巧用权方和不等式求最值
２００９年第９期中学数学研究
号，点一号），赢ｔ＝（一了１，而１一号），所以
——▲——▲——▲
一
ＧＡｌ＋ＧＢｌ＋ＧＣｌ＝０，故点Ｇ是ＡＡｌＢｌＣｌ的重心．
Ｇ—Ａｚ＝（南一号，ｒ＿等去一了１），向量Ｇ—Ｂ２＝（南一号，南一了１），向量
△Ａ，Ｂ，Ｃ，的重心．命题得证．
参考文献
又知直线ＡＡｌ的方程为ｙ一１＝一量≯・（ｚ－Ｏ），即ｙ＝一生｝‰＋１．直线ＢＢｌ的方程
为ｙ２
Ｇ—Ｃ２＝‘万岛一号，两ｂ一了１），因而
可得Ｇ—Ａ２＋匠＋赢＝－６，故点Ｇ是
ｋ．ｚ・直线ｃｃｌ的方程为ｙ２一ｒ是（ｚ一
１叫
１
（丁＿生再，忐），直线ＢＢｌ与ＣＣｌ的交点Ｂ２（南，南），直线ＣＣｌ与ＡＡ－的交点ｃｚ‘ｒ＿等≥矛，南），而向量
１）．易得直线ＡＡｌ与ＢＢｌ的交点Ａｓ
、１＋忌＋足２’１＋五＋志２’’且：民
９。凡
［１］张俊．两个三角形重心相同的充要条件．数学通讯，
２００８（７）．
【２］皇甫红琴．再论两个三角形重心相同的充要条件．
数学通讯，２００８（１３）．
，ｋ■｝■｝ｊ－｝蕾｝●ｊ●｝ｊｋ■ｅｊｋ■｝■｝ｊ■｝■ｔ■｝■｝■｝■｝ｊｋ■｝，■ｅ■‘■｝，ｋ■｝—｝■｝１Ｉ－｝■｝ｊｋ■ｅ■ｔ■｝■｝誓｝■｝１■｝誓｝■‘誓ｅ誓｝ｊ●｝
巧用权方和不等式求最值
重庆市武隆中学（４０８５００）吴军
文［１］给出了利用柯西不等式求最值的问题，读后深受启发，笔者在细细欣赏权方和不等式的优美之处时，发现许多求最值问题，若能将其转化为权方和不等式的形式，那将收到意想不到的效果，笔者将从例题来巧用权方和不等
式求最值．
和不等式在求最值方面的应用．
例１
已知ｚｌ，ａ：２，…，．７Ｃ。∈Ｒ＋，Ａ，ｍ∈
Ｒ＋且；奎墨＝１，书。奎嘉的最小值．
命题ｌ（狭义权方和不等式）若ａｆ＞Ｏ，ｂｆ
＞吣钆２，…㈠，优∈Ｒ＋＇则奎譬≥：２ｎ川．当目仅当堑：堑：…：逝＝”＋１，当且仅当坐＝业＝…＝出
（三ｑ）辨＋１
Ｊ—Ｊ
‘
客华≥学吨咖川
时，ｉ妻－１．２毛７ｉ的最小值为Ａｎｍ＋１．
例２＋２ｙ的最小值．
解：由权方和不等式有ｉ善参２
■
（∑６￡）”
命题２（广义权方和不等式）若ａｆ＞０，ｂｆ＞０（ｉ＝１，２，…，ｍ），ｐ≥ｑ＋１，ｐ＞Ｏ，口＞０，则
已知ｚ，了∈Ｒ＋．ｇｌｚ＋１ｖ＝１，求ｚ
器≥ｍｑ＋ｌ－Ｐ烁．下揪删权方不等式得ｌ＝譬＋譬≥蜡＝
万方数据
解：将条件三＋专＝１变形并利用权方和
中学数学研究２００９年第９期
鬻成ｘ＋２ｙ≥３＋２应．
当且仅当上：；１＿，上＋』：１，即ｚ＝１＋
辔≥建（ｓｉｎ鬟２署＿（ｎ南＋
（心口）号夕
口＋心口）＿∥…。
ＳＩｎ。口００ｓ－口
应，ｙ＝１＋譬时取得最小值３＋２，／ｉ．
