解析几何中有关四点共圆问题的证明
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数学篇 ・ 思路 ・ 方法 ・ 技巧 ・
《 理化 数 解题研 究》 20 第1. 02 2 ̄ 1 t
船析八何巾有关四点共圆问题帕证明
★ 江苏省常熟外国语学校 (150 韩 勤 ● 张肇平 ● 250)
下面通过一 些例题, 明解析几 何 中如何证 明 说 四点共圆.
一
角相等或对角互补, A B C D 四点共 圆 . 故 、、 、
四、 用相交弦定理或切割线定理的逆定理
例 4 过不在抛物 线 y=2 x上的点 只 引抛物 2 p 线 的两割线 P B P D 交抛物线 于 、 、 、 求 A ,C , B C D.
、
用圆的定 义
例 l 已知坐标平 面 内有 四点 : (, )B -5 A5 9 ( , 、
、
a 一1 一 ) (, ) ( , 5、 9 一1 求证: B C D四点共圆. D , A、 、 、 分 析 通 过作 图, 发现 A C 可 能 为一 正 方 BD
证 : B C D四点共圆的充要条件是两条 割线 的倾 A、 、 、
斜角互补. 分析 I ・朋 I P I I 是 B C D 四 P I I =I ・P C DI 、、
形, 而正方形的中心为其外接圆的圆心, 故可用圆的
定义来证 . 略解 由中点公式得 A C中点为E2 2. (, ) 易求得 lE AI
点共 圆的充要条件 . 为了表示出 I 1 I I I l P . 及 e ・ A c
I l P , O 考虑用直线的参数方程.
证明 设直线 A 、 D的倾斜角分别 为 o (≤ BC c 0 , o 卢 兀, c <) , 则它们的方程分别 为
( i )
= =clI I√ 8 、、、 点 圆. I I = E 5, E D = 所以 BCD四 共
二、 对角互补, 四点共圆
例 2 已知直线, x y 5 0 J =3x 6 1 +3一1= ,2 : : k一. ( 为何值时,、 与两坐标轴围成的四边形有一 1 )k fz 2
个外接 圆? 2 求这个外接 圆的方程 . ()
一 + 』 l
y +se 为 数)一y y I 参 . = t ( 参 , l= 0 i 为 数) it n + l 卢
② oC , j +O XS
将 ① 代 入抛物 线方 程 , 理 得 i 整 I l 2on 一2 +( s  ̄ p yi
解 1 : 轴 ( 设f ) 与x 交于点A则A÷,)f , ( 0 1 ,
与Y 轴交于点B 则 BO 5 又设 f与 f , (, ) . 1 2 相交于点 C .
当 k 时, B =1 有 C上A , C 即 ̄A B= 0, C 9 ̄则有 A B O
cs) 一 p 0 由韦达定理知 I 1 I I t・ 0of c + 2 = . .阳 =I
I —
I 一2 x
y po o I
r一 - 五 一 。
同理可得 I I I I I ・ = P ・P = C D
() 1充分性
+ =C , B=10 对角互补, A B C D 四点共圆 . 4 8 ̄ . 故 、、 、
.
() 2这个圆以A B为直径, 圆心为(,÷ )半径 2 ,
若 o =冗 即 o 一 , 9 i = i . c +卢 , c =兀 卢 贝 眦 s # 由① ② s n
知 I4 . 矧=l 1 I l P 11 / P P .P , C O 于是 、 、 、 B C D四点共圆 .
() 要 性 2必
为 , 方为 —:一 ) 故 程 (1 (导= 圆 x)y 2 + .
三、 张角相等, 四点共圆 例 3 求证: 等轴双曲线 = 2 c上任意三个点
若 / B C D 四点共圆, { 、、 、 则有 i 1 I I P l . =I ・ 耶 C
.
由 ,知掣 ①②
=
.
由
,
,
詈 ,)c t 点( ,r y1不在 抛物线上,知 y2 px#0,故 有 sI i . ) 丢C,) , c ( 、 、ts ) f ) ( 和 素 l s 2 u o —2 o= i l I =sl
又 0 。 卢 , o , c 卢 , ≤ c < 且 c . + =兀 即两直线 的倾 , ≠卢 .o
斜角互补 . 、 、 、 放 B C D四点共圆的充要 条件是两直
¥1- 1 t 1X
S ’ m
共 圆.
证 素,。-3 奇, 线 P4 、CD的倾斜角互补 . 明知 n 一 k f良 , 一 ,B P t ,
.D 一 t 3 !n D l I I 2 Lt B . ( c . a i l
五、 证明四个点的坐标满足同一圆方程
证明 设两共轭双曲线方程为 一告 =1 和
一 - ZB , DI 一 C =
等
一
=
一
则LD B _ B 或 D B D I =冗 山于张 A = ̄DC , C + B .
1 . 前者焦 (a 6 0 (√a 6 点为 √ 2 ) 一 2 + ,, +,
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数学篇 ・ 教学随笔 .
《 理化解 究》2 年第1期 数 题研 ∞2 2
分析 直线 f 的方程可 由点斜 式 写 出, 显然 点
、
在f 上或异侧 .
