第6章_行列式.矩阵与线性方程组

第6章 行列式、矩阵与线性方程组

本章教学要求：了解行列式、矩阵的基本概念，并会计算行列式、矩阵的计算题。 在一个函数、方程或不等式中，如果所出现的数学表达式是关于未知数或变量的一次式，那么这个函数、方程或不等式就称为线性函数、线性方程或线性不等式。在经济管理活动中，许多变量之间存在着或近似存在着线性关系，使得对这种关系的研究显得尤为重要，许多非线性关系也可转化为线性关系。线性代数是高等数学的又一个重要内容，与微积分有着同样的地位和同等的重要性．行列式、矩阵与线性方程组（即一次方程组）的理论是线性代数的一个基本内容，也是主要内容．线性代数在许多实际问题中有着直接的应用，并为数学的许多分支和其它学科所借鉴．行列式、矩阵与线性方程组在数据计算、信息处理、均衡生产、减少消耗、增加产出等方面有着广泛应用，是我们改善企业生产经管管理、提高经济效益很有用的工具。在这一章里，我们将介绍行列式和矩阵的一些基础知识，并讨论线性方程组的解法，以及行列式、矩阵与线性方程组的一些相关经济应用。

６．１ n 阶行列式及性质

行列式是在讨论线性方程组时建立起来的一个数学概念，是我们解线性方程组的一个有力工具．

6.1.1 二阶行列式

二元线性方程组的一般形式是

①⎧a x +a x =b 1

(Ⅰ) ⎨111122

②⎩a 21x 1+a 22x 2=b 2

利用消元法求解：

①⨯a 22-②⨯a 12，得 (a 11a 22-a 21a 12) x 1=b 1a 22-b 2a 12． ②⨯a 11-①⨯a 21，得 (a 11a 22-a 21a 12) x 2=a 11b 2-a 21b 1．

b 1a 22-b 2a 12⎧

x =1⎪⎪a 11a 22-a 21a 12

当a 11a 22-a 21a 12≠0时，方程组( ③． Ⅰ) 的解为⎨

b 2a 11-b 1a 21

⎪x 2=⎪a 11a 22-a 21a 12⎩

在二元线性方程组(为Ⅰ) 的解的表达式③中，x 1、x 2的解的分母都是a 11a 22-a 21a 12．了便于记忆和讨论，引入一个新的记号

a 11a 21

a 12a 22

来表示a 11a 22-a 21a 12，即

a 11a 21

在

a 12a 22

＝a 11a 22-a 21a 12 (6-1)

a 11a 21

a 12a 22

中，a 11、a 12、a 21、a 22是方程组(Ⅰ) 中x 1、x 2的系数，它们按原来的位置

124

排成一个正方形． 我们称

a 11a 21

a 12a 22

为二阶行列式，其中横排称为行，纵排称为列，a ij （i =1, 2；j =1, 2）

称为二阶行列式第i 行第j 列的元素．(6-1)式的右端称为二阶行列式的展开式．

显然，二阶行列式有二行和二列，共4个元素，记为22个元素，二阶行列式的展开式有两项，记为2! 项。

二阶行列式按如下方法展开（图6-1）：

a 11a 21

a 12a 22

图6-1 二阶行列式展开方法

实对角线（叫做主对角线）上两元素之积取正号，虚对角线上两元素之积取负号，然后相加就是行列式的展开式．这种展开行列式的方法称为对角线展开法．

由上可知，二阶行列式等于一个确定的数，这个数称为二阶行列式的值．求二阶行列式的值可用对角线展开法．

例6-1 计算下列二阶行列式的值：

⑴

2-43

5

； ⑵

sin αcos α

cos α-sin α

．

解：⑴

2-43

5

=2⨯5-3⨯(-4) =22； cos α-sin α

⑵

sin αcos α

=-sin 2α-cos 2α=-1．

根据对角线展开法，我们再来解决前面给出的二元线性方程组求解的另一种方法。有：对应于x 1、x 2解的分母和分子的表达式, 联系二阶行列式的展开形式, 得到如下：

b 1a 22-b 2a 12=

b 1b 2a 11a 21

a 12a 22b 1b 2

，

a 11b 2-a 21b 1=

记：

．

D =

a 11a 21

a 12a 22

，D 1=

b 1b 2

a 12a 22

，D 2=

a 11a 21

b 1b 2

，

由于行列式D 是由方程组(Ⅰ) 中未知数的系数按原来的顺序排列而成，故称D 为系数行列式．显然，行列式D 1、D 2是以b 1、b 2分别替换行列式D 中的第一列、第二列的元素所得

125

到．因此，当D ≠0时，方程组(Ⅰ) 的解可表示为：

x 1=

例6-2 解方程组

D 1D

，x 2=2 (6-2) D D

⎧2x +y +2=0． ⎨

4x +3y -1=0⎩

解：方程组化为一般形式：

⎧2x +y =-2

． ⎨

4x +3y =1⎩

因为 D =

2143

=2≠0，D 1=

-211

3

=-7，D 2=

2-24

1

=10，

所以，根据(6-2)式，方程组的解为：

x =

D 1D 7

=-，y =2=5． D 2D

6.1.2 三阶行列式

三元线性方程组的一般形式为

①⎧a 11x 1+a 12x 2+a 13x 3=b 1

⎪

(Ⅱ) ⎨a 21x 1+a 22x 2+a 23x 3=b 2 ②

⎪a x +a x +a x =b ③3123333⎩311

与二元线性方程组类似，用消元法可求出解的公式为

⎧b 1a 22a 33+a 12a 23b 3+a 13a 32b 2-a 13a 22b 3-a 12b 2a 33-b 1a 32a 23

x =⎪1

a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 32a 21-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 32a 23

⎪

a 11b 2a 33+b 1a 23a 31+a 13b 3a 21-a 13b 2a 31-b 1a 21a 33-a 11b 3a 23⎪

x =④ ⎨2

a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 32a 21-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 32a 23

⎪

a 11a 22b 3+a 12b 2a 31+b 1a 32a 21-b 1a 22a 31-a 12a 21b 3-a 11a 32b 2⎪

x =⎪3a a a +a a a +a a a -a a a -a a a -a a a

[***********][***********]⎩

其中分母a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 32a 21-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 32a 23≠0．

a 11

④式比较繁杂，为了便于记忆与讨论，仿照二阶行列式，用记号a 21

a 12a 22a 32

a 13a 23来表

a 33

a 31

示a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 32a 21-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 32a 23，即

126

a 11a 21a 31

a 12a 22a 32

a 13

a 23＝a 11a 22a 33+a 12a 23a 31+a 13a 32a 21 a 33

-a 13a 22a 31-a 12a 21a 33-a 11a 32a 23 (6-3)

(6-3)式的左边叫做三阶行列式，右边叫做这个三阶行列式的展开式．

显然，三阶行列式有三行和三列，共3个元素，其中a ij （i =1, 2, 3；j =1, 2, 3）是三阶行列式第i 行第j 列的元素．三阶行列式的展开式有3! 项．

