初中数学竞赛 因式分解拓展

数学竞赛专题 因式分解方法的延拓——换元法与主元法

因式分解是针对多项式的一种恒等变形，提公因式法、公式法，分组分解法是因式分解的基本方法，通常根据多项式的项数来选择分解的方法．

一些复杂的因式分解问题．常用到换元法和主元法．

所谓换元，即对结构比较复杂的多项式，若把其中某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元) ，则能使复杂的问题简单化、明朗化，在减少多项式项数，降低多项式结构复杂程度等方面有独到作用．

所谓主元，即在解多变元问题时，选择其中某个变元为主要元素，视其他变元为常量，将原式重新整理成关于这个字母的按降幂排列的多项式，则能排除字母间的干扰，简化问题的结构．

例题求解

【例1】 分解因式：(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3) +10．(第12届“五羊杯”竞赛题)

【例2】 多项式x 2y -y 2z +z 2x -x 2z +y 2x +z 2y -2xyz 因式分解后的结果是( ) ．

A ．(y－z)(x+y)(x－z) B ．(y－z)(x－y)(x＋z)

C ． (y+z)(x一y)(x+z) D ．(y十z)(x+y)(x一z)

(上海市竞赛题)

【例3】把下列各式分解因式：

(1)(x+1)(x＋2)(x+3)(x+6)+ x2； (天津市竞赛题)

(2)1999x2一(19992一1)x 一1999； (重庆市竞赛题)

(3)(x+y－2xy)(x+y－2) ＋(xy－1) 2； (“希望杯”邀请赛试题)

(4)(2x－3y) 3十(3x－2y) 3－125(x－y) 3． (第13届“五羊杯”竞赛题)

【例4】把下列各式分解因式：

(1)a2(b一c)+b2(c－a)+c2 (a一b) ；(2)x2+xy－2y 2－x+7y－6．

【例5】证明：对任何整数 x 和y ，下式的值都不会等于33．

x 5+3x4y －5x 3y 2一15x 2y 3+4xy4+12y5．

(莫斯科奥林匹克八年级试题)

注：分组分解法是因式分解的量本方法，体现了化整体为局部、又统揽全局的思想．如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：

（1）按字母分组：

(2)按次数分组；

(3)按系数分组．

为了能迅速解决一些与代教式恒等变形相关的问题，读者因熟悉如下多巧式分解因式后的结果：

（1）a 3±b 3=(a ±b )(a 2 ab +b 2) ；

(2)a 3+b 3+c 3-3abc =(a +b +c )(a 2+b 2+c 2-ab -bc -ac )

课后训练

1．分解因式：(x2+3x)2-2(x2+3x)－8＝

2．分解因式：(x2+x+1)(x2+x+2)－．

3．分解因式：x 2－xy －2y 2－x －y= ． (2001年重庆市中考题)

4．已知二次三项式x 2-mx -8在整数范围内可以分解为两个一次因式的积，则整数m 的可能取值为．

5．(2001年北京中考题) 将多项式x 4-2x 2-3分解因式，结果正确的是（ ）．

A ．(x 2+3)(x 2-1) B ．(x 2+1)(x 2-3) C ．(x 2+3)(x -1)(x +1) D ．(x 2+1)(x -3)(x +3)

6．下列5个多项式：

①a 2b 2-a 2-b 2-1；②x 3-9ax 2+27xa 2-27a 3；③x (b +c -d ) -y (d -b -c ) -2c +2d -2b ；④3m (m -n ) +6n (n -m ) ；⑤(x -2) 2+4x

其中在有理数范围内可以进行因式分解的有（ ）．

A ．①、②、③ B ．②、③ 、④ C ．①③ 、④、⑤ D ．①、②、④

7．下列各式分解因式后，可表示为一次因式乘积的是( ) ．

A ．x 3-9x 2+27x -27 B ．x 3-x 2+27x -27 C ．x 4-x 3+27x -27D ．x 3-3x 2+9x -27

(第13届“希望杯”邀请赛试题)

