第一章 勾股定理单元检测题(含答案)

第一章 勾股定理检测题

（本检测题满分：100分，时间：90分钟）

一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 在△

中，

，

，

，则该三角形为（ ）

A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰直角三角形 2. 如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来 的（ ）

A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍 3. 下列说法中正确的是（ ）

A. 已知a , b , c 是三角形的三边，则a +b =c B. 在直角三角形中，两边的平方和等于第三边的平方 C. 在Rt △D. 在Rt △

中，∠中，∠

°，所以a 2+b 2=c 2 °，所以a 2+b 2=c 2

2

2

2

4. 如图，已知正方形的面积为144，正方形的面积为169时，那么正方形的面积为（ ） A.313 B.144 C.169 D.25

C

第4题图

A

B

°，

cm ，

第5题图

5. 如图，在Rt △中，∠ cm ，则其斜边上的高为（ ）

A.6 cm B.8.5 cm C.

6030

cm D. cm 1313

6. 下列满足条件的三角形中，不是直角三角形的是（ ） A. 三内角之比为 C. 三边长之比为7. 如图，在△

，则

中，∠

B. 三边长的平方之比为 D. 三内角之比为

°

，

，

，点

在

上，且

，

的长为（ ）

A.6 B.7 C.8 D.9 A

第7题图

B

C

8. 如图，一圆柱高8 cm，底面半径为短路程是（ ） A.6 cm

6

cm ，一只蚂蚁从点爬到点处吃食，要爬行的最π

D.12 cm

，则这个三

B.8 cm C.10 cm

满足

9. 如果一个三角形的三边长角形一定是（ ） A. 锐角三角形 10. 在△

B. 直角三角形

2

2

2

C. 钝角三角形 D. 等腰三角形

中，三边长满足b -a =c ，则互余的一对角是（ ）

B. ∠与∠

C. ∠与∠

D. ∠、∠、∠

A. ∠与∠

二、填空题（每小题3分，共24分）

11. 已知两条线段的长分别为5 cm、12 cm，当第三条线段长为________时，这三条线段可以构成一个直角三角形. 12. 在△13. 在△

中，

cm

，

cm ，

⊥

于点，则

_______.

中，若三边长分别为9、12、15，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为

__________. 14. 如图，在Rt △交

于点，且

中，

，

，

平分

，的距离

，则点到

是________.

15. 有一组勾股数，知道其中的两个数分别是17和8， 则第三个数是 .

16. 若一个直角三角形的一条直角边长是长短

B

第14题图

，另一条直角边长比斜边

，则该直角三角形的斜边长为 ________.

17. 如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的边长为7 cm，则正方形

的面积之和为___________cm2.

18. 如图，学校有一块长方形花圃，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在花圃内走出了一条“路”，他们仅仅少走了________步路（假设2步为1 m），却踩伤了花草.

三、解答题（共46分） 19. （6分）若△个角是直角. （1）BC =

（2）a =n -1,

2

三边长满足下列条件，判断△是不是直角三角形，若是，请说明哪

3

, 4

AB =

5, 4

AC =1;

b =2n , c =n 2+1(n >1) .

20. （6分）在△中，

，b ，．若∠C =90︒，如图①，根据勾股定

理，则a 2+b 2=c 2. 若△

不是直角三角形，如图②和图③，请你类比勾股定理，试猜

想a 2+b 2与c 2的关系，并证明你的结论．

A

①

B

B

②

C

③

B

第20题图

21. （6分）若三角形的三个内角的比是

，最短边长为1，最长边长为2.

求：（1）这个三角形各内角的度数；（2）另外一条边长的平方.

22. （7分）如图，台风过后，一希望小学的旗杆在离地某处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部8 m处，已知旗杆原长16 m，你能求出旗杆在离底部多少米的位置断裂吗？

23. （7分）观察下表：

请你结合该表格及相关知识，求出

的值.

24. （7分）如图，折叠长方形的一边

cm ，求：（1）

25. （7分）如图，长方体

，使点落在

的长.

边上的点处， cm ，

的长；（2）

中，，，一只蚂蚁从点出

发，沿长方体表面爬到点，求蚂蚁怎样走最短，最短路程是多少？

参考答案

1. B 解析：在△

中，由

，

，

，可推出

. 由勾

股定理的逆定理知此三角形是直角三角形，故选B ． 2.B

解析：设原直角三角形的三边长分别是形的斜边长为选B.

3.C 解析：A. 不确定三角形是不是直角三角形，故A 选项错误；B. 不确定第三边是否为斜边，故B 选项错误；C. ∠C =90°，所以其对边为斜边，故C 选项正确；D. ∠B =90°，所以

，故D 选项错误.