三阶行列式的展开可按如下方法展开（图6-2）：

2

图6-2 三阶行列式展开方法

实线上三数之积取正号，虚线上三数之积取负号，然后相加就是行列式的展开式，这种展开法则叫做对角线法则．

-2-1

例6-3 计算行列式1

3-2的值． 5

04

2

-2-1

解：1

3

-2=(-2) ⨯0⨯5+(-1) ⨯(-2) ⨯2+3⨯4⨯1 5

04

2

-3⨯0⨯2-(-1) ⨯1⨯5-(-2) ⨯4⨯(-2)

=5． a

例6-4 展开行列式b

c a

b

c

a

解：b

c ． b a

c a

b

c

c =a 3+c 3+b 3-abc -abc -abc b a

=a 3+b 3+c 3-3abc ．

127

与二阶行列式相似，用三阶行列式来求解三元线性方程。引入记号D 、D 1、D 2、D 3，其中

a 11

D =a 21

a 31

a 12a 22a 32

a 13b 1a 12a 22a 32

a 13a 11b 1a 13a 11a 12a 22a 32

b 1b 2． b 3

a 23，D 1=b 2a 33b 3a 23，D 2=a 21b 2

a 33a 31b 3a 23，D 3=a 21

a 33a 31

行列式D 是由方程组(Ⅱ) 中未知数的系数按原来的顺序排列而成，叫做方程组的系数行列式，行列式D 1、D 2、D 3是以b 1、b 2、b 3分别替换行列式D 中的第一列、第二列、第三列的元素所得到．因此，当D ≠0时，方程组(Ⅱ) 的解可表示为：

x 1=

D D 1D

，x 2=2，x 3=3 (6-4) D D D

⎧3x +y -2z -5=0

⎪

例6-5 解方程组⎨4y +z -2=0．

⎪2x +2y +1=0⎩

解：方程组化为一般形式：

⎧3x +y -2z =5⎪

⎨4y +z =2 ⎪2x +2y =-1⎩

31-2

因为 D =0

51-24

1=-27， 05

2=-60，

4

1=12，D 1=2052

-20

223D 2=0

-1231

1=21，D 3=04

2-122-所以，根据(6-4)式，方程组的解为：

x =

D D 1D 97

=-，y =2=，z =3=-5． D 4D 4D

6.1.3 n 阶行列式

为了定义n 阶行列式及学习行列式的展开定理，我们先介绍代数余子式的概念． 定义6.1 将行列式中第i 行第j 列的元素a ij 所在行和列的各元素划去，其余元素按原来的相对位置次序排成一个新的行列式，这个新的行列式称为元素a ij 的余子式，记作M ij 。

(-1) i +j ∙M i +j 称为元素a ij 的代数余子式，记作A ij ，即

128

A ij =(-1) i +j ∙M i +j （6-5）

1

例如，在行列式-2

20

2

0101

1中，M 11==-4，A 11=(-1) 1+1∙=-4；

4-14-1

4-1

1224

=0．

3

M 23=

1224

=0，A ij =(-1) 2+3∙

有了代数余子式的概念，我们容易得到三阶行列式按第一行元素展开为

a 11a 21a 31

a 12a 22a 32

a 13

a 23=a 11A 11+a 12A 12+a 13A 13 （＊） a 33

若规定一阶行列式a =a ，则二阶行列式按第一行元素展开为

a 11a 21

a 12a 22

=a 11A 11+a 12A 12 （＊＊）

依照上述（＊）、（＊＊）式来定义n 阶行列式：

定义6.2 将n 个数a ij (i , j =1, 2, 3, , n ) 排成一个正方形数表，并在它的两旁各加一条竖线，即

2

a 11a 21 a n 1

a 12a 22 a n 2

a 1n a 2n a nn

（6-6）

称为n 阶行列式．当n =1时，规定一阶行列式a 11=a 11；当n ≥2时，规定n 阶行列式

a 11a 21 a n 1

a 12a 22 a n 2

1

a 1n a 2n a nn

0-20

30

13

11

-12

的值．

=a 11A 11+a 12A 12+ +a 1n A 1n (6-7)

例6-6 计算行列式D =

-1202

解：根据定义，

129

102

0-20

30

13

11

-12

-12

21

30

13

-121

12=-18． 132

=1⨯(-1) 1+11-12+(-2) ⨯(-1) 1+30

在n 阶行列式中，有一类特殊的行列式，它们形如

a 11a 21 a n 1a 11

或

0a 22 a n 2a 12a 22 0

00 a nn a 1n a 2n a nn

(6-9) (6-8)

0 0

我们都称它们为三角形行列式，其中式(6-8)称为下三角形行列式，式(6-9)称为上三角形行列

式．三角形行列式D 的值等于主对角线上各元素的乘积，即

D =a 11∙a 22∙ ∙a nn ．

四阶和四阶以上的行列式称为高阶行列式．

6.1.4 n 阶行列式的性质

按定义计算行列式是一种较复杂的运算方法，下面学习的n 阶行列式性质，能简化行列式的计算．

性质１ 行列式所有的行与相应的列互换，行列式的值不变，即

a 11a 21 a n 1

a 12a 22 a n 2

a 1n a 2n a nn

=

a 11a 12 a 1n

a 21 a n 1a 22 a n 2

a 2n a nn

T

．

我们把行列式D 的行与列互换后所得行列式称为D 的转置行列式，记作D ． 这个性质说明，对于行列式的行成立的性质，对于列也一定成立，反之亦然． 性质２ 行列式的任意两行（列）互换，行列式仅改变符号．