8．若a +b =-，a +3b =1，则3a 2+12ab +9b 2+的值为( ) ．

A ．224 B ． C ． D ．0 (大连市“育英杯”竞赛题) 9351535

9．分解因式:

（1）(x2+4x+8)2+3x(x2+4x+8)+2x2； (2)(2x2－3x+1)2一22x 2+33x－1；

(3)x4+2001x2+2000x+2001； (4)(6x－1)(2 x－1)(3 x－1)( x－1)+x2；

(5)a 2+2b 2+3c 2+3ab +4ac +5bc ； (6)x 2+xy -6y 2+x +13y -6．

10．分解因式：(x 2-1)(x +3)(x +5) +12．

11．分解因式：x 2+5xy +x +3y +6y 2

12．分解因式：(x -2) 3-(y -2) 3-(x -y ) 3．（第15届“五羊杯”竞赛题）

13．在1~100之间若存在整数n ，使x 2+x -n 能分解为两个整系数一次式的乘积，过样的n 有

个． (北京市竞赛题)

14．2x 3+x 2-13x +6的因式是( )

A ．2x -1 B ．x +2 C ．x -3 D ．x 2+1 E ．2x +1

15．已知a >b >c ，M=a 2b +b 2c +c 2a ，N=ab 2+bc 2+ca 2，则M 与N 的大小关系是( )

A ．M N C ．M ＝N D ．不能确定

(第13届“希望杯”邀请赛试题)

16．把下列各式分解因式：

(1)(a 2+a +1)(a 2-6a +1) +12a 2；

(2)(2a +5)(a 2-9)(2a -7) -91； (湖北省黄冈市竞赛题)

1 (3)xy (xy +1) +(xy +3) -2(x +y +) -(x +y -1) 2； (天津市竞赛题) 2

(4)(x 4-4x 2+1)(x 4+3x 2+1) +10x 4；（第13届“五羊杯”竞赛题）

(5)2x 3-x 2z -4x 2y +2xyz +2xy 2-y 2z ． (天津市竞赛题)

17．已知乘法公式：

a 5+b 5=(a +b )(a 4-a 3b +a 2b 2-ab 3+b 4) ；

a 5-b 5=(a -b )(a 4+a 3b +a 2b 2+ab 3+b 4) ．

利用或者不利用上述公式，分解因式：x 8+x 6+x 4+x 2+1 (“祖冲之杯”邀请赛试题)

18．已知在ΔABC 中，a 2-16b 2-c 2+6ab +10bc =0(a、b 、c 是三角形三边的长) ．

求证：a +c =2b (天津市竞赛题)

数学竞赛专题 因式分解方法的延拓——配方法与待定系数法

例题求解

【例1】分解因式：4x 2-4x -y 2+4y -3．(2002年重庆市竞赛题)

【例2】如果x 3+ax 2+bx +8有两个因式x+1和x+2，则a+b＝( ) ．

A ．7 B ．8 C ．15 D ．2l

(2001年武汉市选拔赛试题)

【例3】把下列各式分解因式：

(1)x 4-7x 2+1； (“祖冲之杯”邀请赛试题) （2）x 4+x 2+2ax +1-a 2； (哈尔滨市竞赛题)

(3)(1+y ) 2-2x 2(1+y 2) +x 4(1-y ) 2； (扬州市竞赛题) (4)x 4+2x 3+3x 2+2x +1 (2002年河南省竞赛题)

【例4】k 为何值时，多项式x 2-2xy +ky 2+3x -5y +2能分解成两个一次因式的积? (天津市竞赛题)

【例5】 如果多项式x 2-(a +5) x +5a -1能分解成两个一次因式(x +b ) 、(x +c ) 的乘积(b、c 为整数) ，则a 的值应为多少?(第17届江苏省竞赛题)

课后训练

1．(1)完成下列配方问题：x 2+2px +1=x 2+2px +()

（2003年江西省中考题）

（2）分解因式：a 2-b 2+4a +2b +3的结果是(郑州市竞赛题)

2．若x 3+3x 2-3x +k 有一个因式是x+1，则k ＝ ． []+() =(x +) 2+()

