函数知识点总结
高中数学函数知识点总结
1. 对于集合,一定要抓住集合的代表元素,及元素的“确定性、互异性、无序性”。
如:集合A ={x |y =lg x },B ={y |y =lg x },C ={(x , y )|y =lg x },A 、B 、C
中元素各表示什么?
2. 进行集合的交、并、补运算时,不要忘记集合本身和空集∅的特殊情况。
注重借助于数轴和文氏图解集合问题。
空集是一切集合的子集,是一切非空集合的真子集。
如:集合A =x |x 2-2x -3=0,B ={x |ax =1}
{}
若B ⊂A ,则实数a 的值构成的集合为
1⎫⎧
(答:⎨-1,0,⎬)
3⎭⎩
3. 注意下列性质:
(1)集合{a 1,a 2,„„,a n }的所有子集的个数是2n ;
(2)若A ⊆B ⇔A B =A ,A B =B ;
(3)德摩根定律:
C U (A B )=(C U A ) (C U B ),C U (A B )=(C U A ) (C U B )
4. 你会用补集思想解决问题吗?(排除法、间接法)
如:已知关于x 的不等式
的取值范围。
ax -5
x 2-a
(∵3∈M ,∴
a ·3-5
32-a a ·5-5
≥02
5-a
5⎫⎡
⇒a ∈⎢1,⎪ (9,25))
3⎭⎣
∵5∉M ,∴
5. 可以判断真假的语句叫做命题,逻辑连接词有“或”(∨) ,“且”(∧) 和
“非”(⌝).
若p ∧q 为真,当且仅当p 、q 均为真
若p ∨q 为真,当且仅当p 、q 至少有一个为真 若⌝p 为真,当且仅当p 为假
6. 命题的四种形式及其相互关系是什么? (互为逆否关系的命题是等价命题。)
原命题与逆否命题同真、同假;逆命题与否命题同真同假。
7. 对映射的概念了解吗?映射f :A →B ,是否注意到A 中元素的任意性和B 中与之对应元素的唯一性,哪几种对应能构成映射?
(一对一,多对一,允许B 中有元素无原象。)
8. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同? (定义域、对应法则、值域)
9. 求函数的定义域有哪些常见类型?
例:函数y =
x 4-x lg (x -3)
2
的定义域是
(答:(0,2) (2,3) (3,4))
10. 如何求复合函数的定义域?
如:函数f (x ) 的定义域是a ,b ,b >-a >0,则函数F(x) =f (x ) +f (-x ) 的定
义域是_____________。
[]
(答:a ,-a )
11. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
[]
如:f
(
x +1=e x +x ,求f (x ).
)
令t =x +1,则t ≥0
∴x =t 2-1
∴f (t ) =e t
2
-1
+t 2-1 +x 2-1(x ≥0)
∴f (x ) =e x
2
-1
12. 反函数存在的条件是什么? (一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x ;②互换x 、y ;③注明定义域)
⎧⎪1+x
如:求函数f (x ) =⎨2
⎪⎩-x
-1
(x ≥0)
的反函数
(x
⎧⎪x -1(x >1)(答:f (x ) =⎨) ⎪⎩--x (x
13. 反函数的性质有哪些?
①互为反函数的图象关于直线y =x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性;
③设y =f(x)的定义域为A ,值域为C ,a ∈A ,b ∈C ,则f(a)=b ⇔f -1(b ) =a
∴f -1[f (a ) ]=f -1(b ) =a ,f f -1(b ) =f (a ) =b
14. 如何用定义证明函数的单调性? (取值、作差、判正负) 如何判断复合函数的单调性?
[]
(y =f (u ) ,u =ϕ(x ) ,则y =f [ϕ(x ) ](外层)(内层)
当内、外层函数单调性相同时f [ϕ(x ) ]为增函数,否则f [ϕ(x ) ]为减函数。) 如:求y =log 1-x 2+2x 的单调区间
2
()
(设u =-x 2+2x ,由u >0则0
且log 1u ↓,u =-(x -1)+1,如图:
2
2
当x ∈(0,1]时,u ↑,又log 1u ↓,∴y ↓
2
当x ∈[1,2) 时,u ↓,又log 1u ↓,∴y ↑
2
∴„„)
15. 如何利用导数判断函数的单调性?
在区间(a ,b )内,若总有f '(x ) ≥0则f (x ) 为增函数。(在个别点上导数等于 零,不影响函数的单调性),反之也对,若f '(x ) ≤0呢?
如:已知a >0,函数f (x ) =x 3-ax 在[1,+∞)上是单调增函数,则a 的最大
值是() A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
⎛a ⎛a ⎫
(令f '(x ) =3x 2-a =3 x +x -⎪ ⎪≥0
3⎭⎝3⎭⎝
则x ≤-
a a
或x ≥
33
a
≤1,即a ≤3 3
由已知f (x ) 在[1,+∞) 上为增函数,则
∴a 的最大值为3)
16. 函数f(x)具有奇偶性的必要(非充分)条件是什么? (f(x)定义域关于原点对称)
若f (-x ) =-f (x ) 总成立⇔f (x ) 为奇函数⇔函数图象关于原点对称 若f (-x ) =f (x ) 总成立⇔f (x ) 为偶函数⇔函数图象关于y 轴对称
注意如下结论:
(1)在公共定义域内:两个奇函数的乘积是偶函数;两个偶函数的乘积是偶函数;一个偶函数与奇函数的乘积是奇函数。
(2)若f(x)是奇函数且定义域中有原点,则f(0)=0。
a ·2x +a -2
如:若f (x ) =为奇函数,则实数a =x
2+1
(∵f (x ) 为奇函数,x ∈R ,又0∈R ,∴f (0) =0
a ·20+a -2即=0,∴a =1) 0
2+1
2x
又如:f (x ) 为定义在(-1,1) 上的奇函数,当x ∈(0,1) 时,f (x ) =x ,
4+1
求f (x ) 在(-1,1)上的解析式。
2-x
(令x ∈(-1,0),则-x ∈(0,1),f (-x ) =-x
4+12-x 2x
又f (x ) 为奇函数,∴f (x ) =--x =-
4+11+4x
⎧2x
⎪-x
⎪4+1
又f (0) =0,∴f (x ) =⎨
x
⎪2⎪⎩4x +1
17. 你熟悉周期函数的定义吗?
