"代数方程(Ⅰ)"的解题方法与技巧
“代数方程（Ⅰ）”的解题方法与技巧
● 学习要求
1．知道一元整式方程的概念；会解含有字母系数的一元一次方程与一元二次方程，体会分类讨论的思想方法；
2．理解高次方程的概念；会用计算器求二项方程的实数根（近似根) ，会用换元法解双二次方程，会用因式分解的方法解某些简单的高次方程．通过解特殊的高次方程，体会整体思想和降次策略；
3．理解分式方程、无理方程的概念；掌握可化为一元二次方程的分式方程（组）和简单的无理方程的解法，知道“验根”是解分式方程（组）和无理方程的必要步骤，掌握验根的基本方法；通过分式方程整式化、无理方程有理化，领会转化思想．
● 方法点拨
考点1：特殊的高次方程、分式方程及无理方程的意义的理解
例1 （1）下列方程中，是二项方程的是（ ）
A. x +3x =0；B. x +2x -3=0；C. x =1； D. x (x +1) +8=0.
（2）下列方程中，是分式方程的是（ ） 34242
x 2+22x x 11-x =； C
．+=1； D
．-x =． A ．+=1； B ．5323x x
（3）下列方程中，不是无理方程的是（ ）
A ．x (x +2) =3； B ．(2-1) x +x
2=3；
C ．(2x +1)(2x -1) =3； D ．x -
变式演练： 1x =3 ．
1．写出一个关于x 的二项方程，这个方程可以是
x x 24113=3x ；2．已知方程：① +②③2=0；④ (+)(x +6) =-1. +x =2；
52x +2x x 8
这四个方程中，分式方程的个数是（ ）.
A ． 1 ； B ． 2 ； C ． 3 ； D ． 4 .
3．下列方程中，是无理方程的是（ ）．
A ．x -(+1) x =0； B ．2 x+ x=25；
C ．+11=2； D ．=1． x x +2
1
考点2：含字母系数的一元一次（二次）方程、特殊的高次方程、分式方程及无理方程的解
法
例2 （1）如果关于x 的方程(m －1) x =1无解，那么m 满足（ ）.
A ．m >1 ； B ．m =1； C ．m ≠1； D ． 任意实数.
（2）方程x -x =0的根是（ ）
A ．1，－1；； B ．0，1； C ．0，－1； D ．0，1，－1. 3
x 3x 2+3x （3）（2006广东）用换元法解分式方程2，原方程-+2=0时，设y =2x +1x x +1
可变形为（ ）
Ａ．y +2y -3=0； Ｂ．y -3y +2=0；
Ｃ．3y -y +2=0； Ｄ．y -2y +3=0．
（4）方程x -1=x -7的根是______________．
（5）下列方程中，没有实数解的是（ ） 2222
x 24A ．； B
x =0； C ．x 4-x 2-2=0； D ．x 2+y 2=1． =x +2x +2
变式演练：
1． 关于x 的方程(bx ) -1=0
42(b ≥0) 的根是_________________． 2．方程(x -1) -16=0的根是_________________________．
3．用换元法解分式方程x 2x -2x 则由原方程化成的关于的++3=0，若设y =，x -1x x -1
整式方程是 ．
例3 解下列方程（组）：
（1）；x -7x +10=0； （2）
42x x +25+=； x +2x 2
1⎧2-⎪x +y x -y =7, ① ⎪（3）⎨ (4)
⎪1+1=-1. ② ⎪⎩x +y x -y
x +1-x -4=1 2
※例4 解下列方程
（1）2x 2+2-7x +7+2=0
x 2x
变式演练：1+1818
x 2+2x -3x 2=
+2x +2x 2+2x +1
（2）1111
x +5+x +8=x +6+x +7
变式演练：1
x -2+111
x -8=x -4+x -6
（3）x -2x +22(x +3)
x +2+x -2=x -3
变式演练：x -8x -4x -5x -7
x -10+x -6=x -7+x -9
（4）(x -3) 2+x 2-6x +16=13
3
变式演练：2x 2-4x +3x 2-2x +6=15
（5）5x 2+x -x 5x 2-1-2=0
考点3：关于增根问题
例5 已知关于x 的方程
变式演练：1．m 为何值时，分式方程
2．当a 取什么整数值时，方程
例6 已知关于x 的方程2x -4-x +a =1有一个增根x =4，求：
（1）a 的值；（2）方程的根． x x -22x +a ++=0只有一个实数根，并求此实数根． x -2x x (x -2) 2x m +1x +1存在增根． -=x +1x 2+x x 1a 2a +2有增根，求a 的值． +=x -1x -2x 2-3x +2
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