第3章 二维随机变量
加以描述. 例如, 一地区的儿童进行抽样调查, 以上各例中相应的两个变量都是定义在同一样本空间上的随机变量.
有序二元总体( X(ω) , Y(ω) )为一个二维随机变量的一对随机变量.
从几何上看, 直线上的“随机点”平面上的“随机点”随机变量标.
变量X 和Y 的联合分布函数.
注) P (X ≤x , Y ≤y )D =(−∞, x ]×(几何解释
F (−∞, −∞) =lim F (x , y ) =x , y →−∞F (+∞, +∞) =lim F (x , y ) =(ii)F (x , y ) 若x 1
X Y 关于X 和Y 的边缘分布函数.
F X (x ) =P (X =lim F (x , y ) .
y →+∞
P (X ≤x , Y ≤y ) =P (X ≤x ) ⋅P (Y ≤y ) 即 F (x , y ) =F X (x ) ⋅F Y (y ) ,
(变量X 和Y 如上例
P (X =x i , Y =y j ) =p ij , 称之为二维离散型随机变量(X 分布律.
记号(X =(Y =y j ) 即(X =x i , Y =
例设袋中有a+b个球, 其中a 任取一球, 球同色的球c 只, ⎧1, X =⎨
⎩0, ⎧1, Y =⎨
⎩0,
. j j 分别称为(X , Y ) 关于X 和Y 设(X , Y ) p ij =P (
p i . ∞=∑p ij j =1
(ii)(X , Y ) 关于Y 的边缘分布律p . j =P (Y =y j ∞
=∑P (X =∑p i j i =1
i =1
∞∞
注)
Y =⎨
⎩0, 与边缘分布.
相同,
故由联合分布可以确定边缘分布, 而只给边缘分布一般不能确定联合分布. 等价于:对(X , Y ) P (X =x i , Y =y j ) =P (X =x i ) P (Y =y j ) 即 p ij =p i . ⋅p . j (
x
y
F (x , y ) =P (X ≤x , Y ≤y ) =
−∞−∞
∫∫p (u , v ) dudv ,
则称(X , Y ) 几何解释
联合密度函数1. p (x , y ) ≥0;
解(i)令D 1={(x , y ) |0
(ii)令D 2=P (X +Y ≤=∫∫p (x , y ) D 2
∵F X (x ) =F (x , +∞) =∫dx ∫
−∞
x x
+∞
x x x
(∫
+∞
−∞
p (x , y ) dy )
∫
+∞
−∞
p (x , y )d y .
∫
+∞
−∞
p (x , y ) d x .
P70例2
X ~N (μ1, σ), Y ~N (μ2, σ).
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, 并且不依赖于参数ρ.
也就是说, 样的. 此例再次表明由边缘分布一般不能确定联合分布.