复合命题教案

命题逻辑

第一节 命题概说

逻辑是研究推理有效性的。命题是构成推理的最小单位，或者说，推理由命题组成。因此，在研究推理之前，首先要了解命题。

一、什么是命题？

命题是反映事物情况的思维形态。事物总是具有或不具有某种性质或关系，总是处于某种情况之中，而且事物情况之间又具有或不具有某种联系。所有这些事物情况，反映在人的头脑中，通过语言文字构成的语句表达出来，就形成了各种命题。例如：

① 杜甫是伟大的诗人。

② 一个人只有贪污，才会犯罪。

③ 印度洋比太平洋的面积大。

④ 如果天下雨，那么马路湿。

这些语句在语法上是陈述句，它们陈述了不同的事物情况，直接表达了不同的命题。既然陈述句表达的命题是对事物情况的反映，这种反映就有是否符合实际的问题。凡是符合实际的命题就是真命题，凡是不符合实际的命题就是假命题。①、④是真命题，①、③是假命题。真和假是命题的基本性质，也是逻辑学最重要的概念。逻辑学把真和假称为命题的真值，就我们目前所研究的命题逻辑而言，命题的真值范围只有真和假两个值，任一命题要么真，要么假，既不能既真又假，也不能既不真也不假。

二．命题与语句的关系

命题和语句既有联系又有区别。命题必须用语句来表达，这一点很明确。那么大家考虑：所有的语句都是命题吗？想一想！答案是否定的。原因很简单，命题的基本特性是有真假性。有真值的语句表达命题，没有真值的语句不表达命题。那么那种语句有真值呢？很显然是陈述句。那些语句没有真值呢？疑问句、祈使句、感叹句没有真值。但疑问句中的反问句例外，因为它是用疑问的形式表达陈述的内容，具有确定的真值。例如：“难道干部就该特殊化？”实际上这个反问句表达了这样一个命题：干部不该特殊化。

另外，命题与语句不是一一对应的。首先，同一个语句可以表达不同的命题。例如：“他老了。”该语句既可以表达命题：他年纪大了。又可以表达命题：他已经死了。其次，同一命题可以由不同语句来表达。如：“你错了。”和“你不是没有错。”这两个语句形式不同，语气也有差异，但表达的是统一命题。

三．命题的种类及构成

命题分为简单命题和复合命题。复合命题就是包含其他命题的命题；简单命题就是不包含其他命题的命题。以前面的命题为例：①③是简单命题，②④是复合命题。复合命题由两部分组成：肢命题和联结词。肢命题是复合命题的逻辑变项，是被复合命题包含的命题，或者说可以从复合命题中分解出来的命题。例②中包含两个肢命题：“一个人贪污”和“犯罪”（“犯罪”是“一个人犯罪”的省略形式。

联结词是逻辑常项，表达命题的逻辑结构、逻辑涵义。常见的联结词有：

既…又… 或者…或者… 如果…那么… 只有…才… 并非… 命题形式由逻辑常项和逻辑变项组成。如果我们把变项，也就是肢命题分别用小写字母p 、q 、r 、s 、t …来代表，也就是把命题的具体思想内容去掉，使之形式化、符号化，这就是命题形式。那么常见的符号化的命题形式有：

既p 又q 或者p 或者q 如果r 那么s 只有r 才t

四、题的真值表：

命题的逻辑特性是有真值，也就是有真假。复合命题的真假取决于肢命题的真假，在这个意义上，复合命题的逻辑特性：肢命题的真假决定复合命题的真假。例如“并非法律有阶级性。”由于肢命题“法律有阶级性”为真，决定了复合命题“并非法律有阶级性。”为假。我们用真值表来表明肢命题与复合命题之间的真假关系：

