第三章电磁波的传播
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2
第三章
§3.1 平面电磁波
电磁波的传播
波动方程是线性齐次微分方程,可以用分离变量法求 解。假定这波动方程的解具有以下分离变量的形式:
ξ ( r , t ) = ξ ( r ) f (t )
麦克斯韦方程组指出, 不仅电荷与电流能够产生电磁 场,变化的电磁场也能在邻近区域产生新的电磁场。考虑 一个没有电荷和电流的真空区域,在这个区域中,电磁场 满足以下方程:
将这个分离变量形式的解代入(3.1.4)式,将时间部分与空间 部分分离后得到如下恒等式:
∇ 2ξ ( r ) f (t ) = μ 0ε 0 = μ0ε 0κ ξ (r ) f (t )
其中 κ 是一个待定的常数,它源自这样一个原因:第一个等 号两边涉及不同变量的函数, 要使等式在任意位置与任意时 间均成立,只有当等式两边等于同一个常数时才有可能。由 此得到空间部分与时间部分分别满足的两个方程:
∇⋅ E = 0 , ∇× E = −
∂B ∂t
∂E ∇ ⋅ B = 0 , ∇ × B = μ 0ε 0 ∂t
对第二个方程的两边取旋度运算:
(3.1.1)
f (t ) − κ f (t ) = 0
∇ × ( ∇ × E ) = −∇ ×
∂B ∂t
利用矢量运算规则将左边展开,并利用第一个方程得:
∇ × ( ∇ × E ) = ∇ ( ∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E = −∇ 2 E
∂B ∂ ∂ E = ( ∇ × B ) = μ 0ε 0 2 ∂t ∂t ∂t
2
不同形式的解。当 κ = 0 时,微分方程变成 f ( t ) = 0 ,它的 解具有简单的形式: f ( t ) = At + B 。一个有物理意义的解 必须是有限的。 然而, 这个解的形式告诉我们, t → ∞ 时, 当
先考虑第一个方程的解。对 κ 的不同取值,这个方程有
∇ 2ξ ( r ) − μ0ε 0κξ ( r ) = 0
(3.1.5)
将对磁场取时间导数与取旋度运算的顺序颠倒:
∇×
由此得到电场满足的方程:
课外练习:参照(3.1.2)式 的推导方法推导磁场满 足的微分方程(3.1.3)式。 (3.1.2)
f ( t ) 不满足我们的要求,除非函数式中的系数 A = 0 。于
是,当 κ = 0 时, f ( t ) = B 。这种情况给出了一个不随时 间变化的场,不符合物理上的要求;当 κ > 0 时,微分方程 变成 f = κ f ,它的解具有这样的形式: f ( t ) ~e 义。于是,当 κ > 0 时, f ( t ) ~ e
2
− κt ± κt
∂2E ∇ E − μ 0ε 0 2 = 0 ∂t
2
。然
按照类似的方法消去电场后得到磁场满足的方程:
而,有限性的要求导致只有负指数的项才有真实的物理意 。这种情况给出了一
2
∇ 2 B − μ 0ε 0
用字母 ξ 统一表示电磁场的各个分量,则(3.1.2)式和(3.1.3) 式可以统一表示成如下的波动方程:
∂2B =0 ∂t 2
(3.1.3)
个随时间衰减的解,并不是我们所要求的振动解;当 κ
± iω t
∂ξ ∇ 2ξ − μ0ε 0 2 = 0 ∂t
2
。这两个特解随时间变化,并且
(3.1.4)
这显示电磁场将以波的方式运动。
能够通过适当的组合给出振动解。 现在考虑(3.1.5)式的第二个方程的求解。为了书写的简 便,令 k = μ0ε 0ω ,这个方程变成
2 2
3
4
∇ ξ (r ) + k ξ (r ) = 0
2 2
(3.1.6)
运动速率,叫做相速:
这个方程叫做亥姆霍兹方程,它与波动方程(3.1.4)类似,也 是一个线性齐次微分方程,可以用分离变量法求解。假定这 个方程具有以下分离变量形式的解:
u=
dr/ / ω = = dt k
1
μ 0ε 0
=c
ξ ( r ) = X ( x)Y ( y ) Z ( z )
X ′′ Y ′′ Z ′′ + + + k2 = 0 X Y Z
这正是真空中的光速。 如果考虑的是电场,则将电场的解代入散度方程:
将这个解代入(3.1.6)式,得到如下恒等式:
