抽象函数解题方法与技巧

抽象函数解题方法与技巧

所谓抽象函数问题，是指没有具体地给出函数的解析式，只给出它的一些特征或性质。解决这类问题常涉及到函数的概念和函数的各种性质，因而它具有抽象性、综合性和技巧性等特点。抽象函数问题既是教学中的难点，又是近几年来高考的热点。

一、换元法 换元法包括显性换元法和隐性换元法，它是解答抽象函数问题的基本方法. 例1. 已知f(1+sinx)=2+sinx+cos2x , 求f(x)

解：令u=1+sinx，则sinx=u-1 (0≤u ≤2), 则f(u)=-u2+3u+1 (0≤u ≤2) 故f(x)=-x2+3x+1 (0≤x ≤2)

二、方程组法 运用方程组通过消参、消元的途径也可以解决有关抽象函数的问题。

12

例2．设y =f(x)是实数函数(即x , f (x ) 为实数), 且f (x ) -2f () =x , 求证:|f (x ) |≥2.

x 3解:用1代换x , 得f (1) -2f (x ) =1, 联立方程组，得 f(x ) =-x -2

x x x 33x ∴|f (x ) |=

x 3+

222

≥3x 3

三、待定系数法

如果抽象函数的类型是确定的，则可用待定系数法来解答有关抽象函数的问题。

例3．已知f(x)是多项式函数，且f(x+1)+f(x-1)=2x2-4x , 求f(x). 解：由已知得f(x)是二次多项式，设f(x)=ax2+bx+c (a≠0) 代入f(x+1)=a(x+1)2+b(x+1)+c=ax2+(2a+b)x+a+b+c f(x-1)= a(x-1)2+b(x-1)+c=ax2+( b -2a)x+a-b+c ∴f(x+1)+ f(x-1)=2ax2+2bx+2a+2c=2x2-4x 比较系数得：a=1,b= -2,c= -1 , f(x)=x2-2x-1.

四、赋值法

有些抽象函数的性质是用条件恒等式给出的，可通过赋特殊值法使问题得以解决。 例4．对任意实数x,y ，均满足f(x+y2)=f(x)+2[f(y)]2且f(1)≠0, 则f(2001)=_______. 解：令x=y=0，得：f(0)=0, 令x=0, y=1, 得f(0+12)=f(0)+2f[(1)]2,

11

∵f(1)≠0 ∴f(1)令x=n,y=1，得f(n+1)=f(n)+2[f(1)]222

即f(n+1)-f(n)= 1，故f(n)= n ，f(2001)= 2001

2

2

2

例5．已知f(x)是定义在R 上的不恒为零的函数，且对于任意的实数a,b 都满足 f(ab)=af(b)+bf(a). (1)求f(0)，f(1)的值；(2)判断f(x)的奇偶性, 并证明你的结论; (3)若f(2)=2,un =f(2n ) (n ∈N*), 求证：u n+1>un (n ∈N*). 解：(1)令a=b=0, 得f(0)=0, 令a=b=1, 得f(1)=0.

(2)f(x)是奇函数。因为：令a=b=-1, 得f[(-1)(-1)]=-f(-1)-f(-1),f(-1)=0, 故f(-x)=f[(-1)(x)]= -f(x)+xf(-1)= -f(x), 故f(x)为奇函数. (3)先用数学归纳法证明：u n =f(2n )>0 (n ∈N*)(略)

五、转化法 通过变量代换等数学手段将抽象函数具有的性质与函数的单调性等定义式建立联系，为

问题的解决带来极大的方便.

例6．设函数f(x)对任意实数x,y ，都有f(x+y)=f(x)+f(y), 若x>0时f(x)

解：令x=y=0，得f(0)=0, 令y=-x, 得f(-x)+f(x)=f(0)=0, 即f(x)为奇函数.

设x 10, 由已知得f(x2-x 1)

故f(x)在[-3,3]上的最大值为6, 最小值为-6.

