3.3圆周角与圆心角的关系练习三

3.3圆周角与圆心角的关系练习三

一、选择题

1．圆周角是24°，则它所对的弧是___________．

[ ]

A．12°；B．24°；C．36°；D．48°．

2．在⊙O中，∠AOB=84°，则弦AB所对的圆周角是___________．

[ ]

A．42°；B．138°；C．84°；D．42°或138°．

3．如图，圆内接四边形ABCD的对角线AC，BD把四边形的四个角分成八个角，这八个角中相等的角的对数至少有___________．

[

]

A．1对；B．2对；C．3对；D．4对．

4．如图，AC是⊙O的直径，AB，CD是⊙O的两条弦，且AB∥CD．如果∠BAC=32°，则∠AOD=___________．

[

]

A．16°；B．32°；C．48°；D．64°． 二、计算题

角形外接圆半径长及各锐角的正切值．

6．如图，AD是△ABC外接圆的直径，AD=6cm，∠DAC=∠ABC．求AC的长．

7．已知：△DBC和等边△ABC都内接于⊙O，BC=a，∠BCD=75°（如图）．求BD的长．

8．如图，半圆的直径AB=13cm，C是半圆上一点，CD⊥AB于D，并且CD=6cm．求AD的长．

9．如图，圆内接△ABC的外角∠MAB的平分线交圆于E，EC=8cm．求BE的长．

10．已知：如图，AD平分∠BAC，DE∥AC，且AB=a．求DE的长．

11．如图，在⊙O中，F，G是直径AB上的两点，C，

∠CFA=∠DFB，∠DGA=∠EGB．求∠FDG的大小．

12．如图，⊙O的内接正方形ABCD边长为1，P为圆周上与A，B，C，D不重合的任意点．求PA2＋PB2＋PC2＋PD2的值．

13．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=135°，以A为圆心，AB为半径作⊙A交AD，BC于E，F两

14．如图，⊙O的半径为R，弦AB=a，弦BC∥OA，求AC的长．

15．如图，在△ABC中，∠BAC，∠ABC，∠BCA的平分线交△ABC的外接圆于D，E和F，如果个内角．

，

，

分别为m°，n°，p°，求△ABC的三

16．如图，在⊙O中，BC，DF为直径，A，E为⊙O上的点，AB=AC，EF=∠ABD+∠CBE的值．

1

DF．求2

17．如图，等腰三角形ABC的顶角为50°，AB=AC，以

数．

18．如图，AB是⊙O的直径，AB=2cm，点C在圆周上，且∠BAC=30°，∠ABD=120°，CD⊥BD于D．求BD的长．

19．如图，△ABC中，∠B=60°，AC=3cm，⊙O为△ABC的外接圆．求⊙O的半径．

20．以△ABC的BC边为直径的半圆，交AB于D，交AC于E，EF⊥BC于F，AB=8cm，AE=2cm，BF∶FC=5∶1（如图）．求CE的长．

21．已知等腰三角形的腰长为13cm，底边长为10cm，求它的外接圆半径． 22．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=a，BD=b，BE=c．求AE的长．

