单调性与奇偶性修改版

【知识点回顾】

1 单调性：概念：从数的角度，从图形的角度

概念的变形形式：fx是增函数若x1x2，则

fx1fx2fx1fx20x1x2[fx1fx2]0 x1x2

1，所以在讲x注意：①在说明单调区间的时候一定要指明单调区间，不然默认为定义域. ②函数在两个区间上递增，但在这两个区间的并集上未必递增，如y

单调区间的时候最好用或，不要用

2 最值：概念

【常见考点】：

1 单调性判断及单调区间

① 图像②定义③四则运算④复合函数（同增异减）

2 单调性证明

五个步骤：设元

作差 变形 断号 结论

3 基本初等函数的单调性及相关参数问题

一次函数：ykxb 反比例函数：y

以及类似于yk2 二次函数：yaxbxc xyx1的单调性 x

b在0,上是减函数，则x例1：一次函数fxax1是增函数，反比例函数fx

二次函数fxaxbx1在0,上_____________ 2

例2：函数yx2(a2)x5在(4,)上是增函数，求实数a的取值范围.

变式1.函数f(x)ax(5a2)xa4在[2,)上是增函数，求实数a的取值范围.

变式2：函数f(x)4xmx5在[1,2]上不单调，求实数m的取值范围 2222

变式3：分段函数的单调性

若函数fx

4 单调性的应用：本质就是比较大小，注意化成fx1fx2的形式需要注意考虑到定义域，形式上可能会是解不等式，求值域，求函数最大值或最小值等等

3例3：函数f（x）在（0，＋∞）上是减函数,比较f（a2－a＋1）与f（4 ）的大小关系

例4：已知yf(x)在(,)上是减函数，且f(1a)f(3a1),则a的取值范围是________ _____ 。

变式：已知yf(x)在定义域(1,1)上是减函数，且f(1a)f(3a1),则a的取值范围是________ _____ 。

ax1x0在其定义域上递减，求实数a的取值范围 2x2x5ax0

5 抽象函数的单调性的判断与证明

例5：.定义在正实数集上的函数f(x)满足条件：

123当x1时，有f(x)0求满足f(2)1; ○f(xy)f(x)f(y); ○○

f(x)f(x3)的x的取值范围。

6.含参二次函数中最值问题：“轴动区间定”与“轴定区间动”

例6：①求二次函数fxx2ax1在区间[1,2]上的最小值 2

② 求二次函数fxx4x1在[t,t2]上的最小值gt；求gt的值域 2

变式：已知二次函数fxx2axa在[0,1]上有最大值2，求实数a的值 2

利用单调性比较数的大小

1、（1）1.5和1.5（2）0.62.53.2-1.2.5和0.6-1（3）1.50.3和0.81.2

已知alog23log2,blog29log2，clog32 则a,b,c的大小关系是（ ）

A.abc B.abc

C.abc D.abc

单调性的综合应用

1、已知函数f(x)在R上满足f(xy)f(x)f(y)，且当x0时，f(x)0,f(1)2。

（1）求f(1),f(3)的值

（2）判断f(x)的单调性

（3）若f(4xa)f(62x1)6对任意x恒成立，求实数a的取值范围

cx1(0xc)922、已知函数f(x)x，满足f(c) 8c221(cx1)

（1）求实数c的取值范围

（2）解不等式f(x)

3、已知函数yf(x)的图像与g(x)logax(a0,且a1)的图像关于x轴对称，且21 8g(x)的图像过点9,2

（1）求函数f(x)的解析式

（2）若f(3x1)f(x5)成立，求x的取值范围

奇偶性

【知识点回顾】

1 奇偶性：从数的角度，从图形的角度

概念的变形形式：fx是奇函数概 fxfx  fxfx0 fx是偶函数 fxfx  fxfx0fxf|x| 注意：①奇偶性的定义域要关于原点对称

②若奇函数在x0处有意义，则f00

【常见考点】

1 函数奇偶性的判定

（注意：在判定奇偶性的时候，首先研究函数的定义域，有时还要对函数式化简整理，但必须注意使定义域不受影响）

例1、试判断下列函数的奇偶性

x2xx0（1）、f

x fx2 xxx0

（2）、设fx,gx分别是R上的偶函数和奇函数，判断下列函数的单调性 fx|gx|_________f(x)g(x)________fg(x)__________gf(x)_______ 变式：设函数fxxxa，判断fx的奇偶性 2

2 根据函数的奇偶性求参数的值

例1、若fx(m21)x2mxm33为偶函数，则fx的单调递增区间为__________

53例2、设定义在2,2上的奇函数fxxxb

（1）求b的值

（2）若fx在0,2上单调递增，且fmfm10，求实数m的取值范围

3 奇偶性的应用：

例3、已知函数f

xx3ax5，且f23

（1）求证：函数gxfx5是奇函数

（2）求f2的值

例4、已知yfx是R上的奇函数，且当x0的时候，fxx2xb

（1） 求b的值

（2） 求fx的解析式

（2）若关于x的方程fx2a2a有三个不同的解，求a的取值范围

4. 单调性与奇偶性的综合

例5. 已知函数f(x)在1,1上有定义，当且仅当0x1时，f(x)0,且对于任意

xy) x,y1,1都有f(x)f(y)f(1xy

1f(x)为奇函数 ○2f(x)在1求证 ：○,1上单调递减。

例6. 已知f(x)是定义在1,1上的奇函数，且f(1)1，当a,b1,1,ab0时，有f(a)f(b)0城立。 ab

1判断f(x)在1 ○,1上的单调性；

2解不等式：f(x)f( ○1

21)； x1

3若f(x)m2am1对所有的a1○,1恒成立，求实数m的取值范围。 2

5、单调性，奇偶性与指数函数、对数函数相关例题

1、已知函数f(x)loga(x2ax3)

（1）若函数f(x)的定义域为R，求a的取值范围

（2）若函数f(x)的值域为R，求a的取值范围

（3）当x0,2时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围

2、已知函数f(x)log

（1）求f(x)的定义域

（2）判断f(x)的奇偶性

（3）是否存在实数a，使得f(x)的定义域为[m,n]时，值域为[logan1,logam1]? 若存在，求出实数a的取值范围，若不存在请说明理由。

3、已知函数f(log2x)x2(a0,且a1) ax2x1. x1

（1）求f(x)的解析式，并写出其定义域；

（2）判断f(x)在定义域内的单调性，并证明；

（3）若对任意的tR，都有f(tkt)f(t1)0成立，求实数k的取值范围.

2

4、已知fxaxb是定义-1，1的奇函数，且21x12f 25

（1）确定函数fx的解析式；

（2）证明函数fx在-1，1上的增函数；

（3）求满足ft1ft0的t的取值范围.