第二节 复合命题

复合命题的联结词是确定命题种类的标志。根据命题联结词的含义不同，可以把复合命题分为联言命题、选言命题、假言命题和负命题。

一、负命题

负命题就是否定某个命题而形成的复合命题。例如：

1. 并非这个班的学生都学英语。

2. 这个班的学生不都学英语。

3. 只有解决温饱才能谈论道德，这个观点不对。

这三个例子都是负命题。负命题的支命题可以是简单命题，也可以是复合命题。那个例子的支命题是简单命题？例1、例2的支命题是简单命题，例3的支命题是复合命题。 以上负命题中的联结词有“并非”、“不”。在日常语言中，还可以用“是假的”，“是错误的”，“不对的”，“不成立的的”等来表示负命题的联结词。 负命题的联结词可以用符号“⌝”来表示，读成“非”。用p 表示命题变项，也就是支命题。那么⌝p 就是负命题完全形式化的逻辑形式。为了简便，我们约定1表真，0表假。来看一下负命题的真值表。

举个例子：“并非今天下雨。” 大家说支命题P 是什么？今天下雨。看真值表回答，如果支命题“今天下雨”为假，那么复合命题“并非今天下雨”为？真。如果支命题为假，那么复合命题就为真。

再看一个例子：“曹操为文学家。” 它的双重否定是什么？“并非曹操不是文学家。”我们把这个双重否定的负命题的逻辑形式抽象出来为：⌝（⌝）P

二、以上是复命题，很简单，我们接着往下讲。

古希腊哲学家亚里士多德是一位非常博学的人，十七岁时被父亲送到大哲学家柏拉图门下学习。亚里士多德很善于独立思考。他虽然很尊敬老师，但对老师的一些观点并不十分赞同。他曾说：“吾爱老师，吾尤爱真理。”这句话后来被世人广为传诵，成为一句名言。从逻辑学上分析，这句话表达了一个联言命题。

联言命题就是陈述若干事物情况存在的命题。例如：“鲁迅是伟大的文学家，并且，鲁迅是伟大的思想家。”通常情况下用“并且”、“和”、“既…又…”、“不但…而且…”、“虽然…但是…”、“一方面…另一方面…”等等表示联言命题联结词。有时，联言命题

的联结词可以省略。例如：亚里士多德的名言“吾爱吾师，吾尤爱真理。”省略了联结词，同时断定了“爱吾师”和“尤爱真理”两种情况，因此是联言判断。“谦虚使人进步，骄傲使人落后。”同样是省略了联结词的联言命题。

联言命题的语言表达形式主要有三种：

① 并列关系：如“他有丰富的文学知识，而且有丰富的历史知识。”

② 递进关系：如“他不但参加了考试，而且得了满分。”

③ 转折关系：如“这种行为虽然不犯罪，但是违法。”

关于转折关系的联言命题，我给大家讲一个法官判案的小故事。

旧社会有一个法官判案。他先写下判词：“情有可原，理无可恕。”后来，他受了被告的贿赂，就拿起笔来一字未改，只将这句话的次序颠倒了一下，成了“理无可恕，情有可原。”这两个判词都是转折关系的联言判断，“虽然”和“但是”在文字上被省略了，但前后次序颠倒意思就大不相同了。原判词强调的是“理无可恕”，按这个口径，被告是要被判刑或判重刑的；次序颠倒后的判词强调的则是“情有可原”，按这个口径被告就可以免于判刑或从轻量刑。

联合命题的联结词用符号“∧”表示，读作“合取”。联言命题又称合取命题。联言命题的公式为：p 并且q, 或p ∧q 。那么如何判定联言命题的真假呢？由于联言命题是断定几种命题情况同时存在，因此，联言命题的真假要取决于它的哥哥联言支是否同时都是真的。由此可以总结出两条规则：

1. 联言支都真，则联言命题真。

2. 联言支只要有一个假，则联言命题假。

根据这个规则，我们来看一下联言命题的真值表：

选言命题

一．选言命题。

选言命题就是陈述若干事物情况至少有一种存在的命题。例如：

小张是北京人，或是上海人。

造成这次生产事故的原因，可能是设备问题，也可能是操作问题。

这两个命题都断定了陈述的两种情况中至少有一种情况存在。“小张是北京人”和“小张是上海人”以及“造成这次事故的原因是设备问题”和“造成这次事故的原因是操作问题”都是选言肢。选言命题中常见的联结词有：“或者…或者…” “要么…, 要么…”“不是…就是…”等等。根据逻辑特性的不同，选言命题可分为相容选言命题和不相容选言命题。相容选言命题顾名思义，几个选言肢可以同时并存并非绝对排斥的选言命题，就是相容选言命题。相容选言命题有两个逻辑特征：

