解析几何的综合应用
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专题20 解析几何的综合应用
一、复习目标
1.熟练掌握圆锥曲线的定义, 几何性质, 利用它们解决有关范围问题; 2.通过数与形的结合, 学会圆锥曲线知识的内在联系和综合应用. 二、基础训练 1.设F 1, F 2为椭圆
x
2
4
的焦点,P 在椭圆上,当的面积为1时,ΔF 1P F 2PF 1 PF 2的+y =1
2
值为 ( )
A .0 B .1 C .2 D .
12
2
.已知F 1(0), F 20), 动点P 满足|PF 1|-|PF 2|=2, |F 1P |的最小值是( ) A
.
1 B .1 C
1 D .2
3.过抛物线y 2=2px (p >0) 的焦点F 作直线交抛物线于A 、B 两点,以AB 为直径作圆,则圆与抛物线的准线的位置关系 ( ) A .相交 B .相切 C .相离 D .位置不定
4.如果方程x 2+ky 2=2表示焦点在y 轴的椭圆,那么实数k 的取值范围是____________.
1.(1)设e 为双曲线
x
2
2
-
y
2
m
=1的离心率, 且e ∈(1, 2), 则实数m 的取值范围是 ( )
A . (-6, 0) B . (0, 6) C .(-4, -1) D . (-6, -1) (2)以下四个关于圆锥曲线的命题中
①设A 、B 为两定点,k 为非零常数,若|PA |-|PB |=k ,则动点P 的轨迹为双曲线; ②方程2x -5x +2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率;
x
22
③双曲线
25
-
y
2
9
=1与椭圆
x
2
35
+y =1有相同的焦点;
2
1
④过定圆C 上一定点A 作圆的动弦AB ,O 为原点,若OP =(OA +OB ) , 则动点P 的轨
2
迹为椭圆;
其中真命题的序号为___________.
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22
2.若椭圆ax +by =1与直线x +y =1交于A 、B 两点,M 为AB 的中点,直线OM (O 为原点)的斜率为
3.若抛物线y =ax 2-1上存在关于直线x +y =0对称的两点,求实数a 的取值范围.
4设抛物线y 2=2px (p >0)的焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴. 证明直线AC 经过原点O . 、
22
,且OA ⊥OB ,求椭圆的方程.
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1.设F 1、F 2为椭圆的两个焦点,以F 2为圆心作圆F 2,已知圆F 2经过椭圆的中心,且与椭圆相交于M 点,若直线MF 1恰与圆F 2相切,则该椭圆的离心率e 为
A. 3-1 B.2-3 C.
x a
22
22
D.
32
2.过双曲线-
y b
22
=1(a >0, b >0) 的右焦点且垂直于x 轴的直线与双曲线相交于M , N 两
点,以MN 为直径的圆恰好过双曲线的左顶点,则双曲线的离心率等于_________. 3如图,O 为坐标原点,直线l 在x 轴和y 轴上的截距分别是a 和b (a >0,b ≠0),且交抛物线y =2px (p >0)于M (x 1,y 1),N (x 2,y 2)两点.
(1)写出直线l 的截距式方程; (2)证明:
1y 1
2
+
1y 2
=
1b
;
(3)当a =2p 时,求∠MON 的大小.
五、巩固练习
1.已知A 、B 分别是椭圆x 2+
y
2
2
=1的左、右顶点,P 是椭圆上第一象限的任一点,若
∠PAB =α, ∠PBA =β则必有 ( )
A .2tan α+cot β=0B .2tan α-cot β=0C .tan α+2cot β=0D .tan α-2cot β=0
x a
22
2.已知F 1, F 2是双曲线
-
y b
22
=1(a >0, b >0) 的两焦点,以线段F 1F 2为边作正三角形
M F 1F 2,若边M F 1的中点在双曲线上,则双曲线的离心率是 (
)
A .4+
B 1
C 22
22
12
D 1
3.已知双曲线
x a
-
y b
=1(a >0, b >0) 的右焦点为F ,右准线与一条渐近线交于点A ,
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ΔO A F 的面积为
a
2
2
,则两条渐近线的夹角为 ( )
A .30° B .90° C .60° D .45° 4.设M 为椭圆
x
2
16
+
y
2
4
=1上一点,F 1, F 2为焦点,且直线M F 1与直线M F 2的夹角为60°,
则ΔM F 1F 2的面积是
x
2
5.设P 是椭圆
4
+
y
2
3
=1上的点,F 1, F 2是椭圆的两个焦点,则cos ∠F 1PF 2的最小值是
.
6.设椭圆中心在原点,长轴在x
轴上,离心率e =
2
,已知点P (0,) 到这个椭圆上的点
2
3
的最远距离是P
的点的坐标.
7.设椭圆方程为x 2+
y
2
4
=1,过点M (0,1)的直线l 交椭圆于A ,B 两点,O 是坐标原
1 11
点,点P 满足O P =(O A +O B ) ,N 的坐标为(, ) ,当l 绕点M 旋转时,求:(1)动点
222
P 的轨迹方程;(2)求|N P |的最大值与最小值.
8.过定点A (m , 0)(m 0) 于P ,Q 两点,Q 关于x 轴的对称点Q 1,连结PQ 1交x 轴于点B . (1)求证:直线PQ 1恒过一定点;
(2)若A P =λA Q ,求证:PB =λBQ 1.
2
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二.1.A,2.C,3.B,4.0<k <1.三.1.(1)B ,(2)②③,
2.解:设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),M (
x 1+x 2
2
y 1+y 2
2
,).
x +y =1, 2
∴(a +b )x -2bx +b -1=0. 由 22
ax +by =1, ∴
x 1+x 2
2
b a +b 22
=
b a +b
,
a
y 1+y 2
2
=1-
x 1+x 2
2
=
a a +b
.
