基于罗尔定理证明命题的一般方法及其应用_程惠东

第１５卷第４期２０１２年７月高等数学研究

ＳＴＵＤＩＥＳＩＮＣＯＬＬＥＧＥ　ＭＡＴＨＥＭＡＴＩＣＳ　　Ｖｏｌ．１５，Ｎｏ．４

，Ｊｕｌ．２０１２

基于罗尔定理证明命题的一般方法及其应用

程惠东１，尹佐元２，赵义军１

（）１．山东科技大学理学院，山东青岛２６６５１０；６６５１０　２．山东科技大学信电学院，山东青岛２摘

要　针对应用罗尔定理证明有关函数及其导函数之间关系的两类一般性数学命题，给出求解此类问题的

并借助实例说明其应用．一般性原理，

关键词　罗尔定理；导数；关系中图分类号　Ｏ１７２．１

文献标识码　Ａ

（）文章编号　１００８１３９９２０１２０４０１１００２－－－

罗尔定理是微分学重要的基本定理之一，是研究函数性质的有力工具，它在研究函数性态及其有

１］

关证明的问题中，具有重要的作用［我们通过多年．

从而有

（），＝－ｌ

ｘ）ｆ（

解此微分方程可得

ｌｘｘ）ｅ＝Ｃ，ｆ（

由此可得到满足ｆ′（ｘ）ｘ）＝０的辅助函数＋ｌｆ（ｌｘ

Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅ．

证明　如上分析构造辅助函数，由命题条件可验证，故由罗尔定Ｆ（ｘ）满足罗尔定理的三个条件，

的教学经验，总结归纳了应用罗尔定理证明有关函数及其导函数之间关系问题的两类数学命题，并通过实例说明其应用．

（命题１　设ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ａ，ｂ）内可

则下列各结论皆成立．导，ａ）＝ｆ（ｂ）＝０，ｆ（

（）存在ξ，使１ａ，ｂ）１∈（

′（＋ｌ＝０，ｆｆ（１）１）ξξ其中ｌ为实常数．

（）存在ξ，使２ａ，ｂ）２∈（

ｋ１－

′（＋ｋ＝０，ｆ２ｆ（２）２）ξξξ其中ｋ为非零常数．

（）存在ξ，使３ａ，ｂ）３∈（′（＋ｇ（＝０，ｆｆ（３）３）３）ξξξ

其中ｇ（ｘ）为连续函数．

，命题２　设ｆ（ｘ）ｘ）在［ａ，ｂ］上皆连续，ｇ（（ａ，ｂ）内皆可导，且ｆ（ａ）＝０，ｂ）＝０，则存ｇ（，使在ξ∈（ａ，ｂ）

′（′（＋ｆ（ｆｇ（ｇξ）ξ）ξ）ξ）＝０．

分析　利用罗尔定理证明命题的关键是如何，构造辅助函数Ｆ（使它与ｆ（有关，而且满足区ｘ）ｘ）从Ｆ间上罗尔定理的三个条件，′（ξ）就能得到我们所要证明的结论．构造辅助函数Ｆ（ｘ）的方法如下．