a 11

例如， a 21

a 12a 22a 32a 12a 12a 32

a 13a 33a 13

a 21a 31

a 22a 12a 32

a 23a 13． a 33

a 23=-a 11

a 31a 11

例如， a 11

性质３ 若行列式中某两行（列）对应元素相同，则此行列式的值为零．

a 31

a 13=0． a 33

性质４ 行列式中某行（列）的各元素有公因子时，可把公因子提到行列式符号外面．

130

11

1213111213例如， a 21

a 22a 23=k a 21

a 22a 23． a 31

a 32

a 33

a 31

a 32

a 33

例6-7 计算下列行列式的值：

1-84-2

2-11⑴-126

3； ⑵1

22-4-1-13

31． -1

116

3

2

-8

4-2-42-1

解：⑴ -12

6

3=2⨯3-4

2

1

-4-1-1

-4-1-1

2-1

=2⨯3⨯(-4) 2

1

-1-1

=-24⨯6 =-144．

12-111⑵

12211-2331=2⨯13⨯123 -1116

1-1

236

3

2=

11

-112⨯13⨯1

6

⨯2113 -1

1

3

=

118⨯8 =49． 推论１ 若行列式有一行（列）各元素都是零，则此行列式等于零．

00例如，a 21

a 22a 23=0． a 31

a 32

a 33

推论２ 若行列式有二行（列）对应元素成比例，则此行列式等于零．

131

11

例如，ka 11

12ka 12a 32

13

ka 13=0． a 33

a 31

性质５ 若行列式某一行（列）的各元素均是两项之和，则行列式可表示为两个行列式之和，其中这两个行列式的该行（列）元素分别为两项中的一项，而其它元素不变．

a 11+b 1

例如，

a 12+b 2

a 22a 32

a 13+b 3

a 23a 33

a 11=a 21

a 31

a 12a 22a 32

a 13a 33

b 1a 31

b 2a 22a 32

b 3a 23． a 33

a 21a 31

a 23+a 21

性质６ 将行列式某一行（列）的所有元素同乘以数k 后加到另一行对应位置的元素上，行列式的值不变．

a 11

例如，a 21

a 12a 22a 32

a 13a 33

a 11a 31

a 12a 22+ka 12

a 32

a 13

a 23+ka 13． a 33

a 23=a 21+ka 11

a 31

性质６在行列式的计算中起着重要的作用．运用性质时选择适当的数k ，可以使行列式的某些元素变为零．反复交替地使用行列式性质，将行列式化为三角形行列式，也是计算行列式的值的常用方法．

例6-8 计算下列行列式的值：

152

⑴2

1234

2341

61； ⑵．

3412

375

4123152

1

5

2-1

10

50

25

解：⑴261=0-4-3=0-4-3=1⨯(-4) ⨯5=-20．

0-8

375

1234

⑵

1=0

2-1

3-2-83-40

4-7-104440

=

100

200

3-44

4436

[1**********]3

0-1-2-7

0-21

200

0-7-10-130-1-2-700

==160．

在n 阶行列式的定义中，是将行列式按第一行展开的．事实上， n 阶行列式也可以按任何一行（列）展开．

性质７（行列式展开性质） 行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和．

132

12-1

例6-9 利用性质７计算行列式3

20

12-1

解：3

1的值． 3

01=2⨯(-1) 3

1+2

⨯

3123

=-14．

20

性质８ 行列式某一行（列）的各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于零．

a 11

a 12a 13

例如，在三阶行列式a 21

a 22a 23中， a 31

a 32

a 33

a 11A 21+a 12A 22+a 13A 23=0； a 13A 11+a 23A 21+a 33A 31=0．

习题6-1

１．利用对角线法则求下列各行列式的值：

2

755⑴

31

4-3

； ⑵

a +b a a

a -b

； ⑶1

3

3； ⑷9-14-2２．写出下列行列式中元素a 12，a 23，a 33的代数余子式：

213

12-11⑴ 3

21； ⑵

21

20123

-21

0-

3-1

12

３．利用行列式的性质求下列各行列式的值：

312

1-2

5

⑴10

1； ⑵2

-13；

11-41-21

1

1

1

1

⑶1+cos α

1+sin α； ⑷a

b c ； 1-sin α

1+cos α

b +c a +c a +b ４．求下列各行列式的值：

00

80．2-7

133

1221

⑴

1234

； ⑵

[1**********]1

[1**********]3

；

1

⑶

1-61206

111

111+b 1

1111+c

； ⑷

21200

-

11131+a 6

121-2． 1-212

５．用行列式解下列线性方程组：

1⎧1x -y =-2⎪6⎧3x +2y -5=02⑴⎨； ⑵⎨； 212x -y -8=0⎩⎪x +y =3

5⎩3⎧x +y +z -10=0⎧ax +by =c

⎪⎪

⑶⎨2x +3y -z -1=0； ⑷⎨by +cz =a (abc ≠0) ．

⎪ax +cz =b ⎪3x +2y +z -14=0

⎩⎩

６．试证明下列范得蒙（V andermonde ）行列式：

1

⑴a

1b b 2

1

c =(b -a )(c -a )(c -b ) ； c 2

a 2

1

⑵

1b b 2b 3

1c c 2c 3

1d d 2d 3

=(b -a )(c -a )(d -a )(c -b )(d -b )(d -c ) ．

a a 2a 3

６．２ 克莱姆（Cramer ）法则

在上一节的讨论中我们知道，二元、三元线性方程组在系数行列式D ≠0时方程组有唯

一解，并且解可以用式(6-2)或(6-4)求出．

类似地，对于n 元线性方程组，其一般形式为

⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1⎪a x +a x + +a x =b ⎪2112222n n 2

(6-10) ⎨

⎪⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =b n

有如下结论：

134

定理6.1（克莱姆法则） 若n 元线性方程组(6-10)的系数行列式

a 11

D =

a 21 a n 1

则方程组(6-10)有且仅有一个解：

a 12a 22 a n 2

a 1n a 2n a nn

≠0，

x 1=

D D 1D

，x 2=2，…，x n =n ． D D D

其中D j (j =1, 2, , n ) 是把D 的第j 列元素换成方程组的常数项b 1，b 2，…，b n 而得到的n 阶行列式．

例6-10 解线性方程组

⎧2x 1+x 2-5x 3+x 4=8⎪x -3x -6x =9

24⎪1

． ⎨2x -x +2x =-5

34⎪2

⎪x 1+4x 2-7x 3+6x 4=0⎩

解：方程组的系数行列式

2D =

01

所以，方程组有唯一解．又因为

124

-50-1-7

1-626

=27≠0，

1-3

8D 1=

9-502D 2=

112D 3=

01

890124

1-324

-50-1-7-50-1-789-50

1

1-626-6261-626

=-27， =81，

0-5

=-108，

1-3

135

2D 4=

01

124

-50-7

890=27，

1-3

-1-5

由克莱姆法则，得方程组的解为

x 1=

81-108-2727=3，x 2==-4，x 3==-1，x 4==1． 27272727

例6-11 某企业一次投料生产能获得产品及副产品共四种，每种产品的成本未单独核

解：设Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四种产品的单位成本分别为x 1，x 2，x 3，x 4，依题意列方程组

⎧40x 1+20x 2+20x 3+10x 4=580⎪100x +50x +40x +20x =410

1234⎪

． ⎨20x +8x +8x +4x =272

234⎪1

⎪80x 1+36x 2+32x 3+12x 4=1100⎩

利用克莱姆法则解这个方程组，得方程组有唯一解：

x 1=10，x 2=5，x 3=3，x 4=2．

所以，四种产品的单位成本分别为10元、５元、３元、２元．

如果n 元线性方程组(6-10)的常数项均为零，即

⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =0⎪a x +a x + +a x =0⎪2112222n n

