信息迁移题求解的八种策略-数学-学科复习-高考复习-腾龙远程教育网

信息迁移题求解的八种策略

所谓“信息迁移题”是指：设计一个陌生的数学情景(即：定义一个概念，约定一种运算，提供一串数据等)在阅读理解的基础上运用所学的数学知识和方法进行求解的一类问题。这是因为它不仅具有知识性、心理性测试的功能，还具有背景公平、有利于竞争的特点。

1、紧扣定义

由定义导致了“陌生情景”，显然定义是关键。解题时紧扣定义，深入分析定义的特点、认真领会定义的实质，尤其是定义中隐含的或特殊情形。通过对定义的仔细推敲和概念的全面认识使问题获解。

例1、有序数对的运算(*)定义为：(a,b)*(c,d)=(ac+bd,ad+bc)如果对所有的(a,b)均有(a,b)*(x,y)=(a,b)那么(x,y)等于(　　)

A、(0, 0) 　　 　　B、(1, 0) 　　 　　C、(0, 1) 　　 　　D、(1, 1)

分析：本题提供的信息为(a,b)*(c,d)=(ac+bd, ad+bc)，据此(a,b)*(x,y)=(ax+by, ay+bx)结合条件有

　　易知答案为(B)。

例2、如果甲的身高或体重至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙。在100个小伙子中，如果某人不亚于其他99人，就称他是棒小伙子。那么100个小伙子中的棒小伙子最多可能有(　　)

A、1个　　　　　　 B、2个　　　　　　C、50个　　　　　　 D、100个

分析：本题提供的信息有“甲不亚于乙”“棒小伙子”，当真正认清了定义之后，再结合“求最多可能”会想到一种特殊情况，即从100个小伙子中任选两名A与B，A身高大于B、而B体重大于A，便有“A不亚于B”同时“B不亚于A”。因此，答案为(D)。

例3、已知函数f(x)=

　　，如果f[f(x)]=1，则自变量x的范围为　　　　。

分析：本题的新信息为：f[f(x)]=1。

①若x∈[0，1]，则f(x)=1，此时f[f(x)]=f(1)=1恒成立。

②若x

　　[0，1]，则f(x)=x-3，此时f[f(x)]=f(x-3)：

当0≤x-3≤1，即3≤x≤4时，f(x-3)=1，即f[f(x)]=1；

当x-3

　　[0，1]时，f(x-3)=(x-3)-3，由f[f(x)]=1得：x=7。

因此，x的范围为：{x:0≤x≤1}∪{x:3≤x≤4}∪{7}。

2、分层递进

如果遇到的问题较为复杂时，不要幻想一下子把问题解决，要善于将问题按层次进行分散，当各层次问题得到解决之后，问题自然也就解决了。

例4、某客运公司买了每辆价值为2a元的大客车投入运营，据调查材料得知：每辆大客车每年客运收入约为a元，且每辆客车第n年的油料费、维修费及其它各种管理费用总和P(n)与年数n成正比，又知第3年每辆客车以上费用是该年客运收入的48%。

(1)写出每辆客车运营的总利润(客运收入扣除总费用及成本)y(元)与n的函数关系式。

(2)每辆客车运营多少年可使其运营的年平均利润最大？

分析：(1)首先求出n年的总收入na；其次要求出第n年的费用P(n)，由P(n)=kn及P(3)=

　　得：k=

　　a，∴P(n)=

　　n；再求n年的总费用：P(1)+P(2)+……+P(n)=

　　(1+2+……+n)=

　　n(n+1)，因此：y=na-

　　n(n+1)-2a(n∈N)。

(2)由

　　-2a(

　　)≤

　　-2a·2

　　当且仅当

　　即n=5时等号成立，故每辆客车运营5年可使年平均利润最大。

3、重点突破

信息迁移题的一大特点是：信息量大，除了一些约定的新概念外，还有一些供求解用的数据，面对这些信息要善于抓主要矛盾，找准重点，实施重点突破。

例5、某市用水收费的方法是：水费=基本费+超额费+损耗费。

若每月用水量不超过最高限量am3时，只付基本费8元和每户每月的额定损耗c元；若用水量超过am3时，除了付同上的基本费和损耗费外，超过部分每m3付b元的超额费，已知每户每月的定额损耗不超过5元。

该市一家庭今年第一季度的用水量和支付的费用如下表所示。

月份

用水量(m3)

水费(元)

