整数整除的概念和性质
第一讲 整数整除的概念和性质
1.已知a ,b 是整数,求证:a+b,ab 、a-b 这三个数之中,至少有一个是3的倍数.
解答:证明:对于a ,b ,若至少有1个数是3的倍数,则ab 是3的倍数; 若a ,b 都不是3的倍数
①当a=3m+1,b=3n+1时,a-b=3(m-n ),a-b 是3的倍数;
②当a=3m+1,b=3n+2时,a+b=3(m+n+1),a+b是3的倍数;
③当a=3m+2,b=3n+2时,a-b=3(m-n ),a-b 是3的倍数;
∴a+b,ab 、a-b 这三个数之中,至少有一个是3的倍数.
2. 已知7位数
解答:解:∵72|,∴8|,9|。 是72的倍数,求出所有的符合条件的7位数.
由此得:1+2+8+7+x+y+6=24+x+y是9的倍数,而0<x ≤9,0<y ≤9, 则x+y=3或12,又必是8的倍数,必是4的倍数,
则y=1,3,5,7或9,
当y=1时,x=2,8|216;
当y=3时,x=0或9,8不能整除36(不符合题意),8|936(符合题意); 当y=5时,x=7,8不能整除756(不符合题意);
当y=7时,x=5,8|756;
当y=9时,x=3,8不能整除396(不符合题意);
综上可得:当y=1,x=2;y=3,x=9,;y=7,x=5时所得的7位数满足条件. ∴符合条件的7位数为:1287216,1287936,1287576.
3. (1)若a 、b 、c 、d 是互不相等的整数,且整数x 满足等式(x-a )(x-b )(x-c )(x-d )-9=0,求证:4|(a+b+c+d).
(2)已知两个三位数
与的和+能被37整除,证明:六位数也能被37整除.
解答:证明:(1)∵9=1×(-1)×3×(-3),
∴可设x-a=1,x-b=-1,x-c=3,x-d=-3,
∴a=x-1,b=x+1,c=x-3,d=x+3,
∴a+b+c+d=4x,
即4|(a+b+c+d);
(2)∵又∵和(∴+= ×1000+ = ×999+(
+)
)能被37整除, +)能被37整除,即六位数能被37整除. ×999+(
4. 某商场向顾客发放9999张购物券,每张购物券上印有一个四位数的号码,从0001到9999号,如果号码的前两位数字之和等于后两位数字之和,则称这张购物券为“幸运券”.证明:这个商场所发放的购物券中,所有的幸运券的号码之和能被101整除.
解答:解:由已知,显然,号码为9999是幸运券,除这张外,如果某个号码n 是幸运券,那么号m=9999-n也是幸运券,由于9是奇数,所以m ≠n .由于m+n=9999相加时不出现进位,这就是说,除去号码9999这张幸运券外,其余所有幸运券可全部两两配对,而每一对两个号码之和均为9999,即所有幸运券号码之和是9999的整倍数,而101|9999,故知所有幸运券号码之和也能被101整除.
5. 写出都是合数的13个连续自然数.
解答:解:我们知道,若一个自然数a 是2的倍数,则a+2也是2的倍数,若是3的倍数,则a+3也是3的倍数,…,若a 是14的倍数,则a+14也是14的倍数,
所以只要取a 为2,3,…,14的倍数,则a+2,a+3,…,a+14分别为2,3,…,14的倍数,从而它们是13个连续的自然.
所以,取a=2×3×4×…×14,则a+2,a+3,…,a+14必为13个都是合数的连续的自然数.
6. 已知定理“若大于3的三个质数a 、b 、c 满足关系式2a+5b=c,则a+b+c是整数n 的倍数”.试问:这个定理中的整数n 的最大可能值是多少?请证明你的结论.
解答:证明:∵a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b),
显然,3|a+b+c,
若设a 、b 被3整除后的余数分别为r a 、r b ,则r a ≠0,r b ≠0.
若r a ≠r b ,则r a =2,r b =1或r a =1,r b =2,
则2a+5b=2(3m+2)+5(3n+1)=3(2m+5n+3),或者2a+5b=2(3p+1)+5(3q+2)=3(2p+5q+4),
即2a+5b为合数与已知c 为质数矛盾.
∴只有r a =r b ,则r a =r b =1或r a =r b =2.