23．如图，△ABC中，AD是∠BAC的平分线，延长AD交△ABC的外接圆于E，已知AB=6cm，BD=2cm，BE=2．4cm．求DE的长．

24．如图，梯形ABCD内接于⊙O，AB∥CD，⊙O的半径为6cm．求BC的长．

的度数为60°，∠B=105°，

25．已知：如图，AB是⊙O的直径，AB=4cm，E为OB的中点，弦CD⊥AB于E．求CD的长．

26．如图，AB为⊙O的直径，E为OB的中点，CD为过E点并垂直AB的弦．求∠ACE的度数．

27．已知：如图，在△ABC中，∠C=90°，∠A=38°，以C为圆心，BC为半径作圆，交AB于D，求

的度数．

28．如图，△ABC内接于圆O，AD为BC边上的高．若AB=4cm，AC=3cm，AD=2．5cm，求⊙O的半径．

29．设⊙O的半径为1，直径AB⊥直径CD，E是OB的中点，弦CF过E点（如图），求EF的长．

30．如图，在⊙O中直径AB，CD互相垂直，弦CH交AB于K，且AB=10cm，CH=8cm．求BK∶AK的值．

31．如图，⊙O的半径为40cm，CD是弦，A为

的中点，弦AB交CD于

F．若AF=20cm，BF=40cm，求O点到弦CD的弦心距．

32．如图，四边形ABCD内接于以AD为直径的圆O，且AD=4cm，AB=CB=1cm，求CD的长．

三、证明题

33．如图，已知△ABC内接于半径为R的⊙O，A为锐角． 求证：

BC

=2R sin

A

34．已知：如图，在△ABC中，AD，BD分别平分∠BAC和∠ABC，延长AD交△ABC的外接圆于E，连接BE．求证：BE=DE．

35．如图，已知D为等边三角形ABC外接圆上的边于E．求证：AB为AD和AE的比例中项．

上的一点，AD交BC

36．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的圆交BC于D．求证：D为BC的中点．

37．已知：如图，⊙O是△ABC的外接圆，AD⊥BC于D，AE平分∠BAC交⊙O于E．求证：AE平分∠OAD．

38．已知：如图，△ABC的AB边是⊙O的直径，另两边BC和AC分别交⊙O于D，E两点，DF⊥AB，交AB于F，交BE于G，交AC的延长线于H．

求证：DF2=HF·GF．

39．已知：如图，圆内接四边形ABCD中，BC=CD．求证：AB·AD+BC2=AC2．

40．已知：如图，AB是半圆的直径，AC是一条弦，D是于E，交AC于F，DB交AC于G．求证：AF=FG．

中点，DE⊥AB

41．如图，AB是⊙O的弦，P是AB所对优弧上一点，直径CD⊥AB，PB交CD于E，延长AP交CD的延长线于F．求证：△EPF∽△EOA．

42．已知：如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M

为AM的延长线交DC于F．求证：∠AMD=∠FMC．

上一点，

43．已知：如图，AB，AC分别为⊙O的直径与弦，CD⊥AB于D，E为⊙O外一点，且AE=AC，BE交⊙O于F，连结ED，CF．求证：∠ACF=∠AED．

44．如图，⊙O的半径OD，OE分别垂直于弦AB和AC，连结DE交AB，AC于F，G．求证：AF2=AG2=DF·GE．

45．如图，△ABC内接于圆，D是AB上一点，AD=AC，E是AC延长线上一点，AE=AB，连接DE交圆于F，延长ED交圆于G．求证：AF=AG．

46．已知：如图，⊙O的两条直径AB⊥CD，E是OD的中点，连结AE，并延长交⊙O于M，连结CM，交AB于F．求证：OB=3OF．

47．已知：如图，△ABC是等边三角形，以AC为直径作圆交BC于D，作DE⊥AC交圆于E．

（1）求证：△ADE是等边三角形； （2）求S△ABC∶S△ADE．

48．已知：如图，半径都是5cm的两等圆⊙O1和⊙O2相交于点A，B，过A作⊙O1的直径AC与⊙O2交于点D，且AD∶DC=3∶2，E为DC的中点．

（1）求证：AC⊥BE； （2）求AB的长．

49．如图，已知在直角三角形ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，AD是⊙O的直径，且D点在AB上．

参考答案

一、选择题

1．D 2．D 3．D 4．D 二、计算题

DE⊥直线OB于E，∠DOE=30°，应用勾股定理求出BD的长．

8．9 cm或4 cm．提示：连接 AC，BC．由 AB为直径可知∠ACB=90°．又 CD⊥AB于 D，所以 CD2=AD·BD，即CD2=AD·（AB－AD）．又 AB=13，CD=6，所以 36=AD（13－AD），AD2－13AD+36=0，解出AD=9（cm）或AD=4（cm）．

11．50°．提示：延长DF，DG分别交⊙O于C'，E'，因为∠CFA=∠DFB，∠DGA=∠EGB，所以∠CFA=∠C'FA，∠EGB=∠E'GB．因为AB为⊙O的直径，所以根据轴对称图形的性质可知

为100°，就有∠FDG=50°．

又因为∠DAB=∠ABC=90°．所以AC和BD为⊙O的直径．所以△APC与△BPD为直角三角形．所以 PA2+ PC2= AC2， PB2+PD2=BD2，就有

PA2+PB2+PC2+PD2=AC2+BD2=4．

知BC//AD．所以AC=BD．又AD为直径，所以∠ABD=90°．在Rt△ABD中，AD=2R，AB=a，所以

15．提示：根据圆周角度量定理有：（∠A+∠B）的度数=m°，（∠B+∠C）的度数=n°，（∠C+∠A）的度数=p°．由前面三个等式得：

16．75°．提示：由BC，DF分别为⊙O的直径，可得∠A=∠DEF=90°．又AB=AC，所以∠ABC=45°．在 Rt△DEF中，由 EF

=

是240°，∠DBE=120°．所以∠ABD+∠CBE=120°－45°=75°． 17．50°，50°，80°．提示：连接 AD，则 AD平分∠A．

于D，则AD=CD，∠AOD=DOC．由∠B=60°可得∠OAD=30°．所

解法二 过A作直径AD，连接CD，则∠ACD=90°，∠ADC=∠ABC=60°；又知AC=3，这就容易求出AD．

=90°，所以BE2=AB2－AE2=82－22=60．又因为BF∶FC=5∶1，故设BF=5x，FC=x，则BC=6x．因为EF⊥BC，所以BE2=BF·BC，