∇ ⋅ E = e − iωt E0 ⋅∇eik ⋅r
= e − iωt E0 x ∂ x eik ⋅r +
(
)
与上述讨论相似,三个导数项必须分别等于某个常数,才能 使这个方程在任意位置成立。由此得到三个单变量的方程:
2 X ′′ + k x2 X = 0 , Y ′′ + k y Y = 0 , Z ′′ + k z2 Z = 0
= ik ⋅ E0 e
ˆ ∇eik ⋅r = i ∂ x eik ⋅r +
i k ⋅r −ωt
(
)
=0 = keik ⋅r
在上面的矢量运算中,也可以先将标量函数的梯度算出:
由于我们考虑的是电磁波在无界空间中传播,因此,上述三 个方程必定有如下形式的解:
ˆ = ik x eik ⋅r +
上述结果显示, k ⋅ E0 = 0 。由此可见,在电场中,只有两 个分量是独立的,每个分量包含实振幅和初相位,共四个独 立的实参量;另一方面,由波矢与频率的关系可知,在波矢 的三个分量和角频率中,只有三个独立的参量;因此,描写 平面电波共需要七个实参量。如果考虑的是磁场,则将磁场 的解代入散度方程:
X = X 0 eik x x , Y = Y0 e
ik y y
, Z = Z 0 e ik z z
)
将亥姆霍兹方程的三个分离变量解与时间部分结合, 就得到 电磁场的其中一个分量:
ξ ( r , t ) = ξ0e (
i k ⋅r −ωt
i k ⋅ r −ω t
(3.1.7)
每一个分量都有类似形式的解,总共六个形如(3.1.7)式的 解,构成电磁场的一组完备的特解:
∇ ⋅ B = e − iωt B0 ⋅∇eik ⋅r = ik ⋅ B0 e
i k ⋅r −ωt
(
)
E = E0 e
(
)
, B = B0 e
i k ⋅r −ωt
(
)
=0
(3.1.8)
方程的任意解都可以表示成这组特解的线性叠加。当然,物 理上的解应该被理解成上述复数解的实部或者虚部。从 (3.1.8)式可以看出,这个特解描写的波的等相面满足
k r0 λ
r
也能得到类似的结果。实际上,电场和磁场只要有一个确定 了,另一个就可以由旋度方程推出。比如说已求出电场,根 据普适电磁感应定律:
k ⋅ r − ωt = kr/ / − ωt = C
显然,这是一个是平面(图 3.1.1)。因此,(3.1.7)式或(3.1.8) 式描写的是一个平面电磁波。同一时刻相位相差 2π 的两个 等相面之间的距离叫做波长:
r1
∂B = −∇ × E = e − iωt E0 × ∇eik ⋅r ∂t
= −ik × E0 e
B=
=
i k ⋅r −ωt
(
)
将等式两边一起对时间积分: 图 3.1.1 平面电 磁波的等相面
k ⋅ ( r1 − r0 ) = k ( r1 − r0 ) = k λ = 2π 空间同一点上相位改变 2π 所需要的时间间隔叫做周期: ωΔt = ωT = 2π 对等相面方程 kr/ / − ωt = C 的两边做微分, 就得到等相面的
1
ω
1
k × E0 e
i k ⋅r −ωt
(
)
1ˆ k ×E = k×E ω c
5
6
磁波的参量完全被电波的参量所确定, 它们有相同的波矢和 角频率,振动方向相互垂直并与传播方向垂直。需要注意的 是,在上述推导中,所有公式在与实测对应时都必须理解成 取实部或虚部。 从上面的推导中看到,电场和磁场的散度方程给出: (3.1.9) k ⋅E = k ⋅B = 0 这显示电磁波的振幅矢量与波矢垂直,因此,散度方程被称 为电磁波的横波条件。电场和磁场的旋度方程则给出:
w = ε 0 Re E
2
(3.1.14)
2
1 2 = ε 0 E0 x + E0 y 2 1 * = ε 0 E0 ⋅ E0 2
其中用到对三角函数求周期平均的结果: 课外练习: 请推 导 (3.1.10) 式 中 的第二个等式。
(
)
1ˆ ˆ B = k × E , E = ck × B c
(3.1.10)
1 2 ∫ cos ( kz − ωt + α ) dt T 0
(3.1.10)和(3.1.11)式告诉我们,在国际单位制中,电场强度 与磁感应强度有不同的量纲, 并不具有可比性。 但是, (3.1.12) 式却显示, 两者对能量密度有相同的贡献。 从这个意义上说, 电波与磁波是等强度的。 §3.2 导体中的电磁波