首先，相容选言命题的若干支命题中，至少有一个为真。

其次，它的若干支命题中，可以有两个或两个以上的支命题同时为真。例如：

① 小王或者是班干部，或者是学生会干部。（二者可以得兼）

② 这份统计材料，或是原始材料有错误，或是计算有错误，或者两种情况都存在。 ③ 这块地丰收，或是因为水分充足，或是因为肥料好，或是因为田间管理得法。 相容选言命题的公式是：p 或者q ，在形式语言中，我们用p 表示“或者”，读作“析取”，p ∨q 表示相容选言命题，读作“p 析取q ”。

二．下面我们学习不相容选言命题。相传古代斯巴达人作战非常勇敢，并且非常珍视作战用的盾牌。如果有谁在作战中失去了盾牌，那就是莫大的耻辱。战士如论是生还，还是战死，都要与盾牌同在。当时有一位母亲在送别儿子出征时，她给儿子的临别赠言就是：“要么带着盾牌回来，要么躺在盾牌上被抬回来。”这句话一直流传下来，成为斯巴达人勇敢的象征。逻辑学上，这句话表达了一个不相容选言命题。

什么是不相容选言命题？从这个概念的语言表达上我们可以得知：几个选言肢互不相容、绝对排斥的选言命题就叫不相容选言命题。

毛主席在《论人民民主专政》中教导我们：“在野兽面前，不可以表示丝毫的怯懦。我们要学景阳冈上的武松。在武松看来，景阳冈上的老虎，刺激它也是那样，不刺激它也是那样，总之是要吃人的。或者把老虎打死，或者被老虎吃掉，二者必居其一。”毛主席最后这句话就是一个不相容的选言命题。再比如：“要么选老王当村长，要么选小李当村长。”“电视机或是黑的，或是彩色的。”村长只能有一人来当，某台电视机只能是一种类型，不可能同时为多种类型。

《红楼梦》中林黛玉讲：“不是东风压倒西风，就是西风压倒东风。”黛玉的这句话意思是说：在封建家庭内部，不是这一派胜利，就是那一派胜利。这是没法调和的。这句话表达的正是不相容选言命题。

在不相容选言命题的形式化语言中，我们用符号“∀”表示不相容析取，读作“强析取”。 不相容选言命题的逻辑性质是：选言肢有而且只有一个为真，不相容选言命题为真。

假言命题

1933年秋天的一个傍晚，年过半百的爱因斯坦专程来到一所工人学院讲学。一位中年工人好奇地问：“爱因斯坦教授，听说您创立的相对论，世界上只有十几个人懂，是吗？”爱因斯坦慢慢地吸着烟说：“唉，那不过是夸张的说法。”然后沉思片刻，风趣地解释说：“如果你在一个漂亮姑娘身旁坐一个小时，你只觉得坐了片刻；反之，如果你坐在一个热火炉上，片刻就像一个小时。这就是相对论的意义。在这个故事中，爱因斯坦用了两个假言命题，深入浅出地向工人讲解了相对论的思想。那什么是假言命题呢？

一． 假言命题又称条件命题，就是陈述某一事物情况的存在（或不存在）是另一事物情况存在（或不存在）的条件的命题。例如：

如果寒潮到来，气温就会下降。

只有你去，我才放心。

寒潮是降温的条件，你去是我放心的条件。假言命题陈述的是两个事物情况之间的条件，因此两个事物情况分别是前件和后件。前件和后件也就是假言命题的两个肢命题。根据条件的性质，假言命题分为：充分条件假言命题、必要条件假言命题和充分必要条件假言命题。

二． 什么是充分条件假言命题呢？听一个故事：

有一天，阿凡提在皇宫里的下房中坐着，和皇帝的侍卫开玩笑说：“你两天以后就要死。”事有凑巧，两天以后那个侍卫果真从马上掉下来摔死了。皇帝认为侍卫是由于阿凡提这句不吉利的话才死的，就准备把阿凡提绞死。皇帝把阿凡提喊来，问道：“你既然知道卫官什么时候死，那么你自己什么时候死，你知道吗？”阿凡提听到皇帝这样问，又看到绞架和士兵，知道皇帝要处死他，于是斩钉截铁地回答说：“夜里我看星象，我要比笔下早死两天。”皇帝一听，心里害怕极了，马上把阿凡提放走了。

