偏微分方程理论的归纳与总结

偏微分方程基本理论的归纳与总结

偏微分方程是储存自然信息的载体, 自然现象的深层次性质可以通过数学手段从方程中推导出来. 最为一种语言, 微分方程在表达自然定律方面比文字具有更强的优越性. 微分方程是一个庞大的体系, 它的基本问题就是解的存在性和唯一性. 该学科的主要特征是不存在一种可以统一处理大多数偏微分方程的适定性问题的普适的方法和理论. 这是与常微分方程有显著差异的地方. 这种特性使得我们将方程分为许多种不同类型, 这种分类的依据主要来自数学与自然现象这两个方面. 从数学的角度, 方程的类型一般总是对应于一些普遍的理论和工具. 换句话讲, 如果能建立一个普遍性的方法统一处理一大类方程问题, 那么这个类型就被划分出来. 而从自然现象的角度, 我们又可以根据不同的运动类型以及性质将方程进行分类. 当然这两种方式常常不能截然区分, 通常它们是相互关联的, 这就造成方程的概念有许多重叠现象.

根据数学的特征, 偏微分方程主要被分为五大类, 它们是：

（1） 线性与拟微分方程, 研究这类方程的主要工具是Fourier 分析方法；

（2） 椭圆型方程, 它的方法是先验估计+泛函分析手段；

（3） 抛物型方程, 主要是Galerkin 方法, 算子半群, 及正则性估计；

（4） 双曲型方程, 对应于Galerkin 方法；

（5） 一阶偏微分方程, 主要工具是数学分析方法.

从自然界的运动类型出发, 偏微分方程可分为如下几大类：

（1） 稳态方程（非时间演化方程）；

（2） 耗散型演化方程, 这类方程描述了时间演化过程中伴有能量损耗与补充的自然

运动. 相变与混沌是它们的主要内容；

（3） 保守系统, 如具有势能的波方程. 该系统控制的运动是与外界隔离的, 及无能量输

入, 也无能量损耗. 行波现象与周期运动是它们的主要特征；

（4） 守恒律系统, 这类方程是一阶偏微分方程组, 它们与保守系统具有类似的性质, 可

视为物质流的守恒. 激波行为是由守恒律系统来控制.

下面具体来介绍三类经典方程：

三类典型方程：椭圆型方程, 抛物型方程, 双曲型方程, 即偏微分方程模型的建立, 解问题的解法以及三类典型方程的基本理论.

关于三类典型方程定解问题的解题方法, 它们主要是分离变量法、积分变换法、特征线法、球面平均法、降维法和Green 函数方法.

关于三类典型方程的基本理论——极值原理和能量估计, 并由此给出了解的唯一性和稳定性的相关结论.

具体来说, 关于二阶线性椭圆形方程, 我们研究它的古典解和弱解. 前者主要介绍了基本解、调和函数的基本性质、Green 函数、极值原理、最大模估计、能量方法和变分原理；而后者的研究则需要知道Sobolev 空间的相关知识再加以研究；关于二阶线性抛物型方程, 主要研究它的Fourier 变换、特殊的求解方法、基本解、方程式和方程组的最大值原理以及最大模估计、带有非经典边界条件和非局部项的方程式的最大值原理及能量方法；关于二阶线性双曲型方程, 主要研究初值问题的求解方法、初值问题的能量不等式与解的适定性、以及混合问题的能量模估计与解的适定性.

椭圆、抛物和双曲这三类线性偏微分方程解的适定性问题, 它们分别以拉普拉斯方程、热传导方程和波动方程作为代表. 具体地说, 对于某些规则的求解区域试图求出满足特定线性偏微分方程和定解条件的具体解, 这就决定了存在性问题；再利用方程本身所具有的特殊性质, 将证明所求解是唯一的, 也就解决了唯一性问题；关于连续依赖性问题, 需要在不同函数空

间中考虑, 我们将在连续函数空间和平方可积函数空间中分别讨论解关于输入数据的连续依赖性问题

学习偏微分方程理论以及偏微分方程分析是研究其它一切的基础. 首先有必要解释一下解的适定性. 简单地说, 一个偏微分方程是适定性的, 若它有解（存在性）解唯一（唯一性）且对输入数据的微小改变的响应也是很小的改变（连续依赖性）. 前两个准则是一个有意义的物理模型所要求的, 第三个准则是实验观察的基础. 考虑适定性时, 还应记得对有实际意义的问题通常不可能求得显示解, 从而可考虑逼近格式, 特别是数值解在应用中就具有特别的重要性. 因此, 适定性问题与偏微分方程科学计算的如下中心问题有密切联系：对一个问题给定一定精度的数据, 数值解计算输出有多少精度？正因为这个问题对现代定量科学的重要性, 适定性成为偏微分方程理论的核心内容.