T
当考虑真实的物理量时,电场与磁场的关系式,比说如 (3.1.10)式,要视为实部或虚部的关系:
1ˆ Re B = k × Re E (3.1.11) c ˆ Re E = ck × Re B 由电场与磁场的关系得 Re E = c Re B , 电磁场的能量密度: 2 2 1 1 (3.1.12) w = ε 0 Re E + Re B 2 2 μ0 2 2 1 = ε 0 Re E = Re B
μ0
当电磁波在导体中传播时, 其中的电波会引起传导电流 而产生焦耳热,消耗电磁波的能量,使波出现阻尼。在静电 平衡的条件下,导体内部没有自由电荷。在随时间变化的电 磁场中,情况有一些改变。在导体内部,电磁场除了满足麦 克斯韦方程外,还必须遵从欧姆定律:
而能流密度矢量:
S=
1
∇⋅E =
Re E × Re B
(3.1.13)
μ0
ρ , j =σE ε σ ρ ε
将欧姆定律代入电场的散度方程中:
2 ˆ ε ˆ = k 0 Re E = kcw
∇⋅ j =
μ0
另一方面,电荷与电流必须满足电流连续方程:
2 2
取平面电磁波的传播方向为 z 轴,则能量密度:
w = ε 0 Re E = ε 0 E0 x cos ( kz − ωt + α x )
2
∂ρ +∇⋅ j = 0 ∂t
由此得到电荷随时间改变所满足的微分方程:
+ε 0 E0 y cos 2 ( kz − ωt + α y )
2
这说明空间中任意点的能量密度都随时间变化。 由于电磁波 的周期很短,因此,可以用周期平均代表实测值:
假定初始时刻导体内的电荷分布为 ρ 0 ( r ) ,则上述微分方
∂ρ σ + ρ =0 ∂t ε
(3.2.1)
7
8
− t
程(3.2.1)式的解为
ρ = ρ0 ( r ) e
7
σ ε
(3.2.2)
对于良导体,σ ~ 10 Ω ⋅ m , ε ~ ε 0 ,由此得到电荷密度
−1 −1
复数。两种情况体现了波的两种不同的阻尼方式。 如果波矢为实的,则频率必为复的。由阻尼的物理特性 得知频率的虚部必为负:ω = ω0 − iω1 。电磁场的分量有这 样的形式:
随时间改变的衰减常数及衰减时间常数:
σ 107 ε ~ −11 ~ 1018 s −1 , τ = ~ 10−18 s ε 10 σ
由此可见,无论初始时刻导体内部的自由电荷有怎样的分 布,这分布总会随时间很快地衰减。在导体内,麦克斯韦方 程组最终可以改写成这样:
ξ = ξ 0 e −ω t e (
1
i k ⋅r −ω0t
)
(3.2.8)
波的阻尼体现为波幅随时间衰减,在空间的每一点,电磁场 逐渐消失,电磁能转化为焦耳热。电磁场在导体内产生的瞬 间扰动正是属于这种情况。 如果频率为实的,则波矢必为复的,由阻尼的特点知它 的虚部必为非负: k = β + iα ,其中实部与虚部的方向不 必是一致的。在这种情况下,电磁场的分量必定是这样的: i β ⋅r −ωt ) (3.2.9) ξ = ξ 0 e −α ⋅r e ( 波的阻尼体现为波幅随空间衰减。在这种阻尼方式下,波矢 的实部描写波的传播,虚部则描写波幅的衰减,但是任一点 的波是稳态的,波幅不随时间改变。从能量守恒的角度看, 导体内的电磁能总在转化为焦耳热,因此,维持波的稳定需 要靠入射波提供能量。将波矢与频率的关系用到这种情况:
∇ ⋅ E = 0 , ∇ × E = −B ∇ ⋅ B = 0 , ∇ × B = μσ E + με E
对电场的旋度方程的两边取旋度:
∇ × ( ∇ × E ) = ∇ ( ∇ ⋅ E ) − ∇ 2 E = −∇ 2 E = −∇ × B = − μσ E − με E
由此得到电场满足的微分方程:
课外练习: 利用推 导 (3.2.3) 式 的 方 法推导(3.2.4)式。 (3.2.3)
∂E ∂2 E ∇ E − μσ − με 2 = 0 ∂t ∂t
2
k 2 = μεω 2 + iμσω = β 2 − α 2 + 2iα ⋅ β
由此得到实部与虚部之间的关系:
对磁场可以做同样的运算,最终得到磁场满足的微分方程:
β 2 − α 2 = μεω 2
2α ⋅ β = μσω
∂B ∂2 B ∇ B − μσ − με 2 = 0 ∂t ∂t