于是a+2b必是3的倍数,从而a+b+c是9的倍数.
又2a+5b=2×11十5×5=47时,
a+b+c=11+5+47=63,
2a+5b=2×13十5×7=61时,
a+b+c=13+7+61=81,
而(63,81)=9,故9为最大可能值.
7. 一个正整数N 的各位数字不全相等,如果将N 的各位数字重新排列,必可得
到一个最大数和一个最小数,若最大数与最小数的差正好等于原来的数N ,则称N 为“新生数”,试求所有的三位“新生数”.
解答:解:设N 是所求的三位“新生数”,它的各位数字分别为a 、b 、c (a 、b 、c 不全相等),将其各位数字重新排列后,连同原数共得6个三位数:,不妨设其中的最大数为,则最小数为.由“新生数”的定义,得N=abc -cba =(100a+l0b+c)一(100c+l0b+d)=99(a-c ).
由上式知N 为99的整数倍,这样的三位数可能为:198,297,396,495,594,693,792,891,990.这九个数中,只有954-459=495符合条件,故495是唯一的三位‘新生数”.
8. 从左向右将编号为1至2002号的2002个同学排成一行,从左向右从1到11报数,报到11的同学原地不动,其余同学出列;然后,留下的同学再从左向右从1到11报数,报到11的同学留下,其余同学出列;留下的同学再从左向左从1到11地报数,报到11的同学留下,其余同学出列.问最后留下的同学有多少?他们的编号是几号?
解答:解:由题意,第一次报数后留下的同学,他们的编号必为11的倍数; 第二次报数后留下的同学,他们的编号必为112=121的倍数;
第三次报数后留下的同学,他们的编号必为113=1331的倍数.
因此,最后留下的同学编号为1331的倍数,我们知道从1~2002中,1331的倍数只有一个,
即1331号,
所以,最后留下一位同学,其编号为1331.
9. 在一种游戏中,
魔术师请一个人随意想一个三位数,把的和N 告诉魔术师,于是魔术师就能说出这个人所想的数.现在设N=3194,请你
做魔术师,求出数来.
解答:解:将acb 也加到和N 上,这样a 、b 、c 就在每一位上都恰好出现两次,所以有acb +N=222(a+b+c),
从而3194+100≤222(a+b+c)≤3194+999,而a 、b 、c 是整数.
所以15≤a 十b 十c ≤18①.
因为222×15-3194=136,222×16-3194=358,222×17-3194=580,222×18-3194=802,
其中只有3+5+8=16能满足①式, ∴=385.
10. 在下边的加法算式中,每个口表示一个数字,任意两个数字都不同:试求A 和B 乘积的最大值.
解答:解:先通过运算的进位,将能确定的口确定下来,再来分析求出A 和B 乘积的最大值.
设算式为
显然,g=1,d=9,h=0.
a+c+f=10+B,b+e=9+A,
∴A ≤6.
∵2(A+B)+19=2+3+4+5+6+7+8=35,
∴A+B=8.
要想A ×B 最大,∵A ≤6,
∴取A=5,B=3.
此时b=6,e=8,a=2,c=4;f=7,
故A ×B 最大值为15.
11. 任给一个自然数N ,把N 的各位数字按相反的顺序写出来,得到一个新的自然数N ′,试证明:|N-N′|能被9整除.
解答:解:令N=a 1a 2⋅⋅⋅a n ,则N ′=a n a n -1⋅⋅⋅a 1.
所以,N 除以9所得的余数等于a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n 除以9所得的余数, 而N ′除以9所得的余数等于a n +a n -1+⋅⋅⋅a 1除以9所得的的余数. 显然,a 1+a 2+⋅⋅⋅+a n =a n +a n -1+⋅⋅⋅a 1.因此,N 与N ′除以9所得的余数相同,从而|N-N'|能被9整除.
12. (1
)证明:形如的六位数一定能被7,1l ,13整除.
(2)若4b+2c+d=32,试问能否被8整除?请说明理由.
解答:解:(1)=1001(100a+10b+c)=7×11×13(100a+10b+c), ∴形如的六位数一定能被7,1l ,13整除.
(2)=1000a+100b+10c+d=1000a+96b+8c+(4b+2c+d)
=1000a+96b+8c+32,
以上各式均能被8整除,
故若4b+2c+d=32,能被8整除.