随机过程试题及答案

1．设随机变量X服从参数为的泊松分布，则X的特征函数为 。 2．设随机过程X(t)=Acos( t+),-

3．强度为λ的泊松过程的点间间距是相互独立的随机变量，且服从均值为 的同一指数分布。

4．设Wn,n1是与泊松过程X(t),t0对应的一个等待时间序列，则Wn服从 分布。

5．袋中放有一个白球，两个红球，每隔单位时间从袋中任取一球，取后放回，

t

对每一个确定的t对应随机变量X(t),

如果t时取得红球3，则 这个随机过

et,

如果t时取得白球程的状态空间 。

6．设马氏链的一步转移概率矩阵P=(p(n)

(n)ij)，n步转移矩阵P(pij

)，二者之间的关系为 。

7．设Xn,n0为马氏链，状态空间I，初始概率piP(X0=i)，绝对概率

pj(n)PX(n)nj，n步转移概率pij，三者之间的关系为 8．设{X(t),t0}是泊松过程，且对于任意t2t10则

P{X(5)6|X(3)4}______

9．更新方程KtHtt

0KtsdFs解的一般形式为 。

10．记EXn,对一切a0，当t时，Mt+aMt

二、证明题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）

P(BCA)=P(BA)P(CAB)。

2.设{X(t),t0}是独立增量过程, 且X(0)=0, 证明{X(t),t0}是一个马尔科夫过程。

3.设Xn,n0为马尔科夫链，状态空间为I，则对任意整数n0,1l

i,jI，n步转移概率p(n)(l)(n-l)

ijpikpkj

，称此式为切普曼—科尔莫哥洛夫方程，kI

证明并说明其意义。

4.设N(t),t0是强度为的泊松过程，Yk,k=1,2,

是一列独立同分布随机变

N(t)量，且与N(t),t0独立，令X(t)=Yk,t0，证明：若E(Y21

k=1

EX(t)tEY1。

三、计算题（本大题共4道小题，每题8分，共32分）

1/32/301.设齐次马氏链的一步转移概率矩阵为P1/302/3

，求其平稳分布。

01/32/3

2.设顾客以每分钟2人的速率到达，顾客流为泊松流，求在2分钟内到达的顾客不超过3人的概率。

3.设明天是否有雨仅与今天的天气有关，而与过去的天气无关。又设今天下雨而明天也下雨的概率为，而今天无雨明天有雨的概率为；规定有雨天气为状态0，无雨天气为状态1。设0.7,0.4，求今天有雨且第四天仍有雨的概率。

四、简答题（本题6分）

4.设有四个状态I=0，1，2，3的马氏链，它的一步转移概率矩阵

00 P=00   0

1

（１）画出状态转移图； （２）对状态进行分类； （３）对状态空间I进行分解。

一．填空题 1．为e(e

it

-1)

。2． 12(sin(t+1)-sint)。3．1



4． 1t,2

2

。 6．P(n)Pn33

t,

;e,e。 7．p(n)

j(n)pipij。

iI

8．18e6 9。KtHtt

a

KtsdMs 10.



二．证明题 1.

证明：左边=P(ABC)P(A)P(ABC)P(AB)

P(AB)P(A)

P(CAB)P(BA)=右边 2.

证明：当0t1t2

tnt时，

P(X(t)xX(t1)=x1,X(t2)=x2,X(tn)=xn)=

P(X(t)-X(tn)x-xnX(t1)-X(0)=x1,X(t2)-X(0)=x2,X(tn)-X(0)=xn)=

P(X(t)-X(tn)x-xn)，又因为

P(X(t)xX(tn)=xn)=P(X(t)-X(tn)x-xnX(tn)=xn)= P(X(t)-X(tn)x-xn)，故

P(X(t)xX(t1)=x1,X(t2)=x2,X(tn)=xn)=P(X(t)xX(tn)=xn)

3. 证明：

P(n)

X(n)=jX(0)=iPijPX(n)=j,X(l)=kX(0)=i=

kI

PX(n)=j,X(l)=kX(0)=i

kI

=PX(l)=kX(0)=iPX(n)=jX(l)=k,X(0)=i=(l)(n-l)

I

PikPkj，其意义为n步转

k移概率可以用较低步数的转移概率来表示。

4.

证明：由条件期望的性质EX(t)EEX(t)N(t)，而

EX(t)N(t)n

EN(t)YiN(t)n

i=1 

nEYn=En=Y

iN(t)i=nE(Y1)，所以EX(t)tEY1。 i=1i=1 三．计算题（每题10分，共50分） 1. 解：



1113132解方程组

121P2和i

，即3133

22

32

333

1231

124124

解得17,27,37，故平稳分布为(7,7,7

)

2.解：设N(t),t0是顾客到达数的泊松过程，2，故PN(2)=k(4)kk!e-4

，则PN(2)3PN(2)=0+PN(2)=1+PN(2)=2+PN(2)=3e-44e-48e-4

323e-4713

e-4

3.解：由题设条件，得一步转移概率矩阵为P=

p00

p01p10p0.70.311

0.40.6，于是

P(2)PP=0.610.39，四步转移概率矩阵为0.520.48P(4)P(2)P(2)

0.57490.4251，从0.56680.4332



而得到今天有雨且第四天仍有雨的概率为P(4)

000.5749。

4.

解：（1）图略；

（2）p331,而p30，p31，p32均为零，所以状态3构成一个闭集，它是吸收态，记C1=3；0，1两个状态互通，且它们不能到达其它状态，它们构成一个闭集，记C2=0，1，且它们都是正常返非周期状态；由于状态2可达C1，C2中的状态，而C1，C2中的状态不可能达到它，故状态2为非常返态，记D=2。 （3）状态空间I可分解为：E=DC1C2

四.简答题（6分） 答：（略）