皇帝之所以不敢处死阿凡提，是因为他在思想上形成了一个充分条件假言命题。如果出现了绞死阿凡提这个条件，就会产生自己也要在两天后死去的结果。从这个故事中我们得出：充分条件假言命题就是前件为后件充分条件的假言命题。举几个例子体会一下：

1. 如果天下雨，那么地上湿。

2. 如果缺水，水稻就会死亡。

3. 如果这张纸是正方形的，那么这张纸的四条边一定相等。

大家观察这三个例句，它们有什么共同的特点？前件都是后件的充分条件，也就是说有了前件陈述的情况，就一定会得出后件陈述的结论。如果下雨，地面上一定是湿的。这是常识：）水稻就是在水田中生长的，如果缺水结果可想而知。正方形的四条边相等，我们初中就知道这个结论。但是反过来，如果前件陈述的情况没有出现，是不是一定不会出现后件陈述的结果呢？我们来分析一下，除了下雨，还有那些情况会导致地面湿呢：人为泼水，冰雪融化，洪水泛滥都会导致地面湿。例2呢？病虫害 低温的环境都会导致水稻死亡。 除了正方形，菱形的四条边也是相等的。基于刚才的分析，我们可以得出充分条件假言命题的逻辑性质：

前件真，后件真。

前件假，后件可真可假。

充分条件的假言命题常用的联结词为“如果…那么…”我们用p 表示前件，用q 表示后件，p →q 表示充分条件假言命题。根据充分条件假言命题的逻辑性质，我们来看一下它的真值表：

也就是前件能够推出后件：p →q 但一定要记住，前件假，后件可真可假！

什么是必要条件假言命题呢？顾名思义，前件是后件的必要条件的命题称为必要条件假言命题。必要条件强调的是必要，必不可少。到底什么是必要呢？我们可以通俗地理解为：有它不一定行，但没它一定不行。这种逻辑性质用文言文可表述成：有之未必然，但无之则

必不然。为了更好地理解必要条件假言命题的逻辑性质，我们来看几个例子：

1. 班超曾说过：“不入虎穴，不得虎子。”如何理解必要条件呢？入了虎穴一定能得到虎子么？也不一定，要看运气。但不入虎穴，一定得不到虎子。为什么呢？因为虎子就在虎穴里。“入虎穴”是“得虎子”的必要条件。这就是有之未必然，无之则必不然。

2. 只有年满十八岁得公民，才有选举权。

年满十八岁是有选举权的必要条件。年满十八岁就一定有选举权么？不一定。因为如果政审不合格，触犯法律被判刑剥夺政治权利，就没有选举权。但是如果未满十八岁，即使是天才，也不能有选举权。

3. 除非水分充足，小麦才长得好。这个例子很简单，不用我解释，能够理解水分充足是小麦长得好的必要条件吧？

必要条件假言命题常用的联结词为：“只有…才…”“不…不…”“除非…不…”等等。我们用符号←表示必要条件。p ←q 表示必要条件假言命题，读作p 逆蕴含q 。

有了以上分析，概括一下必要条件假言命题的逻辑性质：前件假，后件必假。前件真，后件可真可假。

我们来看一下必要条件假言命题的真值表：

第三种是充分必要条件假言命题：

充分必要条件假言命题即前件为后件的充分必要条件。根据前面的学习，充分条件假言命题的推理规则为：前件推出后件。必要条件假言命题的推理规则为：没有前件，必定没有后件。充分必要条件假言命题的逻辑特性可以概括为：前件真，后件必真；前件假，后件必假。通过例子来理解一下它的逻辑特性：

1. 一个偶数，当且仅当它能被2整除。

2. 当且仅当一个三角形是等角三角形，它才是等边三角形。

3. 如果，而且只有在标准大气压下，水温达到100摄氏度。