平面的法向量
高二数学学案 姓名 班级
高二数学 平面的法向量与平面的向量表示
【课标要求】
(1) 能用向量语言表述直线与直线、直线与平面、平面与平面的平行关系 (2) 能用向量证明直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系 【学习目标】
(1) 理解直线的方向向量和平面的法向量的概念,并能应用它们解决有关平行问题 (2) 能利用直线的方向向量,平面的法向量判定或证明空间线线、线面、面面垂直关系 学习重点:法向量的应用 自主预习
1.用向量表示直线或点在直线上的位置
→
(1)给定一个定点A和一个向量a,再任给一个实数t,以A为起点作向量AP=ta,则此向量方程叫做 .
向量a称为
(2)对空间任一确定的点O,点P在直线l上的充要条件是存在唯一的实数t,满足等式 ,叫做空间直线的向量参数方程. 2.用向量证明空间中的平行关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1∥l2(或l1与l2重合)⇔ . (2)设直线l的方向向量为v,与平面α共面的两个不共线向
量v1和v2,则l∥α或l⊂α⇔ . (3)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l∥α或l⊂α⇔(4)设平面α和β的法向量分别为u1,u2,则α∥β⇔ . 3.用向量证明空间中的垂直关系
(1)设直线l1和l2的方向向量分别为v1和v2,则l1⊥l2⇔ (2)设直线l的方向向量为v,平面α的法向量为u,则l⊥α⇔. (3)设平面α和β的法向量分别为u1和u2,则α⊥β⇔ . 学习过程 (一)、复习:
1、 直线l的方向向量:
2、与,共面(,不共线)(二)、预习检测
的法向量为(-2,-4,k),若 ,则1、设平面 的法向量为(1,2,-2),平面
//则 k= 。 k= ;若
l的方向向量为(2,m,1),平面 2、已知 的法向量为(1,1/2,2),则l//,且
m= .
3、若 的法向量为(1,1/2,2),且 ,则ll的方向向量为(2,1,m),平面m= .
4.设
,
(1)u(2,2,5),v(6,4,4)
(2)u(1,2,2),v(2,4,4)
(3)u(2,3,5),v(3,1,4)
分别是平面α,β的法向量,根据下列条件,判断α,β的位置关系.
(三)、引入新课
1、平面的法向量及求法
如果表示向量n的有向线段所在的直线垂直于平面α,称这个向
换句话说,若n·a = 0且n·b = 0,则n⊥α. 如何求平面法向量的坐标呢?
第一步(设):设出平面法向量的坐标为n=(x,y,z). 第二步(列):根据n·a = 0且n·b = 0可列出方程组第三步(解):把z看作常数,用z表示x、y.
第四步(取):取z为任意一个正数(当然取得越特殊越好),便得到平面法向量n的坐标.
x1xy1yz1z0
x2xy2yz2z0
2、平面的向量表示:AMn0
3、设n1、n2分别是平面、的法向量,那么
//或与重合n1//n2 n1n2n1n20
(四)典例分析 1、法向量的求解:
例1在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,O是面AC的中心,求面OA1D1的法向量.
2、法向量的应用
1、判断直线与平面的位置关系
直线L的方向向量为a,平面α的法向量为n,且LØα.
①若a∥n,即a=λn,则L⊥α ②若a⊥n,即a·n = 0,则L∥α.
例2棱长都等于2的正三棱柱ABC-A1B1C1,D、E分别是AC、CC1的中点,求证: (I)A1E⊥平面DBC1; (II)AB1∥平面DBC1
2、平面与平面的位置关系
平面α的法向量为n1 ,平面β的法向量为n2
①若n1∥n2,即n1=λn2,则α∥β ②若n1⊥n2,即n1 ·n2= 0,则α⊥β
例3. 在四棱锥PABCD中,底面ABCD为正方形,PD平面ABCD
E,F分别为棱AD,PB的中点,且PD=AD 求证:平面CEF平面PBC
【课堂检测】
1.若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,能使l∥α的是 , A.a=1,0,0,n=-2,0,0 B.a=1,3,5,n=1,0,1 C.a=0,2,1,n=-1,0,-1 D.a=1,-1,3,n=0,3,1
2.已知AB=1,5,-2,BC=3,1,z,若AB⊥BC,BP=x-1,y,-3,且BP⊥平
面ABC,则实数x,y,z分别为 A.
33154015,-,4 B.,-,4 77774040
,-2,4 D.4,,-15 77
C.
3. 已知空间三点A(0,2,3),B(-2,1,6),C(1,-1,5
,且a分别与AB,AC垂直,
则向量a为 A.1,1,1 B.-1,-1,-1
C.1,1,1或-1,-1,-1 D.1,-1,1或-1,1,-1,
4.若平面,的法向量分别为u=(2,-3,5),v=(-3,1,),则平面,的位置关系为 __________________________________ 5.
9
5
已知向量n=(2,
-3,1)是平面的一个法向量,则下列向量能作为平面法向量的是( )
(C)n3(2,3,1)(A)n1(0,3,1)(B)n2(2,0,1)(D)n4(2,3,1)
6. 如图所示,在四棱锥P—ABCD中,PA⊥底面ABCD,AB⊥AD,AC⊥CD, ∠ABC=60°,PA=AB=BC,E是PC的中点.证明:
(1)AE⊥CD;(2)PD⊥平面ABE
.
7.已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为2,E、F分别是BB1、DD1的中点.求证: (1)AE∥ FC1 (2)FC1∥平面ADE; (3) 面ADE∥平面B1C1F.