例7．定义在R +上的函数f(x)满足： ①对任意实数m ，f(xm )=mf(x)； ②f(2)=1. (1)求证：f(xy)=f(x)+f(y)对任意正数x,y 都成立； (2)证明f(x)是R +上的单调增函数； (3)若f(x)+f(x-3)≤2, 求x 的取值范围。

解：(1)令x=2m ,y=2n , 其中m,n 为实数，则f(xy)=f(2m+n)=(m+n)f(2)=m+n. 又f(x)+f(y)=f(2m )+f(2n )=mf(2)+nf(2)=m+n, 所以f(xy)=f(x)+f(y) （2）证明：设0

故f(x1)

(3)由f(x)+f(x-3)≤2及f(x)的性质，得f[x(x-3)]≤2f(2)=f(4) 解得 3

六、递推法 对于定义在正整数集N*上的抽象函数，用递推法来探究，如果给出的关系式具有递推性，

也常用递推法来求解.

例8．是否存在这样的函数f(x)，使下列三个条件：①f(n)>0,n∈N ；②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n 1,n 2∈N*；③f(2)=4同时成立？若存在，求出函数f(x)的解析式；若不存在，说明理由。

解：假设存在这样的函数f(x)，满足条件，得f(2)=f(1+1)= f(1)· f(1)=4，解得f(1)=2 又f(2)=4=22,f(3)=23, …, 由此猜想：f(x)=2x (x ∈N*) (数学归纳证明 略）

例9．已知f(x)是定义在R 上的函数，f(1)=1，且对任意x ∈R 都有f(x+5)≥f(x)+5，f(x+1)≤f(x)+1。若g(x)=f(x)+1-x, 则g(2002)=_________.

解：由f(x+1)≤f(x)+1得f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4 又∵f(x+5)≥f(x)+5 ∴f(x)+5≤f(x+1)+4 ∴f(x)+1≤f(x+1) 又∵f(x+1)≤f(x)+1 ∴f(x+1)=f(x)+1

又∵f(1)=1 ∴f(x)=x g(x)=f(x)+1-x=1，故g(2002)=1。

七、模型法

模型法是指通过对题目的特征进行观察、分析、类比和联想，寻找具体的函数模型，再由具体函数模型的图象和性质来指导我们解决抽象函数问题的方法。

例10．已知实数集上的函数f(x)恒满足f(2+x)= f(2-x), 方程f(x)=0有5个实根, 则这5个根之和=_____________

分析：因为函数f(x)恒满足f(2+x)= f(2-x), 方程f(x)=0有5个实根，可以将该函数看成是类似于二次函数y=k(x-2)2为模型引出解题思路，即函数的对称轴是x=2，并且函数在f(2)=0，其余的四个实数根关于x=2对称

解：因为实数集上的函数f(x)恒满足f(2+x)= f(2-x), 方程f(x)=0有5个实根，所以函数关于直线x=2对称，所以方程的五个实数根也关于直线x=2对称，其中有一个实数根为2，其它四个实数根位于直线x=2两侧，关于直线x=2对称，则这5个根之和为10。 例11．设定义在R 上的函数f(x)，满足当x>0时，f(x)>1，且对任意x ，y ∈R ，有f(x+y)=f(x)f(y)，f(1)=2 （1）解不等式f(3x-x2)>4；（2）解方程[f(x)]2+

1

f(x+3)=f(2)+1 2

分析：可联想指数函数f(x)=ax 。

解：(1)先证f(x)>0，且单调递增，因为f(x)=f(x+0)=f(x)f(0)，x>0时f(x)>1，所以f(0)=1 对于任意x0，f(x)f(-x)=f(x-x)=f(0)=1，∴f(x)=1

f -x ∵-x>0，f(-x)>1 ∴00 任取x 1,x 2∈R 且x 10，f(x2-x 1)>1,

所以f(x1)-f(x2)=f[(x2-x 1)+x1]-f(x1)=f(x2-x 1)f(x1)-f(x1)=f(x1)[f(x2-x 1)-1]>0 所以x ∈R 时，f(x)为增函数。

