2016年长春市52中学数学题及答案

数学试卷

一、选择题（每小题3分，共24分）

1．-1的倒数是 3

（A ）-． 1

3 （B ）-3． （C ）． 1

3 （D ）3．

2．右图是由4个完全相同的小正方体组成的几何体，它的俯视图是

（A ） （B ） （C ） （D ） (第2题)

3．根据国家统计局最新统计结果显示，2013年末全国大陆总人口为1 360 720 000人，

1 360 720 000这个数字用科学记数法表示正确的是

（A ）1.36072⨯109 （B ）1.36072⨯1010．（C ）13.6072⨯109．（D ）13.6072⨯108．

4．不等式-x -1

12（A ） （B

） （C ）

（

D

）

5．一组数据4，3，6，9，6，5的中位数和众数分别是

（A ）5和5.5． （B ）5.5和6． （C ）5和6． （D ）6和6．

6．如图，直线AB ∥CD . 若∠A =25°，∠C =115°, 则∠E 的大小为

（A ）70°． （B ）80°． （C ）90°． （D ）100°．

(第6题) (第7题) (第8题)

AB = AC . 若∠ABC =70°, 则∠BOC 的大小为 7．如图，在⊙O 中，

（A ）60°． （B ）70°． （C ）80°．

（D ）90°．

8．如图，在平面直角坐标系中，等腰直角△ABC 的顶点A 、B 的坐标分别为（0，4）、

（-3，0），将△ABC 向左平移得到△A ' B ' C ' ，其中点C ' 在直线y =3x 上，则平移的

距离为

（A

5 （B ）2． （C ）． 2（D ）1．

二、填空题（每小题3分，共18分）

9

10．关于x 的一元二次方程x 2+2x +m =0有实数根，则m 的取值范围为

11．2014年“春节”期间，莲花山滑雪场从初一到初六共售出滑雪门票a 张，共售出“冰

雪欢乐谷”门票b 张，则这六天平均每天售出两种门票共 张（用含a 、b 的

代数式表示）．

12．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y =12和y =-的图象分别是l 1和l 2. 点P 在x x

l 1上，P A ⊥x 轴，交l 2于点A ；PB ⊥y 轴，交l 2于点B ．则△P AB 的面积为．

(第12题) (第13题) (第14题)

13．如图，在正五边形ABCDE 中，以BC 为一边，在形内作等边△BCF ，连结AF ．则

∠AFB 的大小是 度．

14．如图，抛物线y =a (x -3) 2+k (a >0) 经过点A （1，2），平行四边形OABC 的顶点C 在

x 轴上，顶点B 在抛物线上，则平行四边形OABC 的面积为

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15．（6分）先化简，再求值：(

3x +11，其中x =． -x +1) ⋅x +1x -22

16．（6分）小华、小明各有3张不透明的卡片，除正面写有不同的字母外，其余均相同，

卡片上的字母如图所示. 小华和小明分别将自己的卡片背面向上洗匀，从中随机抽取

一张. 请用画树状图（或列表）的方法，求抽取的两张卡片上的字母相同的概率．

A 小华 B

C 小明

(第16题)

17．（6分）某工程队要修建全长2 200米的高架桥，为尽量减少施工对城市交通所造成

的影响，实际施工时，每天的工效比原计划增加10%，这样就可以提前5天完成任

务. 求原计划每天修桥的长度.

18. （7分）如图，菱形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O ，延长AB 至点E ，使BE =AB ，

连结CE .

（1）求证：BD =EC .

（2）若∠E =50°，求∠BAO 的度数．

(第18题)

A C D

19．（7分）如图，在净月滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成

的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A 到达山顶B 缆车需要16分钟，

求山的高度BC . （精确到0.1米）

【参考数据：sin32º=0.5299, cos32º=0.8480, tan32º=0.6249】

(第19题)

20．（7分）以“光盘”为主题的公益活动越来越受到社会的关注．某校为培养学生勤俭

节约的习惯，随机抽查了部分学生（态度分为：赞成、无所谓、反对），并绘制成如

图所示的两幅统计图，请根据图中提供的信息，解答下列问题：

（1）此次抽样调查一共抽查了多少名学生？

（2）将图①补充完整．

（3）根据抽样调查结果，请你估计该校3 000名学生中大约有多少名学生持反对态

度？

学生对“光盘”活动态度的 学生对“光盘”活动态度的

扇形统计图

条形统计图

图① 图②

(第20题)

21．（8分）周末哥哥小亮从家出发，骑自行车去体育馆打球，途中遇到弟弟小明按同样

路线从体育馆步行回家. 小亮在体育馆打球时接到妈妈电话后立即返回，返回途中又

遇小明，便用自行车载上小明，一起到家，结果小亮比预计时间晚到家1分钟，两

人离家的距离s （千米）和小亮从家出发后所用的时间t （分）之间的函数图象如图

所示.

（1）小亮家距体育馆_______千米.

（2）求小亮从家出发后第一次与小明相遇时离家的距离．

（3）求小亮从家出发到返回家所用的时间；小明从体育馆到家所用的时间.

(第21题)

22．（9分）感知:如图①，以等腰直角△ABC 的斜边BC 为边向△ABC 外部作正方形

CBED ，对角线CE 、BD 交于点F ，连结AF ，交BC 于点G ，

易知AF 探究:如图②，Rt △ABC 中，AC =4，AB =3，以斜边BC 为边向△ABC 外部作正方形CBED ，

对角线CE 、BD 交于点F ，连结AF ，交BC 于点G ，求AF 的长.