2
(3.2.10)
(3.2.4)
与真空的情况类似,电磁场的分量满足同样的波动方程:
∂ξ ∂ 2ξ ∇ ξ − μσ − με 2 = 0 ∂t ∂t
2
(3.2.5)
这是带阻尼的波动方程,阻尼来自由电场引起的传导电流。 有阻尼的波动方程的特解仍然可以写成:
利用边值关系求解方程组(3.2.10)就能得到波矢的表达式。 一个简单的例子是电磁波从真空中入射到导体平面上。 以导体平面为 x − y 平面,垂直于导体平面向外的方向为 z 方向建立笛卡尔坐标系。在这种情况下,电磁波的入射波、 反射波和透射波的各个分量分别表示成:
ξ = ξ0e (
i k ⋅ r −ω t
)
ξ = ξ0e (
i k ⋅ r −ω t
) )
(3.2.6)
把这个特解代入波动方程中得到: (3.2.7) 这关系显示, 波矢的各个分量与频率这四个数至少有一个是
ξ ′ = ξ 0′e (
i k ′⋅r −ω ′t
k 2 = μεω 2 + iμσω
ξ ′ = ξ 0′′e −α ⋅r e (
i β ⋅r −ω ′′t )
ˆ 考虑电场强度在界面上的连续性: n × E2 − E1 = 0 ,这条
(
)
9
10
i k ′⋅r −ω ′t
件具体运用到现在的问题上时取这样的形式:
( ˆ n × E0 e
(
i k ⋅ r −ω t
)
′ + E0 e
(
)
′′ − E0 e −α ⋅r e
i ( β ⋅r −ω ′′t )
)
(3.2.11)
z =0
=0
⎡1 ⎛ ⎞⎤ 2 σ2 β = μεω ⎢ ⎜ 1 + 2 2 + 1⎟ ⎥ ⎟⎥ ε ω ⎢2 ⎜ ⎠⎦ ⎣ ⎝
1
由于空间变量与时间变量的独立性,要使上述等式成立,入 射波、反射波和透射波的频率必须相等: ω = ω ′ = ω ′′ 。这 显示,电磁波在导体表面上反射或透射时频率不会改变。为 了使等式(3.2.11)成立,在导体的表面 z = 0 处,波矢必须满 足以下条件:
α = μεω ⎢ ⎜ 1 +
⎢2 ⎜ ⎣ ⎝
⎡1 ⎛
⎞⎤ σ2 − 1⎟ ⎥ ε 2ω 2 ⎟ ⎥ ⎠⎦
1 2
(3.2.13)
在上述表达式中, 开平方根中分式的数值的大小决定了介质 的导电特性:良导体或者不良导体。 对于不良导体, σ
k ⋅ r = k ′ ⋅ r = ( β + iα ) ⋅ r
(3.2.12)
μεω 。如
这组等式的展开形式为
′ kx x + k y y = kx x + k ′ y y = β x x + β y y + i (α x x + α y y )
这等式对 z = 0 上的任意点均成立,唯一可能的情况是要求 各个波矢必须满足以下关系:
果将约等号改为等号, 这个式子正好给出不导电介质的传播 矢量与频率之间的关系。因此,就电磁波的传播而言,不良 导体与不导电介质接近。 将波矢中反映衰减的因子做展开并 只取到最低阶近似:
′ kx = kx = β x , k y = k ′ = β y , α x = α y = 0 y
对反射波而言, 这个要求将会给出反射定律。 对透射波而言, 把这个要求代入(3.2.10)式,得到一组反映透射波的传播矢 量的实部与虚部之间关系的方程, 求解这组方程就能得到透 射波的基本性质。但是,在一般情况下,求解这组方程并不 容易。在入射波与导体表面垂直的情况下,可以得到一组比 较简单的方程,并且比较容易求出方程组的解。在垂直入射 的情况下, k x = k y = 0, k z = k ,(3.2.12)式的展开形式变为
⎡1 ⎛ σ2 α = μεω ⎢ ⎜1 + 2 2 + ⎣ 2 ⎝ 2ε ω
⎞⎤ 2 1 μ − 1⎟ ⎥ ≈ σ 2 ε ⎠⎦
1
这结果显示,在不良导体内部,电磁波的衰减因子要比传播 因子小得多: α
d∝
1
α
>>
1
β
≈
1
μεω
~ λd
其中 λd 是电磁波透入导体后的波长,这波长与入射前的波 长接近。这意味着电磁波会较深入地透入不良导体的内部。 对于良导体, σ >> εω ,由此得到 α ≈ β ≈
′ kx x + k y y = kx x + k ′ y y = β x x + β y y + i (α x x + α y y ) = 0
