类型三 点的坐标的变化规律
类型三 点的坐标的变化规律
(2013·安徽) 我们把正六边形的顶点及其对称中心称作(如图1所示) 基本图的特征点，显然这样的基本
图共有7个特征点．将此基本图不断复制并平移，使得相邻两个基本图的一边重合，这样得到图2、图3…
(1)观察以上图形并完成下表：
猜想：在图n 中，特征点的个数为________(用n 表示) ；
(2)如图，将图n 放在直角坐标系中，设其中第一个基本图的对称中心O 1的坐标为(x1，2) ，则x 1＝________；图2 013的对称中心的横坐标为________．
【思路点拨】 (1)观察图形，结合已知条件，得出将基本图每复制并平移一次，特征点增加5个，由此得出图4中特征点的个数为17＋5＝22个，进一步猜想出：在图n 中，特征点的个数为：7＋5(n－1) ＝5n ＋2；(2)过点O 1作O 1M ⊥y 轴于点M ，根据正六边形、等腰三角形的性质得出∠BO 1M ＝30°，再由余弦函数的定义求出O 1M 3，即x 1＝；然后结合图形分别得出图2、图3、图4的对称中心的横坐标，找到规律，进而得出图2 013的对称中心的横坐标．
【解答】 (1)表中填：22； 特征点的个数为：5n ＋2.
(2)如图，过点O 1作O 1M ⊥y 轴于点M.
360°
又∵正六边形的中心角为＝60°，
6O 1C ＝O 1B ＝O 1A ＝2， ∴∠BO 1M ＝30°.
∴O 1M ＝O 1B ·cos ∠BO 1M ＝
2∴x 1由题意，可得
图2的对称中心的横坐标为3＋2＝33； 图3的对称中心的横坐标为3＋2×3＝3； 图4的对称中心的横坐标为3＋3×3＝3； …；
∴图2 013的对称中心的横坐标为 3＋2 012×23＝3. 故答案为：3，4 0253.
1．(2015·六安模拟) 如图，在直角坐标系中，以原点O 为圆心的同心圆的半径由内向外依次为1，2，3，4…，同心圆与直线y ＝x 和y ＝－x 分别交于A 1，A 2，A 3，A 4…，则点A 2 015的坐标是( )
1
3
＝3. 2
C ．(－2522，
2) D ．(－2
，－2522)
2．(2015·河南) 如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1，O 2，O 3，…组成一条平滑的曲π
线，点P 从原点O 2 015秒时，点P 的坐标是( )
2
A ．(2 014，0) B ．(2 015，－1) C ．(2 015，1) D ．(2 016，0)
3．(2015·龙东) 如图，在平面直角坐标系中，点A(0，3) 、B(－1，0) ，过点A 作
AB 的垂线交x 轴于点A 1，过点A 1作AA 1的垂线交y 轴于点A 2，过点A 2作A 1A 2的垂线交x 轴于点A 3…按此规律继续作下去，直至得到点A 2 015为止，则点A 2 015坐标为________．
参考答案
1．D 2.B 3. (－3
1 008
，0)
2
3