高中二次函数专题复习
高中二次函数专题复习
1.(2008年高考辽宁卷) 若函数y =(x +1)(x -a ) 为偶函数,则a 等于( )
A .-2 B .-1
C .1 D .2
解析:选C. ∵y =(x +1)(x -a ) =x 2+(1-a ) x -a 是偶函数 ∴1-a =0,∴a =1,故选C.
2.若f (x ) =x 2-ax +1有负值,则实数a 的取值范围是( )
A .a >2或a C .a ≠±2 D .1
解析:选A. f (x ) 有负值,则必须满足f (x ) 的图象与x 轴有两个不同的交点,其充要条件是:Δ=(-a ) 2-4>0,a 2>4即a >2或a
3.若f (x ) =x 2-x +a ,f (-m ) <0,则f (m +1) 的值为( )
A .正数 B .负数
C .非负数 D .与m 有关
12解析:选B. 法一:∵f (x ) =x -x +a 的对称轴为x =2
1而-m ,m +12
∴f (m +1) =f (-m ) <0,故选B.
法二:∵f (-m ) <0,∴m 2+m +a <0,
∴f (m +1) =(m +1) 2-(m +1) +a =m 2+m +a <0. 故选B.
4.已知函数y =ax 2+bx +c ,如果a >b >c ,且a +b +c =0,则它的图象是(
)
解析:选D. ∵a >b >c ,且a +b +c =0,得a >0,c <0(用反证
法可得) ,∴f (0)=c <0,∴只能是D.
55.已知函数f (x ) =x +ax +b ,且f (x +2) 是偶函数,则f (1),f (2,2
7f (2) 的大小关系是( )
5775A .f (2<f (1)<f (2) B .f (1)<f (2) <f (27575C .f (2) <f (1)<f (2 D .f (2<f (2) <f (1)
解析:选A. 由f (x +2) 是偶函数可知函数f (x ) =x 2+ax +b 关于直线x =2对称,所以f (1)=f (3),又该函数图象开口向上,当x >2时单
57调递增,故f (2<f (3)=f (1)<f (2,故答案为A.
6.如图,有一直角墙角,两边的长度
足够长,在P 处有一棵树与两墙的距离分别
为a m(0<a <12) 、4 m,不考虑树的粗细.现
在想用16 m 长的篱笆,借助墙角围成一个
矩形的花圃ABCD . 设此矩形花圃的面积为S
m 2,S 的最大值为f (a ) ,若将这颗树围在花
圃内,则函数u =f (a ) 的图象大致是( )
解析:选C. 据题意设BC =x ,则DC =16-x ,要使树围在花圃
⎧⎪x ≥a 内,需⎨⇒a ≤x ≤12,此时花圃的面积f (x ) =x (16-x ) =-(x ⎪⎩16-x ≥4
-8) 2+64(a ≤x ≤12) ,当8<a
2⎧⎪-a +16a ,8<a
作出图形易知C 选项正确.
7.已知函数f (x ) =x 2-2x +2的定义域和值域均为[1,b ],则b =________.
解析:∵f (x ) =(x -1) 2+1,∴f (x ) 在[1,b ]上是增函数,
f (x ) max =f (b ) ,∴f (b ) =b ,∴b 2-2b +2=b ,
∴b 2-3b +2=0,∴b =2或1(舍) .
答案:2
8.方程x 2-mx +1=0的两根为α、β,且α>0,1<β<2,则实数m 的取值范围是________.
⎧⎪α+β=m ,11⎨解析:∵∴m =β+β,∵β∈(1,2)且函数m =β+β在⎪α·β=1,⎩
15(1,2)上是增函数,∴1+1<m <2+2m ∈(2,2.
5答案:(2,29.已知定义在区间[0,3]上的函数f (x ) =kx 2-2kx 的最大值为3,那么实数k 的取值范围为________.