(6-11) ⎨

⎪⎪⎩a n 1x 1+a n 2x 2+ +a nn x n =0

则当系数行列式D ≠0时，方程组(6-11)有唯一零解：

x 1=0，x 2=0，…，x n =0．

我们应该知道，解线性方程组，只有在方程组的未知数个数与方程个数相等以及方程组

的系数行列式D ≠0时，才能应用克莱姆法则．当D =0，或者未知数个数与方程个数不相等时，我们可以用矩阵的知识来解决．

习题6-2

１．用克莱姆法则解下列线性方程组：

136

⎧x 1-x 2+x 3-2x 4=2⎪3x +2x +x =-1

23⎪1

⑴⎨ ；

2x 1-x 3+4x 4=4⎪

⎪x 1-2x 2+x 3-2x 4=4⎩

⎧x 1+x 2+2x 3+3x 4=1⎪3x -x -x -2x =-4

234⎪1

⑵⎨ ．

2x 1+3x 2-x 3-x 4=-6⎪

⎪x 1+2x 2+3x 3-x 4=-4⎩

２．一节食者准备他一餐的食物Ａ、Ｂ、Ｃ．已知每一盎司Ａ含有２单位的蛋白质，３单位的脂肪，４单位的糖；每一盎司Ｂ含有３单位的蛋白质，２单位的脂肪，１单位的糖；每一盎司Ｃ含有３单位的蛋白质，３单位的脂肪，２单位的糖．如果这一餐必须精确地含有25单位的蛋白质，24单位的脂肪，21单位的糖，请问节食者每种食物须准备多少盎司？（每盎司为28.35g ）

３．试根据下列资料求每类商品的利润率：

６．３ 矩阵的概念、运算

在本节，我们要学习一个新的数学概念——矩阵(matrix)．矩阵不仅是解线性方程组的重要工具，而且在经济管理中也有着极为广泛的应用．

6.3.1 矩阵的概念

例6-12 某公司销售四种商品Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ，它们在第一季度的销售量分别如表6-1所示：

表6-1

在数学中习惯仅将数据从表里提出来研究．这样一个纯数表： 如果我们把这些数按原来的行列次序排出一张矩形数表：

137

⎛200 250 280⎝

这种矩形数表在数学上就叫做矩阵．

220100300

90260120

300⎫

⎪320⎪ 400⎪⎭

定义6.3 由m ⨯n 个数a ij (i =1, 2, , m ; j =1, 2, , n ) 按一定顺序排列成的一个m 行

n 列的矩形数表：

⎛a 11

a A = 21

a ⎝m 1

a 12a 22 a m 2

a 1n ⎫

⎪

a 2n ⎪

（6-12） ⎪ ⎪

a mn ⎪⎭

称为m 行n 列矩阵． a ij 称为矩阵Ａ的第i 行第j 列元素．

矩阵通常用大写英文字母Ａ，Ｂ，…或(a ij ) ，(b ij ) ，…表示，也可记为A m ⨯n 或(a ij ) m ⨯n ． 对于矩阵（6-12），

⎛a 11

a 21

⑴当m =n 时，A =

a ⎝n 1

⑵当m =1时，A =(a 11

a 12a 22 a n 2

a 1n ⎫

⎪

a 2n ⎪

称为n 阶方阵，简称方阵．

⎪

⎪

a nn ⎪⎭

a 12 a 1n )称为行矩阵．

⎛a 11⎫

⎪a 21⎪

⑶当n =1时，A = 称为列矩阵．

⎪ ⎪ a ⎪⎝m 1⎭

⑷当a ij =0(i =1, 2, , m ; j =1, 2, , n ) 时，称为零矩阵，记作O m ⨯n 或O ，即

⎛00 0⎫ ⎪00 0 ⎪

O m ⨯n (或O ) = ． ⎪

⎪ 00 0⎪⎝⎭

⑸方阵从左上角到右下角的对角线称为主对角线．除了主对角线上的元素外，其余元素

⎛a 11

均为零的方阵称为对角矩阵，即A =

0⎝

0a 22 0

0⎫⎪

0⎪

．

⎪

⎪

a nn ⎪⎭

⑹主对角线上的元素均为１的对角矩阵称为单位矩阵，记为I n 或I ．

138

⎛100⎫ ⎪⎛10⎫

⎪I (或I ) =010例如，I 2(或I ) = ， ⎪． 3 01⎪⎝⎭ 001⎪

⎝⎭

⑺主对角线下方的各元素均为零的方阵称为上三角形矩阵，即

⎛a 11

0A =

0⎝⎛a 11 a 21A =

a ⎝n 1

a 12 a 1n ⎫

⎪

a 22 a 2n ⎪

；

⎪

⎪

0 a nn ⎪⎭0a 22 a n 2

0⎫

⎪

0⎪

．

⎪

⎪

a nn ⎪⎭

主对角线上方的各元素均为零的方阵称为下三角形矩阵，即

上三角形矩阵和下三角形矩阵统称为三角形矩阵．

⑻把矩阵Ａ的行换成列所得的矩阵称为矩阵Ａ的转置矩阵，记作A T 或A '．

5⎫⎛2

⎪⎛2-13⎫T

例如，A = -10⎪，则A = 50-7⎪⎪．

⎝⎭ 3-7⎪

⎝⎭

⑼若两矩阵A =(a ij ) m ⨯n 与B =(b ij ) m ⨯n 对应位置上的元素都相等，即

a ij =b ij (i =1, 2, , m ; j =1, 2, , n ) ，

则称矩阵Ａ与矩阵Ｂ相等，记作A =B ．

⑽由方阵Ａ的元素按原来的次序所构成的行列式称为矩阵Ａ的行列式，记作A 或

det A ．

123⎛123⎫

⎪

例如，矩阵A = 10-1⎪的行列式为A =10-1．

23-2⎪23-2⎝⎭

6.3.2 矩阵的运算

１．矩阵的加法与减法

例6-13 某运输公司分两次将某商品（单位：吨）从３个产地运往４个销地，两次调运方案分别用矩阵Ａ与矩阵Ｂ表示：

⎛2450⎫⎛3675⎫ ⎪ ⎪A = 1201⎪，B = 2312⎪．

3323⎪ 2131⎪⎝⎭⎝⎭

求该公司两次从各产地运往各销地的商品运输量．

139

显然所求商品运输量用矩阵表示为

⎛2+34+65+70+5⎫⎛510125⎫ ⎪ ⎪1+22+30+11+2=3513 ⎪ ⎪． 3+23+12+33+1⎪ 5454⎪⎝⎭⎝⎭

这个例子说明，在实际问题中有时需要把两个矩阵的所有对应元素相加．这就是矩阵的

加法．

定义6.4 设矩阵A =(a ij ) m ⨯n ，B =(b ij ) m ⨯n ，则矩阵(a ij ±b ij ) m ⨯n 称为Ａ与Ｂ的和与差，记作A ±B ，即

