双曲线及其标准方程教案[1]
双曲线及其标准方程
一.教学目标:
1.使学生掌握双曲线的定义和标准方程的推导过程;
2.使学生掌握双曲线的两类标准方程,会求解双曲线的标准方程
二.教学重点:双曲线的定义
三.教学难点:双曲线方程的推导
四.教学过程: (一)复习回顾
(二)双曲线的定义:
1.问题:若把椭圆定义中”距离之和”改为”距离之差”,那么动点的轨迹是什么?它的方程是怎么样的呢? 2. 双曲线的定义: 平面内与两定点F1,F2的距离的差的绝对值是常数(小于|F)的点的轨迹叫做双曲1F2|线.这两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点,两个焦点之间的距离叫做焦距. 3.简单演示(使用几何画板). 4. ||MF1||MF2||2a (*)
注意:①(*)式中是差的绝对值,在02a|F1F2|条件下:
|MF1||MF2|2a时为双曲线的一支(含F2的一支);
|MF2||MF1|2a时为双曲线的另一支(含F1的一支).
②当2a|F1F2|时,||MF1||MF2||2a表示两条射线. ③当2a|F1F2|时,||MF1||MF2||2a不表示任何图形.
(三).双曲线标准方程的推导: 现在来研究双曲线的方程.我们可以类似求椭圆的方程的方法来求双曲线的
方程.这时设问:求椭圆的方程的一般步骤方法是什么?不要求学生回答,主要引起学生思考,随即引导学生给出双曲线的方程的推导.
标准方程的推导: (1).建系设点:取过焦点
F1,F2的直线为x轴,FF线段12的垂直平分
线为y轴(如图所示)建立直角坐标系,设M(x,y)为双曲线上任意一点,双曲线的焦距是
2c(c0),那么F1,F2的坐标分别是F1(c,0),F2(c,0).又设点M与F1、F2的距离的
差的绝对值为2a.
(2)点的集合:由定义可知,双曲线就是集合:
P={M||MF1|-|MF2||=2a}={M|MF|-|MF12|=2a }.
(3)
代数方程
|MF1|
,
|MF2|
,
2a
(4)化简方程:将这个方程移项,使式子两边平衡,再两边平方得
:
22222222(c-a)x-ay=a(c-a) ,移项整理两边平方可得:
(xc)2y24a24(xc)2y2
(我们可以仿照椭圆的标准方程的处理方式把式子美化,使其简洁易记)
222cab(b0),代入上式得:2c2a2c2a0ca由双曲线定义, 即,所以设
x2y2
1
b2x2a2y2a2b2. 即a2b2
,这就是焦点在x轴上的双曲线的标准方程.
两种标准方程的比较(引导学生归纳):
x2y2
21(a0,b0)2ab(1) 表示焦点在x轴上的双曲线,焦点是:
F1(c,0),F2(c,0),这里F1(0,c),F2(0,c),这里
c2a2b2.
y2x2
21(a0,b0)2ab(2) 表示焦点在y轴上的双曲线,焦点是:
c2a2b2.(只需将(1)方程的x,y互换即可得到)
强调指出:
(1)双曲线标准方程中的”标准是指的是双曲线的中心在坐标原点,焦点在坐标轴上(这从建立直角坐标系可以看出来).(2)双曲线标准方程中,a0,b0,但a不一定大于b;(3)如果x项的系数是正的,那么
2
2y焦点在x轴上;如果项的系数是正的,那么焦点在y轴上.注意有别于椭圆通过比较分母的大小来判定222222
焦点在哪一坐标轴上.(4)双曲线标准方程中a,b,c的关系是cab,不同于椭圆方程中cab.
(四).例题分析:
练习:写出下列双曲线的焦点坐标:
(1)
x2y2x2y2y2x2y2x2
1 (2) 1 (3) 1 (4) 1 [1**********]6
例1. 已知双曲线的焦点为F1(-5,0),F2(5,0),双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6,求双曲线的标准方程.
x2y2
21(a0,b
0)2
xab解: 根据双曲线的焦点在轴上,设它的标准方程为:
x2y2
1
2a6,c5,a3,c5,b25232所以所求双曲线的标准方程为:916
(五)小结
(六)作业:课本P108习题8.3 第1,2,4
思考题: 当0
(七)板书设计:
180
时,方程x2cosy2sin1表示怎样的曲线?