因此, 偏微分方程的学习应以三类线性偏微分方程的适定性问题为主要研究对象. 同时, 考虑到偏微分方程理论的两个特点：一是与应用、与物理的紧密联系；二是与数学其它分支的联系. 以下, 我们具体来说一下其两个具有应用价值的特点.

针对特点一：首先, 数学物理方程是自然科学和工程技术的各门分支中出现的偏微分方程, 这些方程给出了所考察的物理量关于自变量（时间变量和空间变量）的偏导数的关系. 例如连续介质力学、电磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理的范畴, 数学物理方程侧重于模型的建立和定解问题的解题方法, 而偏微分方程则侧重于其自身的数学理论, 所以偏微分方程理论的研究是能够更好地将其运用于物理当中.

针对特点二：偏微分方程理论与其他数学分支如泛函分析、数论、拓扑学、代数、复分析等紧密联系. 偏微分方程理论广泛应用数学这些领域中的基本概念, 基础思想和基本方法, 并且它本身也给这些学科分支的研究问题的范围与方向以影响.

鉴于此, 对于应用数学而言, 掌握和研究偏微分方程的目的主要应该放在以下几个方面：

（1）建立模型. 在经典物理中, 具有普遍意义的自然定律不仅可以用实验手段获得, 而且根据这些定律很容易对相应的自然现象建立数学模型. 如天体力学, 连续介质力学, 流体动力学以及经典电磁学中的物理定律就属于这种情况. 在近代物理中, 情况有一些变化. 咋爱量子力学与广义相对论中, 一些自然规则与物理定律是隐而不见的, 此时数学物理方程是依靠部分物理原则与实验数据猜测出来的. 然而, 到了现代数学阶段, 大多数面临的问题仅依靠物理或数学的单一学科知识和直觉建立模型已变得非常困难, 必须具备多学科交叉能力才行. 因此, 只有系统全面地掌握偏微分方程的理论与方法, 才能训练出从方程解的性质反推出模型的形式的能力, 这里方程解的性质是由实验数据与观测资料所提供. 这种模型反推能力再结物理直觉就是现在建立数学模型的基本要求;

（2）从已知的方程和模型推导出新的发现和预言. 这个方面可以说是科学发展最重要的环节之一;

（3）从控制自然现象的微分方程中得到问题的机理和解释;

（4）最后一个方面就是从数学模型获得与实验和观测相吻合的性质和结论. 虽然这类工作不能提供新的科学结果, 但能使我们加深对问题的理解, 体现自然美与数学美的有机结合.

在总结了偏微分方程理论所研究的内容及其特点以后, 我们该怎样学习基本理论呢？ 首先, 对于每一类方程, 我们要了解它的物理背景及其意义, 否则, 我们根本不知道它在说什么. 事实上, 同一个方程有许多不同的来源, 这一方面是偏微分方程理论具有广泛应用的原因之一. 同时对于不同的来源进行类比研究可以更好地解释物理过程的某些特性, 因为某个具体物理特性在某个物理过程还没有被观察到或没有引起注意, 而在另外某个物理过程已经被观察注意到了, 如果这两个物理过程服从同一个偏微分方程, 则在原来的物理过程中应该也具有这个特性. 其次, 在对数学模型研究之后, 需要有意识地讲数学解带回原来的物理意义中, 去理解, 解释物理现象. 这一方面可以验证数学模型的有效性, 另一方面可以更好地理解已知的

物理现象, 从而更加深刻地了解其在现实中的意义.

然后, 要善于去思考, 总结, 归纳. 逐步提高分析、解决实际问题的能力. 至于与数学其他学科的联系, 比如, 求解过程中将会用到许多微积分或数学分析的概念, 思想, 和定理, 解的表达形式也是有积分形式的或级数形式的, 解空间的结构则用到许多线性代数的知识.

最后, 学好泛函分析也是同等重要的, 因为偏微分方程解的唯一性和连续依赖性需要许多实变和泛函分析的理论和方法. 所以在重视偏微分方程基本理论时（实变函数和泛函分析的许多思想方法都是来源于偏微分程理论研究）, 也要同样学好泛函分析.

参考文献

（1） 王明新，偏微分方程基本理论；

（2） 马天，偏微分方程理论与方法；

（3） 王明新，数学物理方程.