A ±B =(a ij +b ij ) m ⨯n ．

显然，两个矩阵只有当它们的行数和列数都相同时，才能进行加减运算．

3⎫14⎫⎛12⎛1

⎪ ⎪

-1⎪，B = 2-30⎪，求⑴A +B ；⑵A -B T ． 例6-14 已知A = 01

3-24⎪ -1-32⎪⎝⎭⎝⎭2+13+4⎫⎛237⎫⎛1+1 ⎪ ⎪

1+(-3) -1+0⎪= 2-2-1⎪． 解：⑴A +B = 0+2

3+(-1) -2+(-3) 4+2⎪ 2-56⎪⎝⎭⎝⎭

3⎫⎛12-1⎫⎛12 ⎪ ⎪

-1⎪- 1-3-3⎪ ⑵A -B T = 01

3-24⎪ 402⎪⎝⎭⎝⎭

2-23-(-1) ⎫⎛1-1 ⎪= 0-11-(-3) -1-(-3) ⎪ 3-4-2-04-2⎪⎝⎭04⎫⎛0 ⎪= -142⎪． -1-22⎪⎝⎭

矩阵的加法满足：

⑴交换律：A +B =B +A ；

⑵结合律：(A +B ) +C =A +(B +C ) ，

其中Ａ、Ｂ、Ｃ均是m 行n 列矩阵． ２．数与矩阵相乘

在例6-13中，若运输公司第三次将这种商品从３个产地运往４个销地，且运输量是第二次的２倍，则第三次从各产地运往各销地的商品运输量用矩阵表示为

140

⎛3⨯26⨯27⨯25⨯2⎫⎛6121410⎫ ⎪ ⎪2⨯23⨯21⨯22⨯2=4624 ⎪ ⎪． 2⨯21⨯23⨯21⨯2⎪ 4262⎪⎝⎭⎝⎭

这实际上是数２与矩阵Ｂ相乘．

定义6.5 设矩阵A =(a ij ) m ⨯n ，k ∈R ，则矩阵(ka ij ) m ⨯n 称为数k 与矩阵Ａ相乘，简称数乘矩阵，记作kA ，即

kA =(ka ij ) m ⨯n ．

例6-15 已知A =

⎛213⎫⎛-224⎫1

⎪ ⎪B =，，求A +B ． ⎪ 64-4⎪-1022⎝⎭⎝⎭

解：A +

⎛213⎫⎛-112⎫⎛125⎫1

⎪⎪⎪=+ = ． B ⎪ ⎪ ⎪2⎝-102⎭⎝32-2⎭⎝220⎭

数乘矩阵满足：

⑴交换律：kA =Ak ；

⑵分配律：k (A +B ) =kA +kB ，(k 1+k 2) A =k 1A +k 2A ； ⑶结合律：k 1(k 2A ) =(k 1k 2) A ； ⑷1∙A =A ，(-1) ∙A =-A ； ⑸kA =O ⇔k =0或A =O ，

其中k 1、k 2为任意常数，Ａ、Ｂ均是m 行n 列矩阵．

３．矩阵与矩阵相乘

例6-16 某公司生产甲、乙两种产品，计划元月份的产量分别为100、120件，用矩阵表示A =(100120)．已知每种产品都需经过三台机器加工，每台机器上所费时间（小时）

⎛1. 521⎫

用矩阵Ａ表示B = 431. 5⎪⎪，求元月份每台机器的使用时间．

⎝⎭

显然，元月份每台机器的使用时间用矩阵表示

(100⨯1. 5+120⨯4100⨯2+120⨯3100⨯1+120⨯1. 5)=(630560280)．

这实际上就是矩阵Ａ与矩阵Ｂ相乘．

定义6.6 设矩阵A =(a ij ) m ⨯s ，B =(b ij ) s ⨯n ，则矩阵C =(c ij ) m ⨯n ，其中

c ij =a i 1b 1j +a i 2b 2j + +a is b sj =∑a ik b kj (i =1, 2, , m ; j =1, 2, , n )

k =1

s

称为矩阵Ａ与矩阵Ｂ的乘积，记作AB ，即C =AB ．

141

由定义可以看出，只有当矩阵Ａ的列数等于矩阵Ｂ的行数时，Ａ才能与Ｂ相乘，并且所得结果AB 的行数等于矩阵Ａ的行数，而列数等于矩阵Ｂ的列数． 例6-17 已知A =

⎛12⎫⎛203⎫

⎪ ⎪B =，，求AB ． ⎪ ⎪⎝34⎭⎝12-1⎭

⎛1⨯2+2⨯11⨯0+2⨯21⨯3+2⨯(-1) ⎫⎛441⎫

解：AB = 3⨯2+4⨯13⨯0+4⨯23⨯3+4⨯(-1) ⎪⎪= 1085⎪⎪．

⎝⎭⎝⎭

例6-18 已知A =

⎛12⎫⎛2-6⎫⎛4-12⎫

⎪ ⎪ ⎪B =C =，，，求AB ，BA ，AC ． ⎪ ⎪ ⎪6⎭⎝24⎭⎝-13⎭⎝-2

⎛00⎫

解：AB = 00⎪⎪，

⎝⎭

⎛-10-20⎫

⎪BA = ， 5⎪10⎭⎝

⎛00⎫

AC = 00⎪⎪．

⎝⎭

由例6-18可以知道：

⑴AB ≠BA ，即矩阵乘法不满足交换律．因此，矩阵Ａ与矩阵Ｂ的乘积AB 常读作＂Ａ左乘Ｂ＂或＂Ｂ右乘Ａ＂，这时我们称矩阵Ａ为左矩阵，矩阵Ｂ为右矩阵．

⑵由AB =O 不能推出A =O 或B =O ．

⑶AB =AC 不能推出B =C ，即矩阵乘法不满足消去律．

⎛23⎫ ⎪A =01 例6-19 已知 ⎪，求AI ，IA ．

3-2⎪⎝⎭⎛23⎫⎛23⎫

⎪⎛10⎫ ⎪

解：AI = 01⎪ 01⎪⎪= 01⎪，

⎭ 3-2⎪ 3-2⎪⎝

⎝⎭⎝⎭

⎛100⎫⎛23⎫⎛23⎫ ⎪ ⎪ ⎪IA = 010⎪ 01⎪= 01⎪．

001⎪ 3-2⎪ 3-2⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

矩阵乘法满足：

⑴分配律：(A +B ) C =AC +BC ，A (B +C ) =AB +AC ；

⑵结合律：(AB ) C =A (BC ) ，k (AB ) =(kA ) B =A (kB ) ； ⑶AI =IA =A ，

其中Ａ、Ｂ、Ｃ是矩阵，k 是任意常数．

142

例6-20、某商店主要销售甲、乙、丙三种商品，其销售量如表1所示，每件商品销售价格及销售利润如表2所示，试求该商店第二季度三个月的销售额及销售利润各为多少？ 表1

