1.2 变量可分离方程.
教案
教研室：
课程名称
授课内容
教学目的
教学重点
教学难点
教具和媒体使用
教学方法教师姓名：常微分方程授课时间:授课专业和班级授课学时2学时1．2变量可分离方程掌握变量可分离方程的解法，理解分离变量的解题原理变量可分离方程的解法分离变量法的解题原理板书讲授法
包括复习旧课、引入新课、重难点讲授、作业和习题布置、时间分配问题讨论、归纳总结及课后辅导等内容(90分钟)
一、复习旧课
二、引入新课
三、重难点讲授
教
学
过
程1.2变量可分离方程（一）、变量可分离方程的解法（二）、分离变量法的解题原理四、作业和习题布置
五、归纳总结
板
书
设
计
讲授新
拓展内容
课后总结一、变量可分离方程的解法二、变量可分离法的解题原理1、定义2、变量可分离方程的解题步骤
教研室主任签字年月日
讲
一、复习旧课容备注授内
1、微分方程
2、常微分方程按阶分类
3、通解与特解
4、初值问题
二、引入新课
初等积分法是用积分法求方程的解，而可以用积分求解的方程称为可积类型，初等积分法大致产生在微分方程的初期阶段，从1676年到18世纪末期，在这段期间以牛顿，莱布尼兹为代表的数学家，就形成常微分方程中第一部分初等积分法，我们先学习它的第一种类型分离变量法，分离变量法是常微分方程初等积分法的一种基本方法。
三、重难点讲授
1．2变量可分离方程
（一）、变量可分离方程的解法
1、定义：形如d y (2.2)=f (x ) g (y ) （2.1）或M 1(x ) N 1(x ) dx =M 2(y ) N 2(y ) dy d 的微分方程，称为可分离变量的方程.
(2.1)方程的特点是等式右边可以分解成两个函数之积，其中一个仅是x 的函数，另一个仅是y 的函数，即f (x ), g (y ) 分别是变量x , y 的已知连续函数.(2.2)方程的特点与（2.1）一样，只不过写成了微分形式。例：
程
dy dy =x +y , =sin x +y 都不是变量可分离方程2、变量可分离方程的解题步骤d y （1）一阶显式变量可分离方程=f (x ) g (y ) (2.1)的解题步骤dy dy -2xy =0；=sin xdx ；(y -1) dx -(xy -y ) dy =0都是变量可分离方dx y
A、当g (y ) ≠0时，分离变量，把（2.1）化为dy =f (x ) dx ()
B 、上式两端取不定积分，有⎰
通解或通积分。dy ＝⎰f (x ) dx +c (2.3),由此式求出原方程的()
C 、再由g (y ) =0，解出原方程的常数解。
例1：求微分方程dy —y sin x =0的通解。dy =sin xdx dy =解将方程分离变量，得到两边积分，即得⎰⎰sin xdx
ln y =cos x +c 1或y =e cos x +c 1所以y =±e c 1e cos x
即y =ce cos x (令c=±e c 1)
y =ce cos x 因而方程的通解为（c 为任意常数）
注：在解这个微分方程的时候没有说明y ≠0, 还是y =0，通常情况下我们不加讨论，都看作在有意义的情况下求解；其实本题中y =0也是方程的解。以后遇到类似的情况可作同样的处理。
dy 例2：-2xy =0解： dy =2xdx 两边积分⎰1dy =⎰2xdx 得ln |y |=x 2+c 1
故ln |y |=±e . e
∴c 1x 2∴|y |=e x 2+c 1e x 2x 2=ce x 2(c =±e c 1) 方程通解y =ce ，其中c 为任意常数(c =0时,y=0是特解)
（2）微分形式变量可分离方程M 1(x ) N 1(x ) dx =M 2(y ) N 2(y ) dy 解题步骤
A、当N 1(y ) M 2(x ) ≠0时，分离变量，得N 2(y ) M (x ) dy =1dx 12B、上式两端取不定积分⎰
分N 2(y ) M (x ) dy =⎰1dx +c ，由上式求出通解或通积12
C、由N 1(y ) =0和M 2(x ) =0求出常数解。
注：显式方程已经确定了未知函数就是y =y (x ) ，而微分形式写的微商形式是分开写的，以谁作自变量是任意的，也就是说x 和y 的地位是平等的。
例3：求微分方程(y -1) dx -(xy -y ) dy =0的通解。
解将方程分离变量为
(x -1) ydy =(y -1) dx
y 1dx dy =x -1
两边积分得⎰y 1=⎰y -1x -1
y +ln y =ln x +c (C为任意常数)
x =1=例4：求2x sin ydx +(x 2+1) cos ydy =0满足y
解：原式为cos y 2x dy =-dx +c
+即y =arcsin
∴y =arcsin c +1
1+x π的解∴sin y =又y x =1=π得c =16
（二）、分离变量法的解题原理
命题：当g (y ) ≠0时，微分方程dy d y =f (x ) g (y ) （2.1）与隐函数方程⎰() ＝⎰f (x ) dx +c (2.3)是同解方程。
证明思路：要证同解，先设y=y(x)是方程d y =f (x ) g (y ) 且满足y(x0)=y0,其中x 0属于(a,b)，y0属于（α, β）,证明下面的初值问题
⎧d y y dy x ⎪=f (x ) g (y ) 11+(2.3)f (x ) dx c （2.1）与隐函数＝d ⎨⎰y 0⎰x 0⎪⎩y (x 0) =y 0
证明：（2.1）1的解是(2.3)1的解
由于y=y(x)是（2.1）的解，有1d y (x ) =f (x ) g (y (x )), x ∈(a , b ) ，又g (y ) ≠0d
x dy (x ) x dy (x ) 分离变量，有=f (x ) dx 两端从X 0到X 积分得⎰=⎰f (x ) dx x 0x 0x dy =⎰f (x ) dx ，这表明y(x)x 0（2.4）由于y(x0)=y0，从而上式可写成⎰
是方程⎰y (x ) x dy =⎰f (x ) dx (2.3)1的解。x 0() y (x ) y 0y 0
（2.3）1的解是(2.1)1的解
若y=y(x)是（2.3）1的解，且y(x0)=y0则有⎰
两端对x 求导，得y (x ) y 0x dy =⎰f (x ) dx 成立，上式x 0d y (x ) 1dy (x ) =f (x ) g (y (x )), x ∈(a , b ) 恒成=f (x ) 即1立，上式表明，当g (y ) ≠0时，（2.3）的解是(2.1)1的解。命题得证。
四、作业与习题布置
第18页2：（2），（4）；3
五、归纳总结
1、变量可分离方程的解法
2、变量可分离方程的解题的原理
参考书：
[1]常微分方程,东北师大数学系编，高教出版社
[2]常微分方程，伍卓群，李勇，高等教育出版社，2004。
[3]常微分方程，王高雄，高等教育出版社，1984。