）中，在命题１的问题（令ξ得到１１＝ｘ，′（ｘ）ｘ）＝０，＋ｌｆｆ（

；收稿日期：修改日期：２０１００８０１２０１２０５１０－－－－

）；基金项目：山东省高等学校教学改革研究项目（山东科技２００９２２１

）大学“群星计划”项目（ｘ１０２１０２ｑ

，作者简介：程惠东（女，山东平阴人，副教授，从事数学教学１９６４－）

：和应用数学的研究．Ｅｍａｉｌｃｈｄ５１７＠１２６．ｃｏｍ

，尹佐元（男，山东泰安人，１９９０－）２００９级电气工程及其：自动化专业本科在读．ｚ９００５１７＠１Ｅｍａｉｌ２６．ｃｏｍｙｙ

）成立．理知结论（１

类似地，分别设

ｘ

，Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅ

ｘｇｘｄ

∫，Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅ）（）成立．利用罗尔定理可证结论（２３

（）

ｋ

上述证明过程可推广为构造辅助函数的方法．设在某区间上ｆ（ｘ）可导，ｘ）具有原函数ｇ（，那么由Ｇ（ｘ）

Ｇ（ｘ）Ｇ（ｘ）

［］］ｘ）ｅ′＝［′（ｘ）ｘ）ｘ）ｅ＋ｇ（ｆ（ｆｆ（看到

Ｇ（ｘ）

Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅ

Ｇ（ｘ）］是［的一个原函数．′（ｘ）ｘ）ｘ）ｅ＋ｇ（ｆｆ（

原理１　在罗尔定理的应用中，证明形如

′（ｘ）ｘ）ｘ）＝０＋ｇ（ｆｆ（的结论，可选用辅助函数

Ｇ（ｘ）

Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｅ．

类似地，由于

Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｘ）ｇ（是ｆ故有以′（′（ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）的一个原函数．＋ｆ（ｇ（ｇ下原理．

原理２　在罗尔定理的应用中，证明形如

′（ｘ）ｘ）′（ｘ）ｘ）＝０＋ｇｆｇ（ｆ（的结论，可选用辅助函数

Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）ｘ）．ｇ（

第１５卷第４期程惠东，尹佐元，赵义军：基于罗尔定理证明命题的一般方法及其应用

１１１

］上连续，）内可例１　设ｆ（在（ｘ）在［０，１０，１）＝０，）＝１，导，试证：对任意实数λ，存０１ｆ（ｆ（

），使得在ξ∈（０，１

］＝１．′（－λ［－ξｆｆ（ξ）ξ）

分析　将该题中的待证结果变形为

］＝０，′（－１－λ［－ξｆｆ（ξ）ξ）

）类似．可知此式与命题１中的结论（利用原理１，１得如下证明．

证明　构造辅助函数

ｘ－λ

，Ｆ（ｘ）＝［ｘ）ｅ－ｘ］ｆ（

］由已知条件，在［上满足罗尔定理的各条Ｆ（ｘ）０，１），件，因此对任意实数λ，存在ξ∈（使得０，１

Ｆ′（ξ）＝０，也即

］＝１．′（－λ［－ξｆｆ（ξ）ξ）

］（）例２　设ｆ（在［上连续，内可导，ｘ）０，１０，１

）＝０，），求证：存在ξ∈（使得０ｋ为正整数．０，１ｆ（

）（（（）＝）．

ｂ）ｇ′（－ｇ（ｇ（ξ）ξ）

分析　将待证结果变形，并作替换ξ＝ｘ，得

ａ）ｘ）ｂ）ｘ）′（′（＋ｇ（－ｆ（ｇｆ

ｘ）ｘ）ｘ）ｘ）＝０，′（′（－ｆｆ（ｇｇ（

也即

［））］＝０ａｘ）ｂｘ）ｘ）ｘ）′．＋ｇ（－ｆ（ｆ（ｇ（ｆ（ｇ（

易知上式是命题２的情形．由原理２可获证明．证明　构造辅助函数

，Ｆ（ｘ）＝ｆ（ａ）ｘ）ｂ）ｘ）ｘ）ｘ）＋ｇ（－ｆ（ｇ（ｆ（ｇ（由已知条件，Ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上满足罗尔定理，的各条件，故存在一点ξ∈（使得ａ，ｂ）

Ｆ′（ξ）＝０，也即

）（（（）＝）．

′（ｂ）ｇ－ｇ（ｇ（ξ）ξ）

在高等数学有关证明的问题中，涉及中值定理的很多题目都可以归结为命题Ｉ或命题Ⅱ的情形，且其解决思路基本上都是是通过所证问题的结论，，构造出满足结论条件的“原函数”再验证该函数满足罗尔定理的三个条件，从而得到证明．

参考文献

［］同济大学数学教研室．高等数学：上册［北京：１Ｍ］．５版．

高等教育出版社，２００２：２０５．

′（′（．＋ｋｆｆ（ξξ）ξ）＝ｆξ）

分析　将待证结论化为

（）

′（＋ｆξ＝０，ξ）

ξ－１

）相似，其形式与命题１的结论（容易得证．３，例３　设函数ｆ（ｘ）ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上可ｇ（