表2 单位：元

解：4月份的销售额为

400⨯30+200⨯20+700⨯15=26500元

4月份的利润为

400⨯5+200⨯4+700⨯2=4200元

同理可得：5月份的销售额为28500元，5月份的利润为4700元； 6月份的销售额为35000元，6月份的利润为5800元 我们将上运算用矩阵表示：

⎛400 500 600⎝⎛400 500 600⎝200700⎫⎛30⎫⎛26500⎫

⎪ ⎪ ⎪

300500⎪ 20=28500 ⎪ ⎪

⎪ ⎪ 400600⎭⎝15⎭⎝35000⎪⎭

200700⎫⎛5⎫⎛4200⎫

⎪ ⎪ ⎪

300500⎪ 4=4700 ⎪ ⎪

⎪ ⎪ 400600⎭⎝2⎭⎝5800⎪⎭

习题6-3

１．行列式与矩阵有什么区别？

⎛325⎫⎛1-23⎫ ⎪ ⎪

2⎪，求A -2B ，-A +B ，A +B T ．２．已知矩阵A = 10-1⎪，B = -51

6 46-3⎪0-4⎪⎝⎭⎝⎭

３．计算：

⎛3⎫

⎪

⎛2⎫⎛-1⎫⎛12⎫⎛-34⎫ 2⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪()()432⑴ ； ⑵； ⑶； ⑷ 3⎪ 3-1⎪ 1-2⎪ 4⎪ -1⎪(12-1)； ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪

1⎪⎝⎭

143

⎛12⎫ ⎪⎛210-1⎫⎛sin x cos x ⎫⎛sin x cos x ⎫

⎪ ⑸ 20⎪ ； ⑹ 1340⎪ -cos x sin x ⎪⎪ cos x -sin x ⎪⎪． ⎭⎝⎭⎝⎭ 3-1⎪⎝

⎝⎭

４．若Ａ、B 是两个不同的n 阶方阵(n ≥2) ，恒等式(A +B ) =A +2AB +B 是否成立？为什么？其中A 2=A ∙A ．

５．现有三批货物分别运往三个地点，货物去向，重量及运费分别如下表所列：

2

2

2

试用矩阵运算计算出每日的销售量。

7. 四个工厂均能生产甲、乙、丙三利产品，其单位成本如下表： 现要生产甲种产品600件，乙种产品500件，丙种产品200件，问由哪个工厂生产成本最低？

６．４ 逆矩阵及初等变换

6.4.1 逆矩阵

根据矩阵与矩阵的乘积和矩阵相等的定义，方程组(6-10)可写成矩阵形式

AX =B (6-13)

⎛a 11 a 21

其中A =

a ⎝n 1

a 12a 22 a n 2

a 1n ⎫⎛x 1⎫

⎪⎪

a 2n ⎪ x 2⎪

X =称为方程组(6-10)的系数矩阵，称为未知数矩阵， ⎪⎪

⎪⎪ x ⎪⎪ a nn ⎭⎝n ⎭

144

⎛b 1⎫ ⎪ b ⎪

B = 2⎪称为常数项矩阵．式(6-13)称为矩阵方程．

⎪ b ⎪⎝n ⎭

我们知道代数方程ax =b 的解为x =a b (a ≠0) ，对于矩阵方程(6-13)，为了将它写成X =A -1B 的形式，我们引进逆矩阵的概念．

定义6.7 设Ａ是n 阶方阵，如果存在一个n 阶方阵Ｃ，使得AC =CA =I ，则称方阵Ａ是可逆的（或非奇异的），并称Ｃ为Ａ的逆矩阵，简称逆阵，记作A -1．否则称Ａ是不可逆的（或奇异的）．

-1

23⎫⎛1-4-3⎫⎛2

⎪ ⎪-1

例6-21 设A = 1-5-3⎪，验证A = 1-10⎪．

-121⎪ -164⎪⎝⎭⎝⎭23⎫⎛100⎫⎛1-4-3⎫⎛2

⎪ ⎪ ⎪

证明：∵ 1-5-3⎪ 1-10⎪= 010⎪，

-16 ⎪ ⎪4⎪⎝⎭⎝-121⎭⎝001⎭

23⎫⎛1-4-3⎫⎛100⎫⎛2 ⎪ ⎪ ⎪1-101-5-3=010 ⎪ ⎪ ⎪， -121⎪ -16 ⎪4⎪⎝⎭⎝⎭⎝000⎭

⎛1-4-3⎫

⎪-1

∴ A = 1-5-3⎪

-164⎪⎝⎭

逆矩阵有以下性质：

⑴若Ａ可逆，则其逆阵是唯一的．

⑵Ａ的逆阵的逆阵是Ａ，即(A )