x ∈(-1,0)
x =0x ∈(0,1)
)
(若存在实数T (T ≠0),在定义域内总有f (x +T )=f (x ) ,则f (x ) 为周期
函数,T 是一个周期。)
如:若f (x +a )=-f (x ) ,则
(答:f (x ) 是周期函数,T =2a 为f (x ) 的一个周期) 又如:若f (x ) 图象有两条对称轴x =a ,x =b (⇔)
即f (a +x ) =f (a -x ) ,f (b +x ) =f (b -x ) 则f (x ) 是周期函数,2a -b 为一个周期
如:
18. 你掌握常用的图象变换了吗?
f (x ) 与f (-x ) 的图象关于y 轴对称 f (x ) 与-f (x ) 的图象关于x 轴对称 f (x ) 与-f (-x ) 的图象关于原点对称 f (x ) 与f -1(x ) 的图象关于直线y =x 对称
f (x ) 与f (2a -x ) 的图象关于直线x =a 对称 f (x ) 与-f (2a -x ) 的图象关于点(a ,0) 对称 左移a (a >0) 个单位y =f (x +a )
将y =f (x ) 图象−−−−−−−−−→
右移a (a >0) 个单位y =f (x -a ) 上移b (b >0) 个单位y =f (x +a ) +b −−−−−−−−−→
下移b (b >0) 个单位y =f (x +a ) -b
注意如下“翻折”变换:
f (x ) −−→f (x ) f (x ) −−→f (|x |)
如:f (x ) =log 2(x +1)
作出y =log 2(x +1)及y =log 2x +的图象
y=log2x
19. 你熟练掌握常用函数的图象和性质了吗?
(1)一次函数:y =kx +b (k ≠0)
(2)反比例函数:y =
的双曲线。
k k k ≠0推广为y =b +()(k ≠0)是中心O '(a ,b ) x x -a
2
b ⎫4ac -b 2⎛
(3)二次函数y =ax +bx +c (a ≠0)=a x +⎪+图象为抛物线
⎝⎭2a 4a
2
⎛b 4ac -b 2⎫b
顶点坐标为 -,,对称轴x =-⎪
4a ⎭2a ⎝2a
开口方向:a >0,向上,函数y min
4ac -b 2
=
4a
4ac -b 2=
4a
a
应用:①“三个二次”(二次函数、二次方程、二次不等式)的关系——二次方程
ax 2+bx +c =0,∆>0时,两根x 1、x 2为二次函数y =ax 2+bx +c 的图象与x 轴 的两个交点,也是二次不等式ax 2+bx +c >0(
②求闭区间[m ,n ]上的最值。
③求区间定(动),对称轴动(定)的最值问题。 ④一元二次方程根的分布问题。
⎧∆≥0⎪⎪b 2
如:二次方程ax +bx +c =0的两根都大于k ⇔⎨->k
⎪2a ⎪⎩f (k ) >0
一根大于k ,一根小于k ⇔f (k )
(4)指数函数:y =a x (a >0,a ≠1) (5)对数函数y =log a x (a >0,a ≠1)
由图象记性质!(注意底数的限定!)
a x(a>1)
(6)“对勾函数”y =x +
k
(k >0) x
利用它的单调性求最值与利用均值不等式求最值的区别是什么?
20. 你在基本运算上常出现错误吗?
指数运算:a 0=1(a ≠0) ,a -p =
1
(a ≠0) a p
a
m n
=a
m
(a ≥0) ,a
-
m n
=
1
a
m
(a >0)
对数运算:log a M ·N =log a M +log a N (M >0,N >0)
log a
M
=log a M -log a N ,log a N
M =
1
log a M n
对数恒等式:a log a x =x
对数换底公式:log a b =
log c b n
⇒log a m b n =log a b
log c a m
21. 如何解抽象函数问题?
(赋值法、结构变换法)
如:(1)x ∈R ,f (x ) 满足f (x +y ) =f (x ) +f (y ) ,证明f (x ) 为奇函数。 (先令x =y =0⇒f (0) =0再令y =-x ,„„)
(2)x ∈R ,f (x ) 满足f (xy ) =f (x ) +f (y ) ,证明f (x ) 是偶函数。 (先令x =y =-t ⇒f [(-t )(-t ) ]=f (t ·t )
∴f (-t ) +f (-t ) =f (t ) +f (t ) ∴f (-t ) =f (t ) „„)
(3)证明单调性:f (x 2) =f (x 2-x 1)+x 2=„„
22. 掌握求函数值域的常用方法了吗? (二次函数法(配方法),反函数法,换元法,均值定理法,判别式法,利用函数单调性法,导数法等。)
[]
如求下列函数的最值:
(1)y =2x -3+-4x
(2)y =
2x -4
x +3
2x 2
(3)x >3,y =
x -3
(4)y =x +4+9-x 2设x =3cos θ,θ∈[0,π] (5)y =4x +
()
9
,x ∈(0,1] x