，且ｇ则存在一点ξ∈（使得导，′（ｘ）≠０，ａ，ｂ）

’ＰｒｏｏｓｉｔｉｏｎｓＲｅｌａｔｅｄｔｏＲｏｌｌｅｓＴｈｅｏｒｅｍａｎｄＴｈｅｉｒＡｌｉｃａｔｉｏｎｓ　　　　　　　ｐｐｐ

１２１

，ＣＨＥＮＧ　ＨｕｉｄｏｎＩＮＺｕｏｕａｎＨＡＯＹｉｕｎ　Ｙ　　Ｚ　ｇ，ｙｊ

（，，Ｑ１．ＳｃｈｏｏｌｏｆＳｃｉｅｎｃｅＳｈａｎｄｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏｉｎｄａｏ２６６５１０，ＰＲＣ；　　　　　　ｇｙｇｙｇ　　

，，，）２．ＳｃｈｏｏｌｏｆＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎａｎｄＥｌｅｃｔｒｉｃａｌＥｎｉｎｅｅｒｉｎＳｈａｎｄｏｎＵｎｉｖｅｒｓｉｔｏｆＳｃｉｅｎｃｅａｎｄＴｅｃｈｎｏｌｏＱｉｎｄａｏ２６６５１０ＰＲＣ　　　　　　　　　ｇｇｇｙｇｙｇ　　：’ＡｂｓｔｒａｃｔａｓｅｄｏｎＲｏｌｌｅｓＴｈｅｏｒｅｍ，ｔｈｉｓａｅｒｒｏｖｅｓｔｗｏｔｅｓｏｆｒｏｏｓｉｔｉｏｎｓｗｈｉｃｈ　Ｂ　　　　　　　　　　ｐｐｐｙｐｐｐ

ｒｏｖｉｄｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｓｂｅｔｗｅｅｎｔｈｅｆｕｎｃｔｉｏｎｓａｎｄｔｈｅｉｒｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ．Ｇｅｎｅｒａｌｒｉｎｃｉｌｅｆｏｒｓｏｌｖｉｎ　　　　　　　　　　ｐｐｐｐｇｔｈｅｓｅｒｏｂｌｅｍｓｔｅｓｏｆｉｓｄｉｓｃｕｓｓｅｄａｎｄｅｘａｍｌｅｓａｒｅｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄ．　　　　　　　　　ｙｐｐｐ

：’，Ｋｅｗｏｒｄｓｏｌｌｅｓｔｈｅｏｒｅｍ，ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｓｙ　Ｒ　　ｐ

欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍欍

（上接第１０９页）

ＦｉｖｅＢａｓｉｃＭｅｔｈｏｄｓｆｏｒＭａｔｈｅｍａｔｉｃａｌＡｎａｌｓｉｓ　　　　　ｙ

ＰＥＮＧ　Ｋａｎｉｎｇｑｇ

（，，ＤｅａｒｔｍｅｎｔｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｅＬｏｎｎａｎＴｅａｃｈｅｒｓＣｏｌｌｅｅＣｈｅｎｘｉａｎ７４２５００，ＰＲＣ）　　　　　ｐｇｇｇ

：Ａｂｓｔｒａｃｔｉｔｈｔｈｅｉｎｔｅｎｔｉｏｎｏｆｈｅｌｉｎｓｔｕｄｅｎｔｓｒａｓｃｏｍｌｅｔｅｌａｎｄｕｓｅｆｌｅｘｉｂｌｔｈｅ　Ｗ　　　　　　　ｐｇｇｐｐｙｙ　　　　

，：，ｓｉｒｉｔｕａｌｅｓｓｅｎｃｅｏｆｔｈｅｍａｔｈｅｍａｔｉｃａｌａｎａｌｓｉｓｔｈｉｓａｒｔｉｃｌｅｄｉｓｃｕｓｓｅｓｔｈｅｆｉｖｅｂａｓｉｃｍｅｔｈｏｄｓｌｉｍｉｔ　　　　　　　　　　　ｐｙ，，，ａｎａｌｏｒｅｄｕｃｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒｓａｎｄｒａｈｓａｎｄｌｏｉｃａｌｉｎｆｅｒｅｎｃｅ．　　　　ｇｙｇｐｇ

：，，，，Ｋｅｗｏｒｄｓｌｉｍｉｔａｎａｌｏｒｅｄｕｃｔｉｏｎｎｕｍｂｅｒｓａｎｄｒａｈｓｌｏｉｃａｌｉｎｆｅｒｅｎｃｅｙ　　　　ｇｙｇｐｇ