-1

⎛223⎫ ⎪= 1-10⎪． -121⎪⎝⎭

-1-1

=A ．

求可逆矩阵的逆阵可用伴随矩阵法．

定义6.8 设n 阶方阵A =(a ij ) ，其行列式A 中各元素a ij 的代数余子式为A ij ，将A ij

*

按A 中a ij 的顺序排列成方阵，然后转置所得的方阵称为方阵Ａ的伴随矩阵，记作A ，即

⎛A 11 A 12*

A =

A ⎝1n A 21 A n 1⎫

⎪

A 22 A n 2⎪

．

⎪

⎪

A 2n A nn ⎪⎭

145

⎛

根据n 阶行列式的性质７、性质８，AA *=A *A =

⎝

A 0 0

0 0

A

0⎫⎪0⎪

，当A ≠0时， ⎪ ⎪A ⎪⎭

⎛1*⎫⎛1*⎫

⎪ ⎪A A A ⎪= A A ⎪A =I ．

⎝⎭⎝⎭

所以，有以下定理：

定理6.2 方阵Ａ可逆的充要条件是A ≠0．当Ａ可逆时有A 例6-22 判断下列矩阵是否可逆？若可逆，求其逆阵．

-1

=

1*

A ． A

⎛415⎫ ⎪⎛12⎫

⎪A =112 ⑴A = ； ⑵ ⎪． -13⎪

⎝⎭ 022⎪

⎝⎭

解：⑴ 因为A =

12

-13

=5≠0，所以Ａ可逆．又因为

A 11=(-1) 1+13=3，A 12=(-1) 1+2-=1，A 21=(-1) 2+12=-2，A 22=(-1) 2+2=1，

2⎫⎛3- ⎪1⎛3-2⎫-15⎪． ⎪所以，A = = 5 ⎪5⎝11⎭ 11⎪ ⎪⎝55⎭

415

⑵ 因为A =1

12=0，所以Ａ不可逆．

022

有逆矩阵的概念，对于矩阵方程(6-13)，若Ａ可逆，则

AX =B ⇒A -1AX =A -1B ⇒IX =A -1B ⇒X =A -1B ．

例6-23 解矩阵方程X

⎛-21⎫⎛11⎫

⎪⎪= ． ⎪ ⎪

⎝02⎭⎝2-1⎭

-1

⎛-21⎫

解：方程两边同时右乘 02⎪⎪，

⎝⎭

⎛-21⎫⎛-21⎫X 02⎪⎪ 02⎪⎪⎝⎭⎝⎭

-1

⎛11⎫⎛-21⎫

= 2-1⎪⎪ 02⎪⎪， ⎝⎭⎝⎭

-1

146

⎛11⎫⎛-21⎫

得：X = 2-1⎪⎪ 02⎪⎪

⎝⎭⎝⎭

-1

⎛1

⎛11⎫ -2= 2-1⎪⎪ ⎝⎭ 0

⎝1⎫

⎪⎛14⎪= -1⎪ 2⎪⎝-12⎭

3⎫⎪ ． 4⎪0⎭

⎧x 1+2x 2+3x 3=3⎪

例6-24 利用逆矩阵解线性方程组⎨2x 1+5x 2+7x 3=6．

⎪3x +7x +8x =5

23⎩1

解：方程组的系数矩阵、未知数矩阵、常数项矩阵分别为

⎛123⎫⎛x 1⎫⎛3⎫

⎪ ⎪ ⎪

A = 257⎪，X = x 2⎪，B = 6⎪，

378⎪ x ⎪ 5⎪⎝⎭⎝3⎭⎝⎭

则得到矩阵方程为AX =B ．

⎛9

-95-1⎛⎫ 2

⎪ 51*1

因为A -1=A =5-1-1 ⎪= -

A -2 ⎪ 2-1-111⎝⎭

⎝2⎛9 25

所以，X =A -1B = -

2 1 ⎝2

-521212

-

521212

1⎫⎪2⎪1⎪

， ⎪21⎪-⎪2⎭

1⎫⎪

2⎪⎛3⎫⎛1⎫1⎪ ⎪ ⎪ 6⎪= -2⎪． ⎪2 ⎪ ⎪1⎪⎝5⎭⎝2⎭-⎪2⎭

得到方程组的解为x 1=1，x 2=-2，x 3=2．

6.4.2 矩阵的初等变换

由前面的讨论可知，用克莱姆法则和逆矩阵求线性方程组的解时，要求方程组必须是n 个未知数n 个方程的线性方程组，而且其系数行列式不等于零．均有一定的局限性，为了更一般地求解线性方程组，在这里我们先介绍矩阵的秩和初等变换的概念．

定义6.9 在矩阵A =(a ij ) m ⨯n 中，任取k 行k 列(k ≤min(m , n ) )，位于这些行列相交处的元素所构成的k 阶行列式，称为Ａ的k 阶子式．

⎛1202-1⎫ ⎪

例如，在矩阵A = 315-23⎪中，第一、二行与第一、二列相交处元素构

742-30⎪⎝⎭

成的二阶子式为

1231

；第一、二、三行与第二、三、四列相交处元素构成的三阶子式为

147

202

15-2． 42-3

定义6.10 如果矩阵Ａ中至少有一个r 阶子式不为零，而所有高于r 阶的子式都为零，则数r 称为矩阵Ａ的秩，记为R (A ) ，即R (A ) =r ． 显然，若R (A ) =r ，则Ａ中r -1阶子式不可能全为零．

⎛1125⎫ ⎪1

=1≠0，而它的四个三阶子式 例如，在矩阵A = 1237⎪中，有二阶子式2 1349⎪

⎝⎭12

15

25

125

23，27，37，237均为零，所以，R (A ) =2．

343949349

定义6.11 若矩阵Ａ满足：

⑴零行（即元素全为零的行）在下方，

⑵首非零元（即非零行第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增加而严格递增， 则矩阵Ａ称为阶梯形矩阵．

⎛120⎫⎛1021⎫⎛03-101⎫ ⎪ ⎪ ⎪

例如，A = 0-13⎪，B = 0032⎪，C = 0012-2⎪都是阶梯

005⎪ 00080⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

形矩阵．

显然，阶梯形矩阵的秩等于其中非零行的行数．上面阶梯形矩阵R (A ) =3，R (B ) =2，

R (C ) =3．

定义6.12 若阶梯形矩阵Ａ满足：

⑴非零行的首行非零元都是１，

⑵所有首非零元所在列的其它元素都是０， 则矩阵Ａ称为简化阶梯形矩阵．

⎛1

1031002⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ 0

例如， 012⎪， 0101⎪，

000⎪ 0013⎪ 0⎝⎭⎝⎭

⎝02⎫⎪

010-1⎪

都是简化阶梯形矩阵． ⎪0013⎪

0000⎪⎭

200

定义6.13 对矩阵的行（或列）作以下三种变换，称为初等变换．

⑴矩阵的任意两行（或列）互换位置．（第i 行（或列）与第j 行（或列）互换，记作r i r j （或c i c j ））．

148

⑵用一个不为零的常数乘矩阵的某一行（或列）．（数k 乘第i 行（或列），记作kr i （或）． kc i ）

⑶用一个常数乘矩阵的某一行（或列），再加到另一行（或列）上去．（数k 乘第i 行（或列），再加到第j 行（或列）上去，记作r j +kr ）． i （或c j +kc i ）

容易证明下面定理：

定理6.3 初等变换不改变矩阵的秩． 利用矩阵的初等变换可以求矩阵的秩．具体方法是对矩阵Ａ的行施行初等变换，将它化成一个阶梯形矩阵Ｂ，则R (A ) =R (B ) ．

⎛1

1

例6-25 求矩阵A =

1 1⎝

⎛1 1A =

1 1⎝

12

5

12

7⎫⎪

23710⎪

的秩． ⎪34913⎪

451116⎪⎭

1257⎫

⎪

1123⎪

2246⎪

⎪

3369⎪⎭1257⎫

⎪

1123⎪

．

0000⎪

⎪

0000⎪⎭

5

解：对矩阵Ａ施行行初等变换：

7⎫⎛1

⎪

23710⎪r 2-r 1, r 3-r 1, r 4-r 1 0

−−−−−→

34913⎪0

⎪

0451116⎪⎭⎝

⎛1 0r 3-2r 2, r 4-3r 2

−−−−−→

0 0⎝

所以，R (A ) =2．

注意：初等变换的每一步都用箭头" →" 表示，它说明经过初等变换后的矩阵与原矩阵是等价关系，而不是相等关系．

利用矩阵的初等变换还可以求可逆矩阵Ａ的逆阵．具体方法是将n 阶方阵Ａ与单位矩阵

I n 组成一个长方矩阵(A :I )，再对这个长方矩阵施行行初等变换，使虚线左边的Ａ变成单

位矩阵I ，这时虚线右边的I 就变成了A ，即

-1

(A :I )

