普通高校专升本

普通高校专升本《高等数学》试卷

一、填空题：（只需在横线上直接写出答案，不必写出计算过程，本题共有8个小题，每一小题3分，共24分） 1. 曲线

2

xtt

在 y

tey10

t0 处的切线方程

为 .

x

2

2. 已知 f(x) 在 (,) 内连续 , f(0)1 , 设 F(x)

f(t)dt, 则

sinx

F(0)= 3. 设  为球面 x2y2z2a2 (a0) 的外侧 , 则



xdydzydzdxzdxdy = .

333



4. 幂级数



n1

(2)3n

(x1) 的收敛域为 . n

nn

12

5. 已知 n 阶方阵 A 满足 AA2E0 , 其中 E 是 n 阶单位阵, k 为任意实数 ， 则(AkE)

= 1

6. 已知矩阵 A 相似于矩阵 1

0

110

2

0 , 则 AE . 1

7. 已知 P(B)0.2,P(AB)0.6, 则 P(A|B) = 8. 设 f(x) 是随机变量  的概率密度函数 , 则随机变量 

f(y)= 的概率密度函数

二．选择题. （本题共有8个小题，每一小题3分，共24分，每个小题给出的选项中，只有一项符合要求）

1. lim

1nn

2n

= ( ). sinsinsin

nnn

(B)

1

2

(A) 2 (C)

 2

(D)

2



2. 微分方程(2xy)dx(2yx)dy0的通解为 ( ). （C 为任意常数） (A) x2xyy2C (B) x2xyy2C (C) 2x2xy3y2C (D) 2x2xy3y2C

n23

2x(1)nxxx

xedx = ( ) . 3. 1

1!2!3!n!0

1

(A) e1 (C)

13

(e1) 3

(B) e (D)e31

4. 曲面 x2y2z,x2y24 与 xOy 面所围成的立体体积为 ( ).

(A) 2

5. 投篮比赛中,每位投手投篮三次, 至少投中一次则可获奖.某投手第一次投中的概率为 第二次投中的概率为

710

12

(B) 4 (C) 6 (D) 8

; 若第一次未投中,

; 若第一, 第二次均未投中, 第三次投中的概率为

910

， 则该投手未获奖的概率为

( ). (A)

6． 设 1,2,,k 是 k 个 m 维向量 ， 则命题 “ 1,2,,k线性无关 ” 与命题 （ ） 不等价 。

k

1200

(B)

2200

(C)

3200

(D)

4200

（A） 对

c

i

i1

i

0， 则必有 c1c2ck0 ；

（B） 在 1,2,,k 中没有零向量 ；

k

（C） 对任意一组不全为零的数 c1,c2,ck ， 必有

c

ii1

i

0 ；

（D） 向量组中任意向量都不可由其余向量线性表出 。

7. 已知二维随机变量 (,) 在三角形区域 0x1,0yx 上服从均匀分 布, 则其条件概率密度函数 f(x|y) 是 ( ).

1y, yx1

(A).0y1 时 , f|(x|y)

0, 其它

1

, 0x1

(B).0y1 时 , f|(x|y)1y

0, 其它

1y, 0x10, 其它

(C) 0y1 时 , f|(x|y)

1

, yx1

(D) 0y1 时 , f|(x|y)1y

0, 其它

8. 已知二维随机变量 (,) 的概率分布为:

P1,1P1,1P4,2P4,2

14

,

则下面正确的结论是 ( ).

(A) 与 是不相关的 (B) DD

(C) 与 是相互独立的

(D) 存在 a,b(,) ，使得 Pab1

三．计算题：（计算题必须写出必要的计算过程，只写答案的不给分,本题共9个小题，每小题7分，共63分）

1

a1x

1. 计算 lim , (a0,a1). xx

x

2. 设直线 L:

xyb0ax5yz30

在平面  上,而平面  与曲面

zx2y2 相切于点 (1,2,5), 求 a,b 的值.

1

3. 计算



1x

dydx . yzdz

y

1

4

4. 设 f(u) 具有二阶导数 , 且 zf(esiny) 满足等式

x

zx

2

2



zy

2

2

2x

ez ,

若 f(0)1,f(0)1 , 求 f(u) 的表达式.

5. 将函数 f(x)

2

6. 已知矩阵 A0

0

120

01

1， 且 (A)B(A)BAE , 其中 A 为 A 2

3x1x2x

2

展开成 x 的幂级数.

的伴随矩阵 , 求矩阵 B.

7. 已知 A 为 6 阶方阵，且 A(1,2,,6)2 , B(2,3,,6,1), C(6,1,2,,5) , 求 BC .

8. 已知随机事件 A,B 满足 P(B)

13

,P(B|A)

12

,P(A|B)

14

, 定义随机变量

1, B发生1, B, 1, A发生不发生



1, A

不发生

求 (1) 二维随机变量 (,) 的联合概率分布 ; (2) P{21} .

100

9. 设随机变量 1,2,,100 是相互独立的 , 且均在 (0,20) 上服从均匀分布.令 



j

j1

, 求

P1100 的近似值 。 ((3)0.9582)

四．应用题： （本题共3个小题，每小题8分，共24分）

1.假定足球门宽为 4 米, 在距离右门柱 6 米处一球员沿垂直于底线的方向带球前进(如图) . 问: 他在离底线几米的地方将获得最大的射门张角  ?

2.已知 (1,0,1,1),(1,1,0,1) ， 且 A, 求方程组 Ax0 的 通解 .

3.已知随机变量 , 满足 E()1,E()2,D()4,D()9 ， 且 

12

T

T

T

n

. 令 (4a) , 求 a 的值使 E() 最小 .

2

五．证明题： （本题共2个小题，第一小题8分，第二小题7分，共15分）

1.设 f(x) 在 (,) 内连续,且 lim点  , 使 得 f() .

2. 已知 A,B 均为 n阶方阵 , 且 A0 及 B 的每一个列向量均为方程组 Ax0 的解 , 证明 : |B|0 .

f(x)x

x

0 , 证明: 总存在一