1

9

9

2

15

19

3

22

33

根据上表中的数据求a、b、c的值。

分析：抓住“超过与不超过最高限量的付费方式不同”这一重点，会想到用分段函数来表示用水量与支付费用之间的函数关系。

解：设用水量为xm3，支付费用为y元，则y=

∵0＜c≤5，∴8+c＜3，因此，第二、三月用水量超过最高限量，由

　　得：b=2

∴2a=c+19

再分析一月份用水量，若9＞a，由8+2(9-a)+c=9得：2a=c+17与2a=c+19矛盾，∴9≤a

由8+c=9得：c=1，∴a=10

故a=10、b=2、c=1。

4、利用图象

面对信息迁移题的众多数据及这些数据间错综复杂的制约关系，倘若能通过变量将它们联系起来，再在直角坐标系中画出图象，借助图象问题会渐趋明朗。

例6、某工厂生产A、B两种产品，生产A、B每吨所需的煤、电力、劳动力及产值如下表：

产品

煤(吨)

电力(千瓦)

劳动力(个)

产值(万元)

A

9

4

3

7

B

4

5

10

12

每日所用总量：煤不超过360吨、电力不超过200千瓦、劳动力不超过300个，问每天两种产品各生产多少吨，才能使日产值最高？

分析：设每日生产A种产品x吨、B产品y吨、日产值为a万元，

　　则s=7x+12y且

　　。

作出以上不等式组所表示的区域，即可行域。由s=7x+12y得y=-

由-

　　知：y=-

　　经过B时，

　　最大

由

　　得：B(20，24)，此时s=7×20+12×24=428(万元)

即每天生产A种产品20吨、B种产品24吨时，日产值最大，其值为428万元。

5、各个击破

涉及多个方案选取最优方案问题，往往可以对各方案单独进行求解。在每个方案结果产生以后进行比较，结论不宣自明。

例7、某工厂有旧墙一面长14米，现准备利用这面墙建造平面图形为矩形、面积为126m2的厂房，工程条件是：①建1米新墙的费用为a；②修1米旧墙的费用为0.25a；③用拆1米旧墙所用的材料建1米新墙的费用为0.5a元。经过讨论有两方案：

(1)利用旧墙的一段x米(x＜14)为矩形厂房的一面边长。

(2)矩形厂房的一面墙长为x米(x≥14)旧墙全部利用。

问：两种方案哪种费用最少？

分析：方案(1)旧墙x米，修旧墙费用为0.25ax；余下旧墙材料建新墙费用为0.5(14-x)a；其余新墙费用为(2x+

　　-14)a。

∴总费用y=0.25ax+0.5(14-x)a+a(2x

　　-14)=7a(

　　-1)≥35a，此时

　　得：x=12。

方案(2)修旧墙费用为0.25×14a，建新墙费用为(2x+

　　-14)a，∴总费用y=0.25×14a+(2x+

　　-14)a=3.5a+2a(x+

　　-7)a(x≥14)。

由于f(x)=x+

　　在[3

　　，+∞]上为增函数，∴当x=14时，y有最小值0.35a+2a(14+

　　-7)=35.5a。

比较知：方案(1)费用最少。

6、解析法

涉及确定曲线的信息迁移题，往往需要建立直角坐标系，利用二次曲线的有关知识进行求解。

例8、某农场有形为直角梯形ABCD的大田(如图2，DA⊥AB，CB⊥AB)，在点P处有一堆肥，沿道路PA或PB送往大田，已知PA=100m，PB=150m，∠APB=60°，能否在大田中确定一条界线，使界线一侧沿PA送肥较近；另一侧沿PB送肥较近？为什么？如果可以确定，试求出该界线。

分析：以AB为x轴，其中垂线为y轴建立直角坐标系。

设Q(x, y)是该界线上的点，则|QA|+|PA|=|QB|+|PB|，∵|PA|=100，|PB|=150，∴|QA|-|QB|=50。

由双曲线的定义知：Q点的轨迹为以A、B为焦点，以50为实轴长的双曲线的一支。

∵∠APB=60°

∴|AB|=

　　，由a=25，c=25

　　，∴b2=252×6。

故界线所在的方程为

　　(x≥25)。

7、构建模型

很多信息迁移题实际上也是应用题，求解思路：首先分析题意，然后建立数学模型，通过数学模型使问题获解。

例9、在一张半径为R的圆桌的正中央上空挂一盏电灯，桌子边缘一点处的照度I和灯光射到桌子边缘的光线与桌面的夹角α的正弦成正比，和这点到光源的距离r的平方成反比，即I=k

　　(k是与光强度有关的常数)，那么怎样选择电灯悬持的高度h，才能使桌子边缘最亮？

分析：∵rcosα=R，∴I=k

　　≤

此时cos2α=2sin2α，即tgα=

得：h=Rtgα=

　　R时桌子边缘最亮。

信息迁移题由于来源广、范围大，又加上新概念、新信息的引入及长长的文字叙述等，都给求解增添了很多困难。面对一个新的问题，往往不是某一种策略可以解决的，可能要综合运用多种策略方能奏效。

载自《考试》

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