−行初等变换−−−→(I :A -1)．

⎛11-1⎫

⎪A =210 例6-26 利用初等变换求矩阵 ⎪的逆矩阵．

1-11⎪⎝⎭

149

⎛200101⎫⎛11-1100⎫

⎪ ⎪1+r 2

0010⎪−r − 解：(A :I )= 21−→ 210010⎪

1-11001⎪ 1-11001⎪

⎝⎭⎝⎭

⎛

1001r 1 2

−−→ 210

1

02011⎫11⎫⎛

0⎪ 100⎪

2⎪r -2r , r -r 22⎪

2131

0⎪−−−−→ 010-11-1⎪

1-110

01⎪⎪ ⎝

⎭ ⎝0-11-1201⎪2⎪⎭⎛

10010

1⎫

−r −−r 010-23+2

→ 1

1-2⎪1⎪

⎪=(I :A -1) ⎝

000-321-1

⎪

2⎪⎭

⎛ 11⎫所以，A -1= 202⎪ -1⎪

31-1⎪．

-1-1⎪⎝22⎪⎭

习题6-４

１．用伴随矩阵法求下列矩阵的逆阵：

⑴⎛⎛ 23 1-21⎫⎪⎛ 100⎫⎪ ⎫

⎝-21⎪⎪

； ⑵⎭ 230 ⎪； ⑶ 010⎪． ⎝101⎪

⎭

⎝001⎪⎭２．解下列矩阵方程：

⑴⎛ 25 ⎫⎝13⎪⎪⎭X =⎛ 4-6 ⎫⎝21⎪⎪⎭；⑵⎛ 21 ⎫⎝32⎪⎪⎭X ⎛ -32 ⎫⎝5-3⎪⎪⎭=⎛ -24 ⎫

⎝3-1⎪⎪⎭； ⎛⑶X 21-1⎫ 210⎪ ⎪=⎛ 1-13 ⎫

⎝1-11⎪⎭

⎝

432⎪⎪⎭．

３．利用逆矩阵解下列线性方程组：

⎧2x 1+2x 2+x 3=5⎧⑴⎧2x 1+x 2-3x 3+1=0⎨2x 1-x 2=1；⑵⎪⎩x x ⎨3x ⎪1+x 2+5x 3=0；⑶⎨x 1-2x 3-1=0． 1+2=2⎪⎩3x 1+2x 2+3x 3=4⎪⎩2x 1

+4x 2+5x 3=0

４．求下列矩阵的秩：

⎛1-13⎫⎛2⎫⑴ 432⎪ 31

12-1⎪

⎪； ⑵ ⎪； ⎝1-25⎪

⎭

⎝2-13⎪⎭ 150

⎛21112⎫ ⎪112-3⎛⎫

⎪ 104-1⎪⑶ 1-321⎪； ⑷ ． ⎪114565 1-12-1⎪ ⎪⎝⎭ 2-15-6⎪

⎝⎭

５．利用初等变换求下列矩阵的逆矩阵：

2⎫⎛122⎫⎛113⎫⎛11

⎪ ⎪ ⎪

⑴ 223⎪；⑵ 01-1⎪；⑶ 4-9-5⎪．

306⎪ 001⎪ 022⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

６．５ 线性方程组的消元解法

设含有m 个方程n 个未知数的线性方程组的一般形式为

⎧a 11x 1+a 12x 2+ +a 1n x n =b 1

⎪a x +a x + +a x =b ⎪2112222n n 2

(6-14) ⎨

⎪ ⎪⎩a m 1x 1+a m 2x 2+ +a mn x n =b m

如果所有的b i =0(i =1, 2, , m ) ，则方程组(6-14)称为n 元齐次线性方程组；否则，称为n 元非齐次线性方程组．

方程组(6-14)写成矩阵形式为

AX =B ，

a 1n ⎫⎛x 1⎫⎛b 1⎫

⎪⎪ ⎪

a 22 a 2n ⎪ x 2⎪ b 2⎪

X =，未知数矩阵，常数项矩阵 B = ⎪ ⎪． ⎪

⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ b ⎪a m 2 a mn ⎭⎝x n ⎭⎝m ⎭

将系数矩阵Ａ与常数项矩阵Ｂ合在一起得到的m 行n +1列矩阵，称为方程组(6-14)的⎛a 11 a 21

其中系数矩阵A =

a ⎝m 1

~

a 12

增广矩阵，记作A ，即

⎛a 11 ~

a 21A =

a ⎝m 1

a 12a 22

a 1n a 2n

a m 2 a mn

b 1⎫⎪b 2⎪

． ⎪⎪b m ⎪⎭

下面我们用初等变换来解线性方程组．先看一个简单的例子． 例6-27 解方程组⎨

⎧x 1+2x 2=6

．

2x -x =22⎩1

~

⎛126⎫

解：写出方程组的增广矩阵A = 2-12⎪⎪，然后对它施行行初等变换

⎝⎭

151

⎛126⎫A = 2-12⎪⎪

⎝⎭

~

r 2-2r 1

→①

6⎫⎛12⎛126⎫r 1-2r 2

⎪ 0-5-10⎪⎪→⎪→② 012⎝⎭⎝⎭③

1

-r 25

⎛102⎫ 012⎪⎪． ⎝⎭

变换①相当于原方程组消元⎨

⎧x 1+2x 2=6

，变换②相当于求解x 2

0x -5x =-102⎩1⎧x 1+2x 2=6

，变换⎨

0x +x =22⎩1

⎧x 1+0x 2=2

③相当于将x 2=2代入求x 1⎨．

0x +x =22⎩1

所以，原方程组的解为x 1=2，x 2=2．

由例１可以看出，对线性方程组的增广矩阵施行一系列的行初等变换，将增广矩阵化成

简化阶梯形矩阵，从而得到方程组的解．这种方法叫做＂高斯消去法＂．

⎧x 1+2x 2-3x 3=-9⎪

例6-28 用高斯消去法解线性方程组⎨3x 1+8x 2-12x 3=-38．

⎪-2x -5x +3x =10

123⎩

2-3-9⎫⎛1⎛12-3-9⎫⎛12-3-9⎫

⎪ ⎪ ⎪

8-12-38⎪→ 02-3-11⎪→ 030-3⎪ 解：A = 3

-2-5 0-1-3-8⎪ 0-1-3-8⎪310⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

~

⎛12-3-9⎫⎛10-3-7⎫⎛1002⎫

⎪ ⎪ ⎪→ 010-1⎪→ 010-1⎪→ 010-1⎪

⎪ 013 8⎪9⎪⎝⎭⎝003⎭⎝0039⎭⎛1002⎫

⎪→ 010-1⎪ 0013⎪⎝⎭

所以，线性方程组的解为x 1=2，x 2=-1，x 3=3． 习题6-5

求解下列线性方程组:

152

⎧2x +2y -z =1. ⎪

6⎨x -2y +4z =3⎪⎩

5x +7y +z =28⎧-2x 1+3x 2-x 3=2. ⎪

1⎨x 1+2x 2-x 3=4

⎪⎩

-2x 1-x 2+x 3=-3

⎧⎪x 1+x 2+2x 3+3x 4=13. ⎪⎨3x 1-x 2-x 3

-2x 4=-4⎪2x 1+3x 2-x 3-x 4=-6⎪⎩x 1+2x 2+3x 3-x 4=-4

153