解析:∵f (x ) =k (x -1) 2-k ,
(1)当k >0时,二次函数图象开口向上,当x =3时,f (x ) 有最大值,f (3)=k ·32-2k ×3=3k =3⇒k =1;
(2)当k
(3)当k =0时,显然不成立.
故k 的取值集合为{1,-3}.
答案:{1,-3}
10.求下列二次函数的解析式:
(1)图象顶点坐标为(2,-1) ,与y 轴交点坐标为(0,11);
(2)已知二次函数f (x ) 满足f (0)=1,且f (x +1) -f (x ) =2x . 解:(1)法一:(一般式) 设f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) .
⎧⎪由题意,得⎨4ac -b
4a 1,⎪⎩11=c ,2-b 2a =2,
所以y =3x 2-12x +11.
法二:(顶点式) 设y =a (x -2) 2-1.
将(0,11)代入可得:11=4a -1,于是a =3,
所以y =3(x -2) 2-1=3x 2-12x +11.
(2)设二次函数f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0) ,
由f (0)=1,可知c =1.
而f (x +1) -f (x ) =[a (x +1) 2+b (x +1) +c ]-(ax 2+bx +c ) =2ax +a +b ,
由f (x +1) -f (x ) =2x ,可得2a =2,a +b =0. a =3,⎧⎪解得⎨b =-12,⎪⎩c =11,
因而a =1,b =-1,
所以f (x ) =x 2-x +1.
11.已知函数f (x ) =x 2-4ax +2a +6(a ∈R ) .
(1)若函数的值域为[0,+∞) ,求a 的值;
(2)若函数值为非负数,求函数f (a ) =2-a |a +3|的值域. 解:(1)∵函数的值域为[0,+∞) ,
∴Δ=16a 2-4(2a +6) =0
3⇒2a 2-a -3=0⇒a =-1或a =2(2)∵对一切x ∈R 函数值均为非负数,
32∴Δ=8(2a -a -3) ≤0⇒-1≤a ≤2
∴a +3>0,
∵f (a ) =2-a |a +3|=-a 2-3a +2
3⎫217⎛3⎤⎫⎛⎡ ⎢=-a +2+4a ∈-1,2⎥⎪, ⎝⎭⎝⎣⎦⎭
3⎤⎡⎢-1,∴二次函数f (a ) 在2⎦上单调递减. ⎣
⎛3⎫19∴f 2⎪≤f (a ) ≤f (-1) ,即-4f (a ) ≤4, ⎝⎭
⎡19⎤⎢⎥. -,4∴f (a ) 的值域为4⎣⎦
12.已知函数f (x ) =ax 2+2x +c (a 、c ∈N *) 满足:①f (1)=5;②6<f (2)<11.
(1)求a 、c 的值;
13(2)若对任意的实数x ∈[2,2,都有f (x ) -2mx ≤1成立,求实数
m 的取值范围.
解:(1)∵f (1)=a +2+c =5,
∴c =3-a . ①
又∵6<f (2)<11,即6<4a +c +4<11,②
14将①式代入②式,得-3a <3
又∵a 、c ∈N *,∴a =1,c =2.
(2)由(1)知f (x ) =x 2+2x +2.
法一:设g (x ) =f (x ) -2mx =x 2+2(1-m ) x +2.
2(1-m ) ①当-2≤1,即m ≤2时,
329g (x ) max =g (2) =43m ,
294-3m ≤1,
25解得m ≥12,又∵m ≤2,故无解.
2(1-m ) ②当-2>1,即m >2时,
113g (x ) max =g (2) =4m ,
134-m ≤1,
9解得m ≥49又∵m >2,∴m 4.
9综上可知,m 的取值范围是m 4.
13法二:∵x ∈[22],
113∴不等式f (x ) -2mx ≤1恒成立⇔2(1-m ) ≤-(x +x ) 在[22上恒
成立.
15易知[-(x +x min =-2,
5故只需2(1-m ) ≤-2
9解得m ≥4