IIR带阻滤波器设计
××××学院课程设计报告
课程名称: 学 院: 专业班级: 姓 名: 学 号: 指导教师: 完成时间: 报告成绩:
IIR带阻滤波器设计
1. 设计要求:
用模拟底通滤波器变换成数字带阻滤波器,采用双线性变换法来设计IIR带阻滤波器。-3dB衰减处的边带频率分别为f 1=20kHz,f 2=40kHz,其-15B衰减处的频率分别为f s1=28kHz,f s2=35kHz,采样频率f s=100kHz。
2. 设计原理:
(1).步骤:将给出的带阻数字滤波器的性能指标,按双线性变换规则转换成巴特沃斯模拟带阻滤波器的性能指标。
将得到的带阻滤波器的性能指标变换成模拟底通滤波器的性能指标。这是因为只有模拟底通滤波器才有图形的表格可资利用。
用所得到的底通滤波器的性能指标,利用某种模拟滤波器逼近的方法,设计并查表求得巴特沃斯模拟底通滤波器的系统函数,以它作为数字滤波器的“样本”。
用双线性变换法将此作为样本的模拟巴特沃斯底通滤波器的系统函数最终变换成数字带阻滤波器的系统函数H(z)。
(2)双线性变换法的原理:
双线性变换法是使数字滤波器的频率响应与模拟滤波器的频率响应相似的一种变换方法。为了克服多值映射的缺点,需要先把整个s平面压缩变换到某一中介的 s 1 平面的一条横带里(宽度为
2πT
,即从-
π
T
到
π
T
)再通过标准变换关系z=e s1t将此横带变换到整个z
平面上去,这样就使s 平面与z平面是一一对应的关系,消除了多值变换性,也就消除了频谱混叠现象,如下图:
e
圆
jΩ1T
双线性变换法的映射关系图
将s平面整个jΩ轴压缩变换到s1平面jΩ1轴上的- Ω=tan这样Ω=±∞变到Ω1=±
π
T
π
T
到
π
T
一段,可以采用以下变换关系:
Ω1T2
)
,Ω=0变到Ω1=0,可将上式写成:
ee
jΩ1T2jΩ1T2
jΩ=
-e
-j
Ω1T2Ω1T2
+e
-j
解析延拓到整个s 平面和s1平面,令jΩ=s,jΩ1=s1,则得
s1t
s=
ee
2s1t2
-e+e
-j
s1t2s1t2
=th(
s1T2
)=
1-e1+e
-s1T-s1T
-j
再将s1平面通过以下标准变换关系映射到z平面: z=esT
1
从面可得:
s=
1-z1+z
-1-1
所以有: z=
1+s1-s
为了使模拟滤波器的某一频率与数字滤波器的任一频率有对应的关系,可心引入待定常数c,故有:
Ω=c tan(
s1T2
Ω1T2
)=c
)
1-e1+e
-s1t-s1t
∴ s =c th(
将z=esT代入上式得:
1
s=c所以有: z=
1-z1+z
-1-1
c+sc-s
上面两式是s 平面与z平面之间的单值映射的关系,这种变换称之为双线性变换。
不同的方法选择c可使模拟滤波器频率特性与数字滤波器频率特性在不同频率处有对应的关系,也就是可以调节频带的对应关系 。常数c的选择有以下两种方法:
①采用使模拟滤波器与数字滤波器在低频处有较确切的对应关系,即在低频处有
Ω≈Ω1
当Ω1较小时有:
tan(
Ω1T2
)≈
Ω1T2
故面得到: Ω≈Ω1≈c ∴可得:c=
2T
Ω1T2
此时,模拟原型滤波器的低频特性近似等于数字滤波器的低频特性。
②采用数字滤波器的某一特定频率与模拟原型滤波器的一个特定频率Ωc严格相对应,即 : Ωc=ctanΩ1cT2
)=ctanc)
2
ω
则有 : c=Ωccoωc
2
这一方法的主要优点是在特定的模拟频率和特定的数字频率处,频率响应是严格相等的,因而可以较准确的控制截止频率的位置。
由于s到z之间的变换是简单的代数关系,故用代数转换得到数字滤波器的系统函数 即
H(z)=Ha(s)
-1-1
s=
1-z1+z
⎛1-z-1
=Ha c1+z-1
