已知h(x)=x2+x+4, 求h(-x).
从研究上述问题的结果提出问题:“当自变量互为相反数时,两个函数值之间有何关系?”从而揭示出以下规律:
(1) 当x ∈M (定义域)时,有-x ∈M , 且f(-x)=f(x);
(2) 当x ∈M (定义域)时,有-x ∈M , 且g(-x)=-g(x);
(3) 当x ∈M (定义域)时,有-x ∈M , 且h(-x)≠h(x)且h(-x)≠-h(x). 由此可知,(1)(2)中的函数f(x)和g(x)时具有特殊性质的函数,函数的这种性质称为函数的奇偶性,而这两个函数分别称为偶函数和奇函数,这便是本节所要学习的内容。
(二)给出定义,学会判断
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。
一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x ,都有f(-x)=f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。
教师解释定义中的词语、符号、式子所代表的内在含义,突出概念的关键属性,使学生领会概念的内涵。
在讲解定义时,教师要强调x 的任意性,且x 属于定义域的同时,-x 也属于定义域,然后再判断f(-x)与f(x)的大小关系。
请同学们研究下面的问题:
例1、 判断下列函数是否具有奇偶性:
(1) f(x)=2x2 (2)f(x)=x3 (3)f(x)=x+1
(4) f(x)=x3(x∈R,x ≠1) (5) f(x)=x3(x∈[0,∞))
(6) f(x)=0(x∈(-a,a)) (7) f(x)=0(x∈(-a,a])
学生活动:尝试独立解答习题。
教师活动:提问学生,并引导学生归纳出注意点,主要强调研究函数奇偶性的前提是定义域关于原点对称这一重点。
设计意图:给出新概念后,通过具体的例子让学生对该概念有个初步的理解,学会判断。
(三)探研问题,加深理解
例2、画出下列函数的图像:
(1)f(x)=2x2 (2)f(x)=x3 (3)f(x)=x+1 (4)f(x)=0
由四个学生上黑板画图,其他学生独立画图。老师对四个图像进行讲评,纠正错误,并给与鼓励,引导学生发现奇偶函数对应的几何意义:
偶函数的图像关于y 轴对称,奇函数的图像关于原点对称,非奇非偶函数既不关于y 轴对称又不关于原点对称,既奇又偶函数既关于原点对称又关于y 轴对称。
同时说明f(x)=0是既奇又偶函数,但既奇又偶函数有很多,都是f(x)=0,但它的定义域只要关于原点对称即可。
例3、如图是函数f(x)=x+x3的一部分,你能根据f(x)的奇偶性画出它在y 轴左边的图象吗
?
由一个学生代表讲述,老师点评。
设计意图:考察学生综合运用奇函数的代数特征和几何意义解决问题,培养学生的应用意识和动手操作能力。
(四)深化拓广,巩固提高
例4、判断下列函数的奇偶性:
11 (2)f(x)=2 x x (1)f(x)=x+
2x 3+2x -x 2
(3)f(x)= (4)f(x)= x +1|x -2|+x
学生活动:分组讨论
教师活动:提问小组成员,讲评学生的回答,最后打开PPT ,出示问题,强调解题格式,板演解题过程,带领学生归纳解题步骤:
首先,确定函数的定义域,并判断其定义域是否关于原点对称;
其次,确定f(x)与f(x)的关系;
最后,得出相应的结论。
设计意图:及时巩固所学的新知,通过例题,使学生在学习新知识的同时能加以应用,使学生体验到学习数学过程中的成就感。
(五)归纳小结,揭示规律
学习了奇偶函数的定义后,要确定函数奇偶性的基本步骤是什么?
要注意什么问题?
(1)首先要观察函数f(x)的定义域M ,如果M 不关于原点对称,则f(x)非奇非偶;
(2)如果M 关于原点对称,再计算f(-x);
(3)若仅有f(-x)=-f(x),则f(x)是奇函数;
若仅有f(-x)=f(x), 则f(x)是偶函数;
若f(-x)=-f(x)且f(-x)=f(x),则f(x)既是奇函数又是偶函数;
若f(-x) f(x)且f(-x)=f(x),则f(x)非奇非偶。
(4)若f(x)的表达式比较复杂,则要设法运用恒等变形,把f(x)化为易知其奇偶性的形式来判别;
若变形后的函数式f(x)=0(定义域关于原点对称),则f(x)既奇又偶。综上所述,以奇偶性分类,四种函数之间的关系可用下图表示:
既
奇
又
奇函数 偶 偶函数
函
非奇非偶函数
(六) 布置作业,跟进学习
必做题:课本第36页练习第1-2题。
选做题:课本第39页习题1.3A 组第6题。
思考题:课本第39页习题1.3B 组第3题。
设计意图:面向全体学生,注重个人差异,加强作业的针对性,对学生进行分层作业,既使学生掌握基础知识,又使学有余力的学生有所提高,进一步达到不同的人在数学上得到不同的发展。