例３值．
６南）警¨，当且仅当堡季：哮，即口：
ａｒｃｔａｎ（詈）矗取得等号．
我们可以直接利用例５的结论，即用旦替
已知壹幻ｚ＝６，求伽＝；善ｔ’．，Ｃ２ｉ的最小
解：由权方和不等式有训：妻谊；＝
换ｍ，得到《数学通讯）２００９年第二期“函数Ｙ
壹掣≥掣：羔舢仅蚰
＝ｚｚ＝…＝ｚ。＝承詈｝巧时，硼取最小值
２垒１
７／（咒＋１）‘
＝—｝＋—｝最小值的初等巧解”中的问题，
ｓｉｎ，ｈａ
ｃｏ眇口
即ｙ＝—｝＋—｝最小值的初等巧解”中的问
ｓｉｎ”ａ
ｏｏ妒口
题，即Ｙ＝｛＋｛≥（口悬＋
ｓｉｎｍａ
ｏｏ妒ａ
２盟
丝±２盟
，例４求函数ｙ
２未茏＋磊舞（口，６，优
６什２ｍ）２ｍ，
通过上面实例，可发现在求最值时，利用权方和不等式，可以很快的解决问题，因此利用权方和不等式求最值是值得深层次的研究．
参考文献
［１］邵明宪．巧用柯西不等式求最值．数学通讯，２００９（２）．
＞ｏ）在（ｏ，号）上的最小值．
妇囊坐业－囊●囊囊生－坐坐簟★螺●－－－＿囊ｔ絮坐－●★簟ｔｔＩ坐坐生簟－－●●－●
榭忙盎＋鬲ｂ＝苗＋
本文介绍有心圆锥曲线焦点直角三角形的一个性质．
解：由函数ｙ
２．ａｓｉｎ％＋磊芫，根据权方和’一ａ∞Ｓ…ａ
有心圆锥曲线焦点直角三角形的一个性质
湖南省常德市第六中学（４１５００３）彭世金
切．
证明：①设椭圆的右准线交ｚ轴于点Ａ，
．．２
定理ｌ如图１，设Ｆｌ，Ｆ２分别是椭圆象
＇
点Ｐ在ｚ轴上的射影为Ｈ，Ｉ
ＦｌＦ２
Ｉ＝２ｃ，由
么ＦｌＰＦ２＝９０。，得ＩＰＦｌｌ２＋ＩＰＦ２１２＝４ｃ２，又Ｐ在椭圆上，Ｉ
ＰＦｌ
＋ｙ＾Ｚ２＝１（口＞６＞０）的左、右焦点，点Ｐ在椭圆上，且么ＦｌＰＦ２＝９０。．直线ＰＦｌ，ＰＦ２分别交椭圆的左，右准线于Ｍ，Ｎ两点，则①ＩＩＮＦ２Ｉ，ＩＰＦ２万方数据
ＰＦｌ
Ｉ＋Ｉ
ＰＦ２
Ｉ＝２ａ，将其平方得
ｆＰＦｌｌ２＋ＩＰＦ２［２＋２ｌＰＦｌ…ＰＦ２Ｉ＝４ａ２，于是
．有Ｉ
ＰＦｌ
ｌ＝
Ｉ＝ｆ脚１１；②直线ＭＮ与椭圆相
Ｉ．Ｉ
ＰＦ２
Ｉ＝２ａ２—２ｃ２＝２ｂ２，注意到
・２１・
巧用权方和不等式求最值
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：被引用次数：
吴军
重庆市武隆中学,408500
中学数学研究
STUDIES IN MIDDLE SCHOOL MATH GUANGDONG2009，""(9)0次
参考文献(1条)
1.邵明宪 巧用柯西不等式求最值 2009(2)
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