游戏中的条件概率

The conditional probability of the game

Abstract: The conditional probability is a very important probabilistic type in Probability Theory. In real life there are many specific applications of conditional probability. In the article ，specifically discussed the conditional probability of a game application, and this game made the situation extended analysis. Keyword: Conditional probability, Game selection

游戏中的条件概率

摘要：条件概率是概率论中很重要的一种概率类型。在现实生活也有很多应用。文中具体讨论了条件概率在游戏中的应用，并且对游戏的情况进行了扩张分析。

关键词：条件概率，游戏中的选择

概率的问题贯穿生活的各个方面，每一个地方都会用到概率。有可能一个小小的改变就会有一个相差很远的结果，正所谓“失之毫厘谬以千里”。2003年5

月26日，俄罗斯的联盟号宇宙飞船返回地球时，与预计的降落地点相差了460公里，究其原因是因为一个陀螺仪的开关未正常开启。就因为一个小小的改变，就使飞船降落到预定地点的可能性几乎降到了

0，并且出现了很大的误差。

所以在概率问题中，条件的限定是非常重要的。条件概率也是来概率论中非常重要的一部分。这里有一个很有趣的游戏，让我们来分析一下其中的概率问题。

有一个游戏节目。现给三扇门供你选择：其中一扇门后面是一个大奖，另两扇门后面什么都没有。你的目的当然是拿大奖，但是你显然不知道哪个门后面有大奖。主持人（他知道哪个门后面有奖品）先让你做第一次选择。在你选择了一扇门后，主持人并没有立刻打开这扇门，而是打开了另外一扇没有奖的门给你看。现在，主持人告诉你，你有一次重新选择的机会。那么，请你思考一下，你是坚持第一次的选择不变，还是改变第一次的选择？哪种做法更有可能中大奖？

这个问题貌似很简单：主持人排除一扇没奖的门之前做选择是三选一，得奖的概率是1/3，而排除之后是二选一，得奖的概率是1/2，显然1/2 > 1/3。但其实这个算法是不完全正确的。坚持第一次的选择不变，获奖的概率的确是1/3；但是改变第一次的选择，获奖的概率不是1/2，而是2/3！

同学不妨先看看穷举法得到的结果：

A B C

Y N N

1 2 X

2 1 X

2 X 1

注释：A,B,C 代表三扇不同的门；Y 表示此门有大奖，N 表示此门没有奖；1表示第一次的选择，2表示第二次的选择；X 表示这扇门被主持人排除的门。

若是坚持第一次的选择不变，那么就只看带有1的部分：在三个1里面，跟Y 一列的（即中奖的）只有一个，因此获奖概率是1/3。若是改变第一次的选择，那么就只看带有2的部分：在三个2里面，跟Y 一列的有两个，因此获奖的概率是2/3，而不是1/2。这个穷举法有个条件：里面的1不能出现在相同的行（这种情况违反逻辑），也最好不要出现在相同的列，这样才能保证每一个1的概率都相等。

实际上，这是一个“条件概率”的计算。你先任意选择一扇门，每扇门被选中的概率都是1/3，然后基于你的选择这个前提条件，主持人再选择一扇门。倘若你第一次选了一扇没有奖的门，那么，主持人选择一扇没有奖的门的条件概率是1，联合概率是1/3；倘若你第一次选了一扇有奖的门，那么主持人选择一扇没有奖的门的条件概率是1/2，联合概率是1/3*1/2=1/6。所以，不换的中奖概率是1/6+1/6=1/3，换的中奖概率是1/3+1/3=2/3 。

为什么会是这样？因为除了主持人排除了一扇门这个明显的限制条件之外，还有一个隐含的限制条件：改变第一次的选择。就是说，只要你改变第一次的选择，那么你就不是在剩下的“两”扇门中间做选择，你只有唯一的一扇门可选了。这个时候，你更像是跟之前的自己作对：如果之前你的选择有1/3的概率中奖，那么此时改变选择之后，你就有1/3的概率与大奖擦肩而过；如果之前你的选择

有2/3的概率落空，那么此时改变选择之后，你就有2/3的概率把大奖抱回家。所以这不仅仅是数学的较量，还是心理的较量。

现在我们把情况扩大到四扇门

A B C D

Y N N N

1 2 X 2

2 1 X 2

2 X 1 2

2 2 X 1

用上述的方法可知，坚持第一次选择不变的获奖概率是1/4，而改变第一次的选择的获奖概率是3/8，不是1/3=3/9。很明显，主持人排除一扇门，并且你改变先前的选择之后，你只有(4-1-1)扇可以真正自由选择的门（而不是3扇），它们的概率相等，都是1/(4-1-1)=1/2。若想获奖，则你的第一次选择必须是错误的、没奖的，这个概率为(1-1/4)=3/4。因此，改变第一次的选择并且获奖的概率是(3/4)*(1/2)=3/8。若继续往下推算，五扇门的情况是：不改变选择的获奖概率是1/5，改变的获奖概率是(1-1/5)*{1/(5-1-1)}=4/15，而不是1/4=4/16。

当我们把情况扩展到N 个门时。用数学归纳法可证得，N 扇门的情况是，坚持不变的中奖概率是1/N，改变的中奖概率是(1-1/N)*{1/(N-1-1)}=(N-1)/{N*(N-2)}。其中，N 是大于等于3的正整数。这里另外的一种归纳是：(N-1)/{(N-1)^2-1)}=(N-1)/{N*(N-2)}。显然，(N-1)/(N-2)>1，所以改变第一次的选择而中奖的概率大于坚持第一次选择的中奖概率。因此，以后你参加这种游戏时，原则就是一定要换！

把上面的问题再推广一点，我们可以得到一个更平凡的结论：给你N 扇门，其中m 个是有奖的，其余没奖，你先选一扇，然后主持人打开另外L 扇没有奖的给你看，再让你重新选一扇门。此时，坚持不换门而获奖的概率是m/N；换另外一扇门而获奖的概率是{m*(N-m)}/{N*(N-L-1)}。其中，N,m,L 均为正整数，且N>2,(m+L)

这种情况下，究竟怎样才能获奖就要看(L+1)和m 谁大了。当L+1比m 大时，改变先前选择而获奖的概率更大；反之，当L+1比m 小时，坚持原来的选择中奖概率更高；若L+1=m，则换不换无所谓，概率是相等的。

从这个游戏中我们可以看到生活中的各个方面都有概率问题。一个有趣的例子可以让我们对条件概率有个更直观的认识。