⎝
⎫⎪ ⎪⎭
也可以先将模拟系统函数分解成并联的子系统函数或级联的子系统函数,使每个子系统函数都变成低阶的,然后再对每个子系统函数分别采用双线性变换。也就是说,分解为低阶的办法是在模拟系统函数上进行的,面模拟系统的分解已有大量的图表可以利用,分
解起来比较方便。
(3)模拟低通滤波器变成数字滤波器
①由模拟低通到模拟带阻的变换 这一低通到带阻的变换关系为 s=
Ω0Pp+Ω
2
202
其中s 为模拟低通原型拉普拉斯变量(s=σ+jΩ),p为模拟带阻的拉普拉斯变量(p=+jΩ),Ω0是模拟带阻滤波器的几何中心频率。令p=jΩ代入上式,可得
s=
Ω0ΩΩ0-Ω
2
2
2
故p平面的虚軕与s平面的虚轴相对应,代入s=jΩ,可得 Ω=
Ω0ΩΩ-Ω
2
2
2
如下图所示,可得出对应频率的关系:
Ω=0 →Ω=0,Ω=∞ Ω=Ωc →Ω=Ω1 Ω=±∞→Ω=Ω0 Ω=-Ωc→Ω=Ω2
Ω
+Ω-Ω
其中Ωc为低通滤波器的通带截止频率,故低通的阻带映射到带阻的阻带,如下图:
模拟低通幅度响应
模拟带阻幅度响应
1
02
数学带阻幅度响应
102
所以可得到 :
Ωc=
Ω0Ω1Ω
202
-Ω
2
21
-Ωc=化简可得以下两个关系式: Ω0=
Ω0Ω2Ω0-Ω2
2
2
Ω1Ω2
Ω1Ω2Ωc
B=Ω2-Ω1=
其中Ω2、Ω1分别为带阻滤波器上、下通带的截止频率,B为带阻滤波器的阻带带宽。B与低通原型的带宽Ωc成反比。
因此,由模拟低通滤波器确定模拟带阻滤波器的方法有以下两种:
1 定出低级通系统函数HLP(s),而低通的截止频率Ωc与带阻滤波器阻带带宽B
成反
比;
2 HBR(p)=HLP(s)
2
s=
Ω0p
(p+Ω0)
2
2
② 由模拟带阻到数字带阻的变换 仍利用双线性变换 p=c
③ 由此可得到直接从模拟低通原型滤波器的s 平面变换成数字带阻滤波器的z平面的表达式
2
1-z1+z
-1-1
s=
Ω0pp+Ω
2
20
=
1+z-1
21-z2c+Ω0
-1
1+z
Ωc
20
1-z
-1-1
经推导后得
s=
2
2
cΩ0(1-z
2
2-2
)
220
(c+Ω0)[1-2
c-Ω0c+Ω
2
z
-1
+z
-2
]
利用双线性变换的频率间关系 Ω=cta
2
ω
ω是数字带阻滤波器的数字频率。
由此可得 tan2
ω0
2
=taω1
2
taω2
2
ω1
ω22
ta
ω22
-taω12
tan=c
2
ω02=c
taΩc
2Ωc
ta设数字带阻滤波器的阻带中心频率ω0,则有 Ω0=cta因而
ω0
2
c=Ω0co令
D1=
ω0
2
cΩ0
2
220
c+Ω
所以 D1=Ωctan2又令
E1=2所以可心导出
c-Ω0c+Ω
22
220
ω-ω1
2
)
2cos1
ω+ω2
ω0= E1=2cos
2
ω1-ω2
cos)
2
)
所以可得:
s=
D1(1-z1-E1z
-1
-2
)
-2
+z
因此,从模拟低通系统函数HLP(s),经过上式进一步变换,就可变成数字带阻系统函数:
HBR(p)=HLP(s)
s=
D1(1-z1-E1z
-1
-2
)
-2
+z
数字带阻滤波器的极点数等于模拟低通滤波器极点数的两倍。
令s=jΩ,z=ejω。可得 Ω=D1
所以有 Ω=0→ω=0,ω=π Ω=±∞→ω=ω0
sinωcosω-cosω0
其意思是:低通滤波器的通带(Ω=0附近)映射到带阻滤波器的阻带范围之外(ω=0附近及ω=π附近),低通滤波器的阻带(ω=±∞附近)映射到带阻滤波器的阻带上(ω=ω0附近)。
(4)具体实现过程 ①对应的各数字的频率 ω1=2π
f1fsf2fsfs1fsfs2fs=
⨯2π=0.4π
10020
ω2=2π
=0.8π