解
设直 线 f 的方程 为 Y = +1 即 k - 一2 足 ) , x y
+k+2=0.
当点 A -2 ( ,一3或 3 0 在 f ) , ) 上时, 得
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(33 0 赵荣秀 ● 550 )
k 或k =5 =一1 . / 2
当 、 在f 的异侧时, 有
命题 已知直线 fA + + 0 : x C= ,点 Px,, llJ) ( ,
P( , 2() B、 2 f 2 2y . 若 x )
1 P 在 的两侧 , ( x+ 。 ) 则 A +C ( x+ 2 ) ; 2若 P、 2 l A 2 +C <0 () l 在 的同侧, A , P 则( x+
1
( + +2 (k + +2 <0解得 一2 +3 k )3 一0 足 ) , 七 >5或 k <一1 . / 2
综合上述 , 得直线 f 的斜率的取值范围是
+C ( + 2 C >0 ) + ) .
( 0 一O,一1 ]J,+O) / I[ 2 5 0 .
例 2 已知直线 a +y = x +2 0与P 一2 ) Q 3 ( ,1 (, ,
证 明 () P、 在 l 1若 l 的两侧 , 则过 P 的直线 1
必与直线 l 相交, 设交点为 P( ,o oo ) X y, -2 则 ,
2 的连结线段 P ) Q始终无公共点, 求实数 a的范围.
分析 解 直线 + , 2 0与线段 尸 无公共点 , J = + j Q 直线 a +y 2 O与点 P 一2 ) Q(,2 . x + = ( ,1 , 3 )
=
尝 ’- .P ,在 线 1 ,- + 。’‘矾上 。 o L f, + Y o 0 1 又 0直 ‘’ ,且
・ ・
就是点 P Q在 已知直线的同侧 . 、
・
A o y +C=0 即 ・ x +B o ,
+ ・
+
连结所得的线段 P Q无公共点, 则有( a + )3 一2+l 2 (口
+2 2 >0 解得 一4 < < /. +) . / 口 3 3 2
c . 得 =一 =0 解
. P 为 P 2 内分 又 0 l 的 P
故a 的取值范围是( 43 3- 一 /, / . ) )
.
,
即芸 >‘x + 这 四个 点 的坐 标 都 满 足 圆方 程 +y2 +6,故 l l + =
、 、 、
0 后者焦点为 F( √ 2b, ( 一 a 6 . ) ; 3, a 0 √ 2 0 +) , +)
四点共圆 .
C ( x+ 2 ) 0 ) A 2 +C < .
() 只、 2 f 2若 P 在 的同侧, 只P( 即 2或 ) 的延 长 线与 f 相交, PP / . 或 l / 2 f
当P 2 船 ) 。( P 或 的延长线 与 l 交 时, 相 设交 点为
六、 利用 曲线系方程得 出圆方程
例 6 抛物线 y=2 (+n 与 x= q) 6 相交 2 p) )  ̄ 2 (+ ) c c
于四个不 同的点, 求证这四个点必在一个 圆上 ( 此处 J q ab均为正实数) _ 、、 , 、 . 解 过两 已知抛物 线交 点的 曲线 系方 程为 一 2 x p + 一2y q ) , p 一2口 q 一2b=0 它必过四个交点 . 令
A , ( — )+(— ) p  ̄ 2 a q > , =1得 x p y q
2 q+ p +2b 0 这 = 是一个 圆方程 . 故四个交点在同一个圆上. 上面介绍了在解析几何 中证 明四点共 圆的六 种
, ,
, . ,
P o , P
-
同理可得 =一 A , C x+B , y+ 2 同理可得 =~ . .
.
又 P 为 B 2 P 的外分点,. <0 即 0 P( 2 或 ) . . ,
一
Ax + Y C< l Bl 丽 + 0
,
・
.
.
+ IC (x+ y ) . + ) z B 2 >0 A +C
当 P / 时, P 的方程为 1 / l 设 1
A+ + 1 , x C =0 则 x+B 1 1 y=一C, 1
一
+ 2 =
方法 , 当然同一道题也可用多种不同方法证明 .
下面是 20 年高考江苏卷 2 题, 02 0 请读者参考上 述方法给 出多种解法 .
' 2
C ,. x+ 1 =A 2 B 2 C= l ‘ , +C x+ y + C—C . .A 1
’ . .
x+ 。 。 +C与
+ +C同号,
’
.
.
+ 1 ) + y+ >0 +C( , B2 O 4 .
设 、 B是双曲线 一
’ Z
=l 上的两点, Ⅳ 1 点 (,
综合上述, 命题得证. 运用这个性质解答有关问题时, 十分简便 . 例 1 已知直线 , 过点 P 一I 2 且 与点 A 一 , ( ,) , (2
一
2是线段 A B的中点 .
() 1求直线 A B的方程;2 如果线段 A () B的垂直
3 B3 0 为端 点 的线 段 A ) (, ) , B相交, 求直线 l 的斜
平分线 与双曲线相 交于 C D 两点, 么 、 C D 、 那 、 、
四点是否共圆? 为什么?
率的取值范围.