3．若x 2+2xy +y 2-a (x +y ) +25是完全平方式，则a ．

(2003年青岛市中考题)

4．已知多项式2x +3xy -2y -x +8y -6可以i 分解为(x +2y +m )(2x -y +n ) 的形式，那么

是 ． (第1l 届“希望杯”邀请赛试题)

5．已知a 2+b 2+4a -2b +5=0，则

1

3a +b 的值为( ) a -b 1322m 3+1n 2-1 的值 A ．3 B ． C ．-3 D ．-

6．如果 a 、b 是整数，且x 2-x -1是ax 3+bx 2+1的因式．那么b 的值为( )

A ．－2 B ．－l C ．0 D ．2

(第15届江苏省竞赛题)

7．(2002年北京市竞赛题) a 4+4d 分解因式的结果是（ ）

A ．(a 2+2a -2)(a 2-2a +2) ； B ．(a 2+2a -2)(a 2-2a -2)

C ．(a 2+2a +2)(a 2-2a -2) ； D ．(a 2+2a +2)(a 2-2a +2)

8．把下列各式分解因式：

(1)a 4+16b 4； (2)x 4+x 2y 2+y 4；

(3)x 2+(1+x ) 2+(x +x 2) 2； （4）(c -a ) 2-4(b -c )(a -b ) ； (昆明市竞赛题)

(5)x 3-9x +8； （“祖冲之杯”邀请赛试题） （6）x 3+2x 2-5x -6 (重庆市竞赛题)

9．已知x 2+2x +5是x 4+ax 2+b 的一个因式，求a +b 的值．

（第15届“希望杯”邀请赛试题）

10．已知x 2+x -6是多项式2x 4+x 3-ax 2+bx +a +b -1的因式，则a ＝．

(第15届江苏省竞赛题)

11．一个二次三项式的完全平方式是x 4-6x 3+7x 2+ax +b ，那么这个二次三项式是． (重庆市竞赛题)

12．已知x 2+y 2+z 2-2x +4y -6z +14=0，则(x -y -z ) 2002．

(2002牛北京市竞赛题)

13．已知n 为正整数，且47+4n +41998是一个完全平方数，则n 的值为 ．

14．设m 、n 满足m 2n 2+m 2+n 2+10mn +16=0，则(m , n ) =( )

A ．(2，2) 或(－2，－2); B ．(2，2) 或(2，－2)

C ．(2，－2) 或(－2，2) ; D ．(－2，－2) 或(－2，2)

15．将x 5+x 4+1因式分解得( )

A ．(x 2+x +1)(x 3+x +1) B ．(x 2-x +1)(x 3+x +1)

C ．(x 2-x +1)(x 3-x +1) D ．(x 2+x +1)(x 3-x +1)

16．若 a 、b 、c 、d 都是正数，则在以下命题中，错误的是( )

A ．若a 2+b 2+c 2=ab +bc +ca ，则a =b =c ;

B ．若a 2+b 2+c 2=3abc ，则a =b =c ;

C ．若a 4+b 4+c 4+d 4=2(a 2b 2+c 2d 2) ，则a =b =c =d ;

D ．若a 4+b 4+c 4+d 4=4abcd ，则a =b =c =d

17．把下列各式分解因式：

(1)4x 3-31x +15； (2)2a 2b 2+2a 2c 2+2b 2c 2-a 4-b 4-c 4；

(3)x 5+x +1； (4)x 3+5x 2+3x -9；

(5)2a 4-a 3-6a 2-a +2 (2003年河南省竞赛题)

18．已知关于x 、y 的二次式x 2+7xy +my 2-5x +43y -24可分解为两个一次因式的乘积，求m 的值．

大原市竞赛题)

19．证明恒等式：a 4+b 4+(a +b ) 4=2(a 2+ab +b 2) 2 (2001年北京市竞赛题)

(2002年

20．一个自然数a 若恰好等于另一个自然数b 的平方，则称自然数a 为完全平方数．如64＝82，64就是一个完全平方数，已知a ＝20012+20012× 20022十20022，求证：a 是一个完全平方数．(1999年希望杯题)