正十七边形
十七边形是几何学中所有有17条边及17只角的多边形。正十七边形是有17边的正多边形。正十七边形的每个内角约为158.[1**********]5°。1796年,高斯成功利用尺规作图作出正十七边形,同时发现了可作图多边形的条件,并定下他要成为数学家的决心。可作图性亦同时显示2π/17的三角函数可以只用基本算术和平方根来表示。高斯的书Disquisitiones包含了这条等式:英文里,詹·何顿·康威认为heptadecagon是错误的拼法,应为heptakaidecagon。
起源
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最早的十七边形画法创造人是高斯【1801年数学家高斯证明:如果费马数k为质数,那么就可以用直尺和圆规将圆周k等分.但是,高斯本人实际上并不会做正十七边形。第一个真正的正十七边形尺规作图法直到1825年才由约翰尼斯·厄钦格(Johannes Erchinger)给出.】
。高斯(1777─1855年)德国数学家、物理学家和天文学家。高斯在童年时代就表现出非凡的数学天才。年仅三岁,就学会了算术,八岁因运用等差数列求和公式而深得老师和同学的钦佩。大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法,并给出了可用尺规作图的正多边形的条件。解决了两千年来悬而未决的难题,1799年以代数基本定理的四个漂亮证明获博士学位。高斯的数学成就遍及各个领域,在数学许多方面的贡献都有着划时代的意义。并在天文学,大地测量学和磁学的研究中都有杰出的贡献。
作法
先计算或作出cos(360°/17)
设正17边形中心角为a,则17a=360°,即16a=360°-a
故sin16a=-sina,而
sin16a=2sin8acos8a=4sin4acos4acos8a=16sinacosacos2acos4acos8a
因sina不等于0,两边除之有:
16cosacos2acos4acos8a=-1
又由2cosacos2a=cosa+cos3a(三角函数积化和差公式)等
注意到cos15a=cos2a,cos12a=cos5a(诱导公式)等,有
2(cosa+cos2a+…+cos8a)=-1
令
x=cosa+cos2a+cos4a+cos8a
y=cos3a+cos5a+cos6a+cos7a
有:
x+y=-1/2
又xy=(cosa+cos2a+cos4a+cos8a)(cos3a+cos5a+cos6a+cos7a)
=1/2(cos2a+cos4a+cos4a+cos6a+…+cos14a+cos15a)
经计算知xy=-1
因而:x=(-1+√17)/4,y=(-1-√17)/4
其次再设:x1=cosa+cos4a,x2=cos2a+cos8a
y1=cos3a+cos5a,y2=cos6a+cos7a
故有x1+x2=(-1+√17)/4
y1+y2=(-1-√17)/4
最后,由cosa+cos4a=x1,cosacos4a=(y1)/2
可求cosa之表达式,
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它是有理数的加减乘除平方根的组合, 故正17边形可用尺规作出
做法
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给一圆O,作两垂直的直径AB、CD.
在OB上作E点使OE=1/4AO,连结CE.
作∠CEB的平分线EF.
作∠FEB的平分线EG,交CO于P.
作∠GEH=45°,交CD于Q.
以CQ为直径作圆,交OB于K.
以P为圆心,PK为半径作圆,交CD于L、M.
分别过M、L作CD的垂线,交圆O于N、R.
10作弧NR的中点S,以SN为半径将圆O分成17等份.
简易作法
因为360°/17≈21°10′ ,利用sinA 21°6′=0.3600可得近似角。用该方法作正十七边形总误差为17*4′=68′,在不要求十分精确的情况下还是可行的。
作法如下:
1.先画一条直线,用圆规在上面截取5条相等线段,(尽量越短越好),再截取之前四条线段的和,接续之前画的线段。这样,如果每条小线段算作0.1的话,那么整条线段就是1.8。
2.用圆规截取之前5条小线段的长,画5次,这样这条线段就是5。1.8/5=0.36。准备工作完毕!
3.另作一条直线,作垂线,1.8的线段作为对边,5的线段作为斜边,那个最小的锐角即是近似的360°/17的角。以其顶点为圆心,重复作角直至闭合。画一大圆,连接其与17条射线的交点,即可。