要使等式对界面上任意点成立, 反射波和透射波的各个波矢 ′ 只有分量 k z = k ′, β z = β , α z = α 不等于零。由透射波矢与 频率的关系式(3.2.10)得到:
μσω
2
。
β 2 − α 2 = μεω 2 , 2αβ = μσω
考虑到 β > α > 0 并且都是实数,这组方程的解为:
深入探索: 按照上 在这种情况下,电磁波在透入到良导体后的波长 1 1 1 述垂直入射情况 λ∝ ~
α
11
12
对于高频电磁波,透入良导体内的深度完全可以忽略。 在导体表面, 入射波、 反射波和透射波的频率必须相等, 并且波矢必须满足等式(3.2.12)。于是,(3.2.11)式简化为:
对良导体:
′ ′′ ˆ n × ( E0 + E0 − E0 ) z =0 = 0
k ′′ = β + iα ≈ = μεω
μσω
2
(1 + i )
(3.2.14)
ˆ 对磁感应强度,利用界面上的连续条件 n ⋅ B2 − B1 = 0 可 课外练习:请按 照导出边界条件 以得到类似的结果: ′ ′ ˆ (3.2.15) (3.2.14)式的方法 n ⋅ B0 + B0 − B0 z =0 = 0 推导(3.2.15)式。 等式(3.2.14)式和(3.2.15)式对沿任意方向入射的电磁波都成 立,能够满足这些条件的唯一可能的情况是,在导体的表面 z = 0 处必须满足:
(
)
σ (1 + i ) = kγ (1 + i ) 2εω
1 − γ (1 + i ) E0 1 + γ (1 + i ) 2 E0 1 + γ (1 + i )
把这结果代入反射波和透射波的电场振幅表达式中得到:
(
)
′ E0 = ′′ E0 =
′ ′′ E0 + E0 − E0 = 0 ′ ′′ B0 + B0 − B0 = 0
(3.2.16)
利用电场强度与磁感应强度之间的关系式 ω B = k × E 将 (3.2.16)式的第二式化为
1
ω
k × E0 +
1 1 ′ ′′ k ′ × E0 − k ′′ × E0 = 0 ω′ ω ′′
(3.2.17)
由于入射波、反射波与透射波的频率相等,上述等式变成
′ ′′ k × E0 + k ′ × E0 − k ′′ × E0 = 0
由此得到电磁波由真空垂直入射到良导体的表面上时的反 射系数和透射系数: 2 课外练习: 按照上述方 2 ′ E0 (1 − γ ) + γ 2 法推导磁场在良导体 = R= 2 2 2 表面上垂直入射时的 (1 + γ ) + γ E0 反射系数和透射系数。 2 ′′ 并尝试推导不良导体 E0 2 = T= 时的这两个系数。 2 2 2
E0
(1 + γ ) + γ
将这等式与(3.2.16)式的第一式结合求解,就能得到反射波 和透射波的波幅。在一般情况下,由于波矢之间的关系比较 复杂,因此,这方程组难以求解。在垂直入射的条件下,情
ˆ ˆ 况却简单得多。这时, k ′ = − k , k ′′ = k (3.2.17)式简化成
ˆ ′ ′′ k × ( kE0 − k ′E0 − k ′′E0 ) = 0
由于良导体的 γ >> 1 ,因此, R ≈ 1 , T ≈ 0 ,入射波几乎 完全被良导体的表面反射,不能进入导体的内部。 理论上把电导趋于无穷大的导体称为理想导体, 电磁波 在理想导体内的穿透深度趋于零, 透射波幅也趋于零。 因此, 可以近似地认为导体内没有电磁场,相应的连接条件为: (3.2.18) 其中的电磁场是导体外的电磁场。 第一个条件说明理想导体 能调节自身的面电荷密度,以保证导体内的电场强度等于 零;第二个条件显示理想导体面外的电场与表面垂直;第三 个条件表明理想导体外的磁场没有法向分量; 第四个条件说 明理想导体能调节自身的面电流密度, 以保证导体内的磁场 强度等于零。 上述简化模型对处理大多数导体对外界电磁波 的影响是非常有用的近似。
由于电场振幅的方向必定垂直于传播方向,因此,上式成立 课外练习:请按 的前提是 照始自(3.2.16)式 ′ ′′ kE0 − k ′E0 − k ′′E0 = 0 后的指引求解入 这结果与(3.2.16)式的第一式构成一组方程,求解这组方程 射波、反射波和 透射波的电场振 就能得到反射波和透射波的电场振幅: 幅之间的关系。 k − k ′′ 2k