解法二 连接BE，则BE⊥AC，所以BE2=82－22=60．在直角三角形BCE中

ABC外接圆于E，连接CE，则AD⊥BC，BD=CD=5．由垂径定理知：AE为△ABC外接圆的直径，所以∠ACE=90°．在Rt△ADC中，AD

=

23．0.8 cm．提示：只需证明△ABE∽△BDE．

CE． 26．60°．

提示：连接OC，BC．只需证明△OCB为等边三角形，则∠ABC=60°，而∠ACB=90°，所以∠CAB=30°，即可求出∠ACE=60°．

27．76°．提示：延长BC交⊙C于E，连接DE，只需证明∠

28．2.4 cm．提示：连接AO并延长交⊙O于E，则AE为⊙O

4.8．所以⊙O的半径为2.4（cm）．

30．7∶1．提示：连接HD．只需证明△CKO∽△CDH．所以

31．25 cm．提示：连接 AO并延长交⊙O于 E，则 AE为⊙O

CD，OM就是CD的弦心距．只需证明△AMF∽△ABE，由此得

32．3.5cm．提示：解法一 连接OB交弦AC于G．连接BD．只需证明△ABG∽△DAB．由此求出AG，进而求出OG，而CD=2OG．

解法二 设AB的延长线与DC的延长线相交于点E，在△BCE和△OAB中，

∠BCE=∠OAB，∠EBC=∠D=2∠ADB=∠BOA．

所以△BCE∽△OAB，从而 BC∶CE=OA∶AB．所以CE

=

三、证明题

33．提示：作直径BD，连接CD，则∠BCD=90°，且∠A=∠D．在

34．提示：只需证明∠BDE=∠DBE．证明时利用三角形外角定理及圆周角定理的推论．

35．提示：连接BD．只需证明△ABE∽△ADB． 36．提示：连接AD．

37．提示：证法一 延长AO交⊙O于M，延长AD交⊙O于N．连

证法二 过A作直径AM，连接MB，则∠AMB=∠ACB，又∠ABM=∠ADC=直角，所以∠BAM=∠DAC，从而AE平分∠OAD．

·GF=BF·AF．再根据射影定理得DF2=AF·FB，所以

DF2=HF·GF．

39．提示：连接BD交AC于E．只需证明△BEC∽△ABC∽△

AC·AE=AC（AC－EC）=AC2－AC·EC．

40．提示：连接AD．由AB为直径得∠ADB=90°．再由DE⊥

∠ADE，∴AF=DF．这就容易证出AF=FG．

41．提示：∠AEO=（∠BEO）=∠FEP，∠OAE=（∠AOC－∠AEO=∠APB－∠FEP）=∠F．

42．提示：连接MB．因为AB是⊙O的直径，所以∠AMB=∠

从而∠AMD=∠FMC．

43．提示：连接BC．因为AB为⊙O直径，所以∠ACB=90°．因为CD⊥AB于D，所以AC2=AD·AB．又因为AE=AC，所以

△ADE，就有∠AED=∠ABE=∠ACF．

44．提示：连接AD，AE，应用三角形外角定理，先证明∠AFG

=

AF·AG=DF·GE，就有AF2=AG2=DF·GE．

45．提示：先证明△ABC≌△AED，连接BF，则∠G=∠ADF－∠GAB=∠ACB－∠GFB=∠AFG，所以AF=AG．

46．提示：设⊙O的半径长为1．连接MD．显然△CAE∽△

OF．

47．（1）提示：在△ADE中，∠ADE=60°，∠DEA=∠DCA=60°．所以△ADE是一个等边三角形．

48．（1）提示：连接BD，BC．因为⊙O1与⊙O2是等圆，

又因为E为DC中点，所以BE⊥AC．

所以AD=6，DC=4，所以DE=2，AE=8．因为AC为⊙O1直径，所以∠ABC=90°，又因为BE⊥AC，所以AB2=AE·AC=80，得出AB

=

49．（1）提示：连接ED．因为AD为直径，所以∠AED=90°．又

ACB=90°，CD⊥AB，所以 AC2=AD·AB，BC2=AB·BD，由此

（2）2∶1．提示：AE∶CE=AD2∶CD2=2∶1．