∴M (∵k OM =
,
a +b
).
①
,∴b =2a .
y 1x 1
∵OA ⊥OB ,∴∴x 1x 2+y 1y 2=0. ∵x 1x 2=
b -1a +b
·
y 2x 2
=-1.
,y 1y 2=(1-x 1)(1-x 2),
∴y 1y 2=1-(x 1+x 2)+x 1x 2 .
②
∴a +b =2.
由①②得a =2(2-1),b =22(2-1). ∴所求方程为2(2-1)x 2+22(2-1)y 2=1.
3.解:设A (x 1, y 1), B ((x 2, y 2) 是抛物线线上关于直线x +y =0对称的两点,设AB :
1a
-1-m a
y =x +m ,代入y =a x -1,得ax -x -m -1=0∴x 1+x 2=
1
1
22
, x x 1=2
,
Δ=1+4a (m +1) >0(*),AB 的中点(
2a 2a 1a
, +m ) 在直线x +y =0上,所以
1a
+m =0∴m =-
1a
代入(*)得1+4a (-p 2
+1) >0, ∴a >
34
.
4.解:证法一:设AB :x =my +
2
,代入y 2=2px ,得y 2-2pmy -P 2=0.
由韦达定理,得y A y B =-p ,
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p
2
y A
.
p 2
∵BC ∥x 轴,且C 在准线x =-∴C (-则k OC =
p 2
上,
,y B ). =
2p y A
y B -p 2
=
y A x A
=k OA .
故直线AC 经过原点O .
证法二:如下图,记准线l 与x 轴的交点为E ,过A 作AD ⊥l ,垂足为D .
|EN ||AD |
则AD ∥EF ∥BC . 连结AC 交EF 于点N ,则∵|AF |=|AD |,|BF |=|BC |, |=
|CN ||AC |
=
|BF ||AB |
,
|NF |
BC
=
|AF ||AB |
.
四.1.A, 2.2,
3. (1)解:直线l 的截距式方程为
x a
+
y b
=1.
① ②
(2)证明:由①及y 2=2px 消去x 可得by 2+2pay -2pab =0. 点M 、N 的纵坐标y 1、y 2为②的两个根,故y 1+y 2=
-2pa
-2pa b
,y 1y 2=-2pa .
所以
1y 1
+
1y 2
=
y 1+y 2y 1y 2
=
1b =. b -2pa
(3)解:设直线OM 、ON 的斜率分别为k 1、k 2, 则k 1=
y 1x 1
,k 2=
y 2x 2
.
2
当a =2p 时,由(2)知,y 1y 2=-2pa =-4p ,
由y 12=2px 1,y 22=2px 2,相乘得(y 1y 2)2=4p 2x 1x 2, x 1x 2=
(y 1y 2) 4p
22
=
(4p ) 4p
2
22
=4p ,
2
因此k 1k 2=
y 1y 2x 1x 2
=
-4p 4p
2
2
=-1.
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.
3
5.
12
,
6
.解:设椭圆方程为
x a
22
+
y b 32
22
=1(a >b >0) e =
2
22
a =4b 设M (x ,y )为椭圆上
一点,则PM
2
=x +(y -
2
) =4b (1-
22
y b
22
) +y -3y +
2
9
=-3(y +) +4b +3. 42
1
22
-b ≤y ≤b ,故当b
12
时,y =-b ,P M
2
最大,当b ≥
12
, y =-
12
时,P M
2
最大为
4b +3=7∴b =1, a =4,故椭圆方程为
222
x
2
4
+y =1把y =-
2
12
代入椭圆方程中,得
P (±-
12
) .
7.解:设l :y =kx +1, A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) .
=22
+由(4++2
=1,
⎩ 1 x +x 2y 1+y 2-k 4∴O P =(O A +O B ) =(2, ) =(, ), 22
2224+k 4+k
k ⎧
x =-, 2⎪⎪4+k 22
设P (x , y ), ∴⎨消去参数k 得4x +y -y =0,
4⎪y =, 2
⎪4+k ⎩
当k 不存在时,AB 的中点为原点,也满足上式, 所以点P 的轨迹方程是4x +y -y =0.
|PN |=(x -
16
2
22
12
) +(y -
2
12
)
2
=-3x -x +
14
2
12
=-3(x +
16
) +14
2
712
(-
14
≤x ≤
14
) ,
当x =-
时,|PN |max =
216
,当x =
时,|PN |min =
.
8.解:(1)设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) ,而Q 与Q 1关于x 轴对称,则Q 1(x 2, -y 2) , 直线PQ 的方程为y -y 1=k (x -x 1), 其中k =
y 2-y 1x 2-x 1
=
2p y 2+y 1
,
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2px y 2+y 1
+
y 1y 2y 2+y 1
, 同理PQ 1:y =
2px y 1-y 2
-
y 1y 2y 1-y 2
,
又直线PQ 过点A ,0=
2pm y 2+y 1
+
y 1y 2y 2+y 12px
, ∴y 1y 2=-2pm ,
因此直线PQ 1的方程可写为y =
y 1-y 2
+
2pm y 1-y 2
, 即y =
2p y 1-y 2
(x +m ) .
因此直线PQ 1恒过定点(-m , 0) .
(2)设P (x 1, y 1), Q (x 2, y 2) ,而Q 与Q 1关于x 轴对称,
AP =(x 1-m , y 1), AQ =(x 2-m , y 2), PB =(x B -x 1, -y 1), BQ 1=(x 2-x B , -y 2),
由A P =λA Q ,∴y 1=λy 2, ∴-y 1=-λy 2, 而点P ,B ,Q 1在同一直线上,
∴PB =λBQ 1.