ˆ ˆ ˆ ˆ n ⋅ D = σ , n × E = 0, n ⋅ B = 0, n × H = α
′ E0 =
k + k ′′
′′ E0 , E0 =
k + k ′′
E0
13
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§3.3
微波在波导中传播
为了满足电场强度在边界处的连接条件, 必须将上述特解按 特解叠加的方式构成电波的各个分量:
电磁波在良导体中的特性有一个简单的应用: 微波在波 导管中的传播问题。由于高频电磁波几乎不能透入导体内, 因此,传输高频电磁能不能使用实心的导线。当电磁波在波 导管中传播时,电场强度的亥姆霍兹方程为
ξ 0 = ( C1 cos k x x + D1 sin k x x )
× ( C2 cos k y y + D2 sin k y y )
(3.3.2)
∇ E − k E = 0, k = μεω
2 2
用函数 ξ ( x, y, z ) 统一代表电场强度的三个分量,每一个分 量都满足亥姆霍兹方程,总共有三个方程,求解必须对每一 个分量分别进行。根据二阶常微分方程的求解规则,电场强 度的每一个分量必定有分离变量形式的解:
对电场强度的每一个分量, 都按上述方式得到特解叠加形式 的解,由于三个分量满足形式相同的亥姆霍兹方程,因此具 有形式相同的特解叠加解, 所不同的是三个分量的特解叠加 系数不一样。于是解式(3.3.2)相当于电场强度的三个分量具 有以下形式的解:
ξ ( x, y , z ) = X ( x ) Y ( y ) Z ( z )
X ′′ + k x2 X = 0
2 Y ′′ + k y Y = 0
y
E0 x = ( C1x cos k x x + D1x sin k x x )
× ( C2 x cos k y y + D2 x sin k y y ) × ( C2 y cos k y y + D2 y sin k y y )
(3.3.3)
由此得到三个分离变量方程:
b
x a
E0 y = ( C1 y cos k x x + D1 y sin k x x ) E0 z = ( C1z cos k x x + D1z sin k x x )
Z ′′ + k z2 Z = 0
假定矩形波导管沿 z 方向放置,并且两个方向都是敞开的, 则电磁场沿该方向的分量方程必定有自由传播形式的解:
z 图 3.3.1 波导管
× ( C2 z cos k y y + D2 z sin k y y )
Z ~eik z z 。于是, ξ = ξ 0 eikz z ,其中 ξ 0 = XY 。另外两个方
向的分量方程受边界的约束,只能取三角函数形式的特解:
将 x = 0 和 y = 0 处的连接条件用到这些分量的叠加式中:
E0 x E0 y E0 z E0 z
y =0 x =0 x =0 y =0
= C2 x ( C1x cos k x x + D1x sin k x x ) = 0
X ~ cos k x x , sin k x x Y ~ cos k y y , sin k y y
求解亥姆霍兹方程得到电场强度的空间部分后, 与时间部分 相乘就得到随时间改变的传播的电波:
= C1 y ( C2 y cos k y y + D2 y sin k y y ) = 0 = C1z ( C2 z cos k y y + D2 z sin k y y ) = 0 = C2 z ( C1z cos k x x + D1z sin k x x ) = 0
(3.3.4)
E = E0 e (
i k z z −ω t )
由此得到四个等于零的叠加系数:
与一般情况相比,波导管内的电波只能沿管的方向传播。 现在我们来求解两个受到约束的方向的分量方程。 假定 波导管是理想导体,电磁波在管壁处满足连接条件:
C2 x = C1 y = C1z = C2 z = 0
于是,特解叠加式(3.3.3)简化成
E0 x = D2 x sin k y y ( C1x cos k x x + D1x sin k x x ) E0 y = D1 y sin k x x ( C2 y cos k y y + D2 y sin k y y ) E0 z = D1z D2 z sin k x x sin k y y