拓展:如图③，Rt △ABC 中，AC =5，AB =2，以斜边BC 为边向△ABC 外部作菱形

CBED ，对角线CE 、BD 交于点F ，且BD :CE =1:2，连结AF ，交BC 于点G ，则

AF 的长为_______．

图①

图② (第22题)

图③

23．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-1(x -2) 2+m 的位置随m 的变2

化而发生改变. 矩形OPMQ 的顶点P （m ，0）为x 轴正半轴上的一点，顶点Q （0，

6-m ）为y 轴正半轴上的一点.

（1）当点M 落在抛物线上时，求m 的值.

(2) 当矩形OPMQ 的面积最大时，求矩形OPMQ 的各边与抛物线

1y =-(x -2) 2+m 的交点坐标. 2

（3）直接写出矩形OPMQ 的各边与抛物线共有2个公共点时m 的取值范围.

(第23题)

24. （12分）如图，菱形ABCD 中，AD =2cm，∠ABC =60º，点P 、Q 分别从点A 、C 出

发，沿AD 、CD 以2cm/s的速度匀速向终点D 运动，连结并延长QP 交BA 的延长

线于点M ，连结BD ，将△AMP 沿AD 翻折，得到△AEP . 设△AEP 与△ABD 重叠

部分面积为S ，点P 、Q 运动时间是t （s ）（0＜t ＜1）.

（1）当t =_______时，点E 在BD 上.

（2）求S 与t 的函数关系式.

（3）求当t 为何值时，重叠部分面积S 是菱形ABCD 面积的1. 8

（4）连结AC 交BD 于点O ，PQ 与BD 交于点F ，直接写出当t 为何值时，四边形

P AOF 被EP 、ME 所在直线分割成的三部分能够拼成一个三角形.

(第24题)

数学答案

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）

1．D 2．A 3．A 4．B 5．B 6．C 7．C 8．B

二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

9． 10．m ≤1 11． 12． 13．66 14．8

三、解答题（本大题共10小题，共78分）

15．原式

．

当 时，原式= ．

16．画树状图如下： 列表如下：

小华

A B C

A （A ，A ） （B ，A ） （C ，A ）

C （A ，C ） （B ，C ） （C ，C ）

D （A ，D ） （B ，D ） （C ，D ）

∴P （抽取的两张卡片上的字母相同）＝ .

17．设原计划每天修桥的长度是x 米．

根据题意，得 ．

解得 ＝40．

经检验， ＝40是原方程的解，且符合题意．

答：原计划每天修桥的长度是40米．

18．(1)在菱形ABCD 中，

AB ∥CD ，AB=CD.

∵BE=AB，∴BE=CD．

∴四边形BECD 是平行四边形．

∴BD=CE．

(2) ∵ 四边形BECD 是平行四边形 ,

∴DB ∥CE, ∴∠ABD=∠E=50º .

在菱形ABCD 中，AC ⊥BD ，

∴∠AOB=90º，∴∠BAO=90º-∠ABD=40º.

19．由题意，得AB= =800m．

在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，

∠BAC=32°，sin ∠BAC= ,

∴BC=ABsin32°≈800×0.5299=423.92≈423.9m.

答：山的高度BC 约为423.9m.

20．（1） （名）

答：此次抽样调查一共抽查了200名学生.

（2）补全统计图如图所示.

（3） （名）

答：该校3 000名学生中大约有300名学生持反对态度.

21．（1）6.

（2） （千米），

答：小亮从家出发后第一次与小明相遇时离家的距离为4千米.

（3）小亮从体育馆返回遇小明前速度为：

（千米/分）

80+1 +1=85（分），

小明步行速度为： （千米/分）．

（分）

答：小亮从家出发到返回家用85分钟，小明从体育馆到家用105分钟.

22．探究：

过点F 作FM ⊥AC 于点M ，FN ⊥AB 交AB 延长线于点N ，

∴∠CMF =∠FNB =90°．∵∠BAC=90º，

∴四边形ANFM 是矩形，∴∠MFN=90º，

∴∠MFB+∠BFN =90°.

在正方形BEDC 中，CE ⊥BD ，∴∠CFB=90º

∴∠CFM+∠MFB=90°．

∴∠BFN =∠CFM ．

∵CF=BF，

∴△CFM ≌△BFN ．

∴FM = FN，四边形ANFM 是正方形．

∴CM=BN，

∴AM+AN=AC+AB=4+3=7. ∴AM=AN= .

∵∠FAB=45º，∴ .

拓展： .

23．（1）∵P （m ，0），Q （0，6-m ），

∴M （m ，6-m ）．当M 在抛物线 上时，

，解得 . ∴m 值为4.

（2）设矩形OPMQ 的面积为S ，

．

∴当m=3时， .

此时， ，即 .

∴抛物线与OQ 交点为（0，1）；与QM 交点为（2，3）；与PM 交点为（3，

无交点.

（4） ＜m ＜3，4≤m ＜6．

24. （1） .

（2）当0＜t ≤ 时， ；

当 ＜t ＜1时， ，

即 .

（3）当0＜t ≤ 时， ，解得 ， （舍去）；

当 ＜t ＜1时， ，

解得 （舍去）， （舍去）.

综上，t 值为 .

（4） ， .

. 与OP ）