ωs1=2π
=0.56π
ωs2=2π
=0.7π
② 求D1,E1。采用归一化原型Ωc=80000π的低通滤波器作为变换原型,则低通到带阻的变换中所需常数D1,E1分别为 D1=Ωctan2
ω-ω1
2
)=8000π0⨯tan0.2π=5812π0
2cos2
ω+ω1
ω0= E1=2cos
2cos0.6π2= ω2-ω1cos0.4πcos)
2
)
③ 求Ωst。它是满足数字带阻滤波器要求的归一化原型模拟低通滤波器的阻带起始频率,所以有: Ωst=D1
1
sinωst1
cosωst1-cosω0
=
sin(0.56π)⨯0.5230π8
0.309-0.1874
≈46950π0
Ωst=D1
2
sinωst2
cosωst2-cosω0
=
sin0(.7π)⨯0.5230π8
0.309-0.5878
≈-16800π0
应该取Ωst=min(Ωst,Ωst),这是因为在较小的频率处如果满足衰减要求,则在较大的
1
2
频率处一定满足衰减要求。所以Ωst=168000π。
④ 求N。N是归一化原型模拟低通滤波器的阶数。 将Ω=Ωst代入巴特沃思低通滤波器频率响应的公式Hs(s)=
Ωc
N
N
可求得。
k
∏(s-s
k=1
)
按程序运行结果得N=3。
⑤求HLP(s),根据求得的N,查表可求得HLP(s)。
HLP(s)=
1
(s+1.0000000)(s+0.5000000+j0.8660254)(s+0.500000-0j0.866025)4
⑥求数字带阻滤波器的系统函数HBR(z),
HBR(z)=HLP(s)
s=
D1(1-z1-E1z
-1
-2
)
-2
+z
N
∑A
也可按程序求出Ai,Bi.再用分式H(z)=
i=0
N
i
z
-1
,所以有
zi
-1
1+
∑B
i=1
H(z)=
0.5020-0.3542z1-0.5491z
-1
-1
+1.5893z
-2
-2
-0.7149z
-3
-3
+1.5893z
-4
-4
-0.3542z
-5
-5
+0.5020z
-6
-6
+1.7724z-0.6567z+1.1587z-0.2175z+0.2515z
。
3. 源程序清单:
Wp=80000*pi; Ws=168000*pi; Ap=-3; As=-15;
w1=40000*pi;
w2=80000*pi;
Fs=100000;
[N,wn]=buttord(Wp,Ws,Ap,As, 's'); %计算巴特沃斯滤波器的阶次N和截止频率wn
[b,a]=butter(N,1,'s'); %频率变换法设计巴特沃斯滤波器
[bt,at]=lp2bs(b,a,sqrt(w1*w2),w2-w1);%变换成模拟带阻
freqs(bt,at);
[bz,az]=bilinear(bt,at,Fs); %
figure,freqz(bz,az);
4.设计结果和仿真波形
N = 3
wn =
2.9839e+005
bz =
0.5020 -0.3542 1.5893 -0.7149
az =
1.0000 -0.5491 1.7724 -0.6567
波形如下:
采用双线性变换法变成数字带阻 1.5893 -0.3542 0.5020 1.1587 -0.2175 0.2515 11
5. 收获和体会
通过设计IIR带阻滤波器,我了解了怎么用低通滤波器经过双线性变换最终变成带阻滤
12
波器的原理和方法。
6.. 参考文献
[1]《MATLAB 7 辅助信号处理技术与应用》 電子工業出版社
[2]《数字信号处理——原理与实现》 上海交通大学出版社
[3]《数字信号处理教程》(第三版) 清华大学出版社
注:原装正版,有不懂的可以一起交流。
13