E y = Ez = 0 , x = 0, a Ex = Ez = 0 , y = 0, b
(3.3.1)
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将上述不等于零的叠加系数组合后重新命名, 得到波导管内 的电场强度的初步表达式:
自然满足的。这些连接条件给出波矢的取值规则: 课外练习:无限 长的矩形波导管 在 沿 z 方向放置, z =0 处被一块 平行于 x− y 平 面的理想导体板 封闭,求 z = −∞ 到 z =0 间的管 内的电场强度。
E0 x = ( A1 cos k x x + B1 sin k x x ) sin k y y
kx =
E0 y = ( A2 cos k y y + B2 sin k y y ) sin k x x E0 z = A3 sin k x x sin k y y
将电磁波的横波条件 ∇ ⋅ E = 0 用到解式(3.3.5)中:
(3.3.5)
其中 m, n = 0,1, 2, 不能都等于零, 否则将给出恒等于零的 电场强度,这没有任何物理意义。 确定了电波后,磁波就可以由电场的旋度方程
mπ nπ , ky = a b
(3.3.9)
k x ( B1 cos k x x − A1 sin k x x ) sin k y ye +ik z A3 sin k x x sin k y yeik z z = 0
ik z z
+ k y ( B2 cos k y y − A2 sin k y y ) sin k x xeik z z
横波条件在波导管内的任意点都满足,在 x = 0 和 y = 0 处 也不例外。把横波条件用到这两个位置上,在 x = 0 处 k x B1 sin k y y = 0 ,在 y = 0 处 k y B2 sin k x x = 0 。这只有当
∇ × E = − B 导出。由于磁场与电场满足相同的波动方程, i ( k z −ω t ) 。把这 因此预期两者的解具有相同的形式: B = B0 e z
个解以及前面给出的电波解代入电场的旋度方程中, 就得到 磁波的表达式:
B0 x = −
课外练习:按照 上面的指引推导 磁波的表达式。
1
ω
(k A
z
2
+ ik y A3 ) sin k x x cos k y y
(3.3.10)
B0 y = B0 z =
1
ω
i
( k z A1 + ik x A3 ) cos k x x sin k y y
B1 = B2 = 0 时才有可能。解式(3.3.5)进一步简化成 E0 x = A1 cos k x x sin k y y
ω
(k
y
A1 − k x A2 ) cos k x x cos k y y
E0 y = A2 sin k x x cos k y y E0 z = A3 sin k x x sin k y y
而横波条件则简化成
(3.3.6)
这表达式自动满足磁场的横波条件和边界连接条件。 关系式(3.3.7)式显示,电磁波的三个波幅是有关联的。 通常让满足 A3 = 0 的波作为一种基本波型,这种波型的基 本特征是 E0 z = 0 ,电场没有沿传播方向的分量。由于这个 特征,这种波型被称为横电型的波,简称 TE 波,它的电矢 量与传播方向垂直。对于不同的波矢指数 m, n ,相应的波
(k A + k
x 1
y
A2 − ik z A3 ) sin k x x sin k y ye
ik z z
=0
(3.3.7)
这结果适用于波导管内任意点,由此得到
k x A1 + k y A2 − ik z A3 = 0
解式(3.3.6)还必须满足 x = a 和 y = b 处的连接条件
记为 TE mn 。当 m = 0 时, k x = 0 ,由(3.3.6)式可知,为了 保证电场强度不恒等于零,必定有 A1 ≠ 0 和 k y ≠ 0 ,而由 课外练习: 按 照对 TE 0 n 波 (3.3.7)式马上可以判断 A2 = 0 ,也就是 E0 y = 0 ,而(3.3.10) 式则给出 B0 x = 0 。因此, TE 0 n 波的电矢量沿 x 方向,磁 矢量没有 x 方向的分量,电磁场的强度与 x 坐标无关,电磁 波以 y = 0 和 y = b 为反射面按之字形的方式朝 z 方向传 播。对 TE m 0 波可以做类似的分析。 与 TE 波形成对照,另一种基本波型的磁矢量与传播方