，由于三个正方形的三边组成一个直角三，即

.

cm ，再由三角形的面积公式，有 ，且

，则扩大后的三角

，即斜边长扩大到原来的2倍，故

4.D 解析：设三个正方形的边长依次为角形，所以

，故

5.C 解析：由勾股定理可知

12

，得

AC ⋅BC 60

=. AB 13

6. D 解析：在A 选项中，求出三角形的三个内角分别是30°，60°，90°；在B ，C 选项中，都符合勾股定理的条件，所以A ，B ，C 选项中都是直角三角形. 在D 选项中，求出三角形的三个角分别是7.C 解析：因为Rt △

，

中，

，所以

的中点，则

就是蚂蚁

所以不是直角三角形，故选D ．

，所以由勾股定理得

.

因为.

8.C 解析：如图为圆柱的侧面展开图，∵

为

爬行的最短路径. ∵

，∴

．

∵

cm ．

，∴

，即蚂蚁要爬行的最短路程是10

9.B 解析：由

，整理，得

，即

，所以

所以这个三角形一定是直角三角形. 10.B

解析：由

，得

，所以△

是直角三角形，且是斜边，

，符合

，

所以∠B =90°，从而互余的一对角是∠与∠. 11.

cm 或13 cm 解析：根据勾股定理，当12

为直角边长时，第三条线段长为

；当12为斜边长时，第三条线段长为

．

12.15 cm 解析：如图，∵ 等腰三角形底边上的高、中线以及顶角的平分线三线合一，

∴

. ∵，∴

.

∵

，

∴

（cm ）．

13.108 解析：因为，所以△是直角三角形，且两条直角边长分别为

.

9、12，则以两个这样的三角形拼成的长方形的面积为14. 3 解析：如图，过点作因为

，

，

于，所以.

因为

平分

，

，所以点到

的距离.

B ．

E

第14 题答图

15.15 解析：设第三个数是，①若

为最长边，则

，不是整数，不符合题意；② 若17

为最长边，则，三边是整数，能构成勾股数，符合题意，故答案为：15．

16. 解析：设直角三角形的斜边长是

，解得

，则另一条直角边长是，则斜边长是

．

．根据

勾股定理，得

17.49 解析：正方形A ，B ，C ，D 的面积之和是最大的正方形的面积，即

49 18.4 解析：在Rt △ABC 中

，

（步）．

19. 解：（1）因为

，

是直角三角形，其中∠为直角.

，所以

，

则

．

，少走

了

根据三边长满足的条件，可以判断△（2）因为

，

根据三边长满足的条件，可以判断△20. 解：如图①，若△过点作

是直角三角形，其中∠为直角.

2

2

2

是锐角三角形，则有a +b >c . 证明如下：

为x ，则有

，垂足为，设

a -x . 在Rt △ACD 中，

222222

根据勾股定理，得AC -CD =AD ，即b -x = AD . 在Rt △ABD 中，根据勾股定理，2222222

得AD =AB -BD ，即AD = c - (a -x ) ，即b 2-x 2=c 2-a 2+，2a x -x

∴a 2+b 2=c 2+2ax . ∵a >0, x >0，∴

如图②，若△过点

作

是钝角三角形，∠C 为钝角，则有a 2+b 2

的延长线于点.

2ax >0，∴ a 2+b 2>c 2.

设

为x ，在Rt △BCD 中，根据勾股定理，得BD 2=a 2-x 2，在Rt △ABD 中，根据勾

222

股定理，得AD + BD= AB，即(b +x ) 2+a 2-x 2=c 2．

即a 2+b 2+2bx =c 2.

222

∵b >0, x >0，∴2bx >0，∴a +b

21. 解：（1）因为三个内角的比是所以设三个内角的度数分别为由

，得

，

， .

所以三个内角的度数分别为.

（2）由（1）知三角形为直角三角形，则一条直角边长为1，斜边长为2. 设另外一条直角边长为，则所以另外一条边长的平方为3.

，即

.

22. 分析：旗杆折断的部分，未折断的部分和旗杆顶部离旗杆底部的部分构成了直角三角形，运用勾股定理可将折断的位置求出．

解：设旗杆未折断部分的长为 m ，则折断部分的长为根据勾股定理, 得解得：

，

m ，

m ，即旗杆在离底部6 m处断裂．

；根据此规律可求出； ； .

，

，

，即

.

，所以

，则在Rt △

中，可求得

，

的值．

23. 分析：根据已知条件可找出规律解：由3，4，5：

5，12，13：

7，24，25：

故解得

24. 分析：（1）由于△的长，从而

翻折得到△

的长可求；

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（2）由于即可． ，可设的长为，在Rt △中，利用勾股定理求解直角三角形

解：（1）由题意, 得

在Rt △

∴

（2）由题意, 得在Rt △

解得，设中，∵

，∴

(cm)， (cm)， （cm ）． 的长为，则， . 中，由勾股定理, 得，即的长为5 cm．

25. 分析：要求蚂蚁爬行的最短路程，需将长方体的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果．

解：如图（1），把长方体剪开，则成长方形连接，则，宽为，长为， 构成直角三角形，由勾股定理, 得

.

如图（2），把长方体剪开，则成长方形连接，则，宽为，长为. ， 构成直角三角形，同理，由勾股定理, 得

到达点路程最短, 最短路程是5． ∴ 蚂蚁从点出发穿过

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