不等式f(3x-x2)>4可化为3x-x 2>2 解得：{x|1

(2)f(1)=2，f(2)=4，f(3)=8，原方程可化为：[f(x)]2+4f(x)-5=0，解得f(x)=1或f(x)=-5（舍) 由(1)得x=0。

例12．已知函数f(x)对任何正数x,y 都有f(xy)=f(x)f(y)，且f(x)≠0，当x>1时，f(x)

分析：可联想幂函数 f(x)=xn? 解：对x ∈R +，有

f(x)=f

=f 2

≥0，又f(x)≠0，故f(x)>0

⎛x 2⎫⎛x 2⎫f ⋅x f ⎪ ⎪⋅f (x 1)1x 2+f x x ⎛x ⎫设x 1，x 2∈R ，且x 11，则(2)=⎝1⎭=⎝x 1⎭=f 2⎪

x 1f x 1f x 1f x 1⎝x 1⎭

所以f(x1)>f(x2) ，故f(x)在R +上为减函数。

附：函数的性质

函数的周期性：

1、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=f(x-a)（或f(x-2a)=f(x)）(a >0)恒成立，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数；

2、若y=f(x)的图像关于直线x=a和x=b对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 3、若y=f(x) 的图像关于点(a,0)和(b,0)对称，则函数y=f(x)是周期为2|a-b|的周期函数； 4、若y=f(x) 的图像有一个对称中心A(a,0)和一条对称轴x=b（a ≠b ），则函数y=f(x)是周期为4|a-b|的周期函数；

5、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a-x)，其中a>0，且如果y=f(x)为奇函数，则其周期为4a ；如果y=f(x)为偶函数，则其周期为2a ；

1⎫⎛1⎫，则y=f(x)是周6、定义在x ∈R 上的函数y=f(x)，满足f(x+a)=-f(x)⎛或f x +a =或f x +a =-()() ⎪ ⎪f (x ) ⎭⎝f (x ) ⎭⎝期为2|a|的周期函数； 7、若f (x +a )=

f (x )-1

在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为4a 的周期函数；

f x +1

8、若f (x +a )=

1-f (x )

f x +1

在x ∈R 恒成立，其中a>0，则y=f(x)是周期为2a 的周期函数。

（7、8应掌握具体推导方法，如7） f (x )-1

f (x +2a )=f (x +a )-1f x +1-1

-21函数图像的对称性： f x +a +1=f x -1=2f (x ) =-f f x +1

+1(x )

1、若函数y=f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x =a +b 2

对称；

2、若函数y=f(x)满足f(x)=f(2a-x)或f(x+a)=f(a-x)，则函数y=f(x)的图像关于直线x=a对称；

3、若函数y=f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图像关于点⎛

a +b c ⎫成中心对称图形； ⎝2, 2⎪⎭

4、曲线f(x,y)=0关于点(a,b ) 的对称曲线的方程为f(2a-x,2b-y)=0； 5、形如y =

ax +b

cx +d

(c ≠0, ad ≠bc )的图像是双曲线，由常数分离法 a ⎛ x +d ⎫ad y =⎝c ⎪⎭-c +b ad a -+b

⎛c ⎛ ⎝x +d ⎫=+知：对称中心是点 -d , a ⎫⎪；

c ⎪c ⎭c ⎛ ⎝

x +d ⎫⎝c c ⎭c ⎪⎭6、设函数y=f(x)定义在实数集上，则y=f(x+a)与y=f(b-x)的图像关于直线x =b -a 2对称；

7、若函数y=f(x)有反函数，则y=f(a+x)和y=f -1(x+a)的图像关于直线y=x+a对称。