E0 x E0 y E0 z E0 z
y =b x=a x=a y =b
= A1 cos k x x sin k y b = 0 = A2 sin k x a cos k y y = 0 = A3 sin k x a sin k y y = 0 = A3 sin k x x sin k y b = 0
(3.3.8)
的分析方法 分析 TE m 0 波 的传播特性。
实际上,只要前两个连接条件得以满足,后两个连接条件是
17
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称之为横磁型的波, 简称 TM 波。 由(3.3.10) 向垂直: 0 z = 0 , B 式可知,TM 波的振幅系数满足关系 k y A1 = k x A2 。对于不 同的波矢指数 m, n ,相应的波记为 TM mn 。如果 m = 0 ,则 课外练习:按 照对 TM 0 n 波 的分析方法对 n = 0 的情况 做分析。 mn 0 1 2 3 4 …
频率的波将以 TE10 的模式传播。 作为上述理论推演的一个简单应用, 考虑一根 7 × 3cm 的波导管,看看这根波导管能传送哪些波长的电磁波,以及 这些电磁波各能以怎样的模式传播。首先按照(3.3.12)式算 出每一种波模的极限波长,将所得的结果汇集成表 3.3.1。 根据上面的理论推演, 在这个波导管中能够传送的电磁波的 波长比这个极限波长短的 极限波长是 14cm , 表 3.3.1 0 1 2 3 4 … 波都能在其中传播,比如说,波长为 8cm 的 6.0 3.0 2.0 1.5 波能够以 TE10 的模式传播, 波长为 6cm 的波 14.0 5.51 2.93 1.97 1.49 能够以 TE10 或 TE 20 的模式传播,而波长为 7.0 4.56 2.76 1.90 1.47 5cm 的波则能够以 TE10 、 TE 20 、 TE 01 、 4.67 3.68 2.52 1.84 1.43 3.5 3.02 2.28 1.74 1.38 TE 或 TM 的模式传播,如此等等。
2 11 11
k y 与 A1 两者至少有一个等于零,由(3.3.6)式可知,这必将
导致电场强度恒等于零,而(3.3.10)式也给出恒等于零的磁 场。对 n = 0 的情况可以做类似的分析。结果发现,波导管 中不存在 TM 0 n 和 TM m 0 两种模式的电磁波。 一般情况下,波导管中的电磁波可以表示成 TE mn 和
TM mn 两种波型的叠加。
为了使电磁波能够沿着波导管传播, 沿着波导管方向的 波矢分量必须为实数。由波矢与频率的关系 k c = ω 得:
2 2 2
kz =
ω
c
2
2
−
mπ nπ − 2 2 a b
2 2 2
2
k z 为实数的要求立刻导致
课外练习:在上述波导管中, 波长等于 2.5cm 的波和频率等 (3.3.11) 于 3 ×10 Hz 的波分别能以怎 样的模式传播? 为了回答第二个问题,可能需 要将上面的表格扩充。如果确 实有这个需要,请尝试对表格 做必要的扩充。
10
ω2
m 2π 2 n 2π 2 > 2 + 2 c2 a b
这结果显示,对一定尺寸的波导管,具有确定频率的电磁波 只能以有限的几种模式在波导管中传播, 而这个波导管能传 送的波的频率也是有限制的。利用波长与频率的关系 λω = 2π c ,可以改用波长来表示这个限制:
⎛m n ⎞ (3.3.12) + 2 ⎟ ≡ λmn 2 b ⎠ ⎝a 其中 λmn 是能够以 TE mn 或 TM mn 模式传播的波的截止(最 大)波长,更明确地说,所有 λ b ,则由(3.3.11)式得到能传送的 πc ,或者最大波长 λmax = 2a ,这个频率 最低频率 ωmin = a
λ
2
2
−
1 2
课外练习: 四周封 闭的矩形金属空 腔叫做谐振腔。 假 定谐振腔的尺寸 请按 为 a×b×c , 照讨论波导管的 方法指引讨论空 腔内的电磁场。
以及更低频率的电磁波不能在波导管中传送, 而稍高于这个