贝叶斯决策方法及其应用

2014年10月

第10期第35卷

韶关学院学报·自然科学

Journal of Shaoguan University ·Natural Science

Oct.2014

Vol.35No.10

贝叶斯决策方法及其应用

王明辉

（韶关学院数学与信息科学学院，广东韶关512005）

摘要：风险决策存在于诸多的生产和经济活动中，在制定一项决策之前，应注重其风险分析，合理地将风险中的信息加以利用. 根据贝叶斯理论的基本原理，通过一个具体实例，给出了应用贝叶斯理论的步骤和方法. 关键词：贝叶斯决策；后验性信息；期望损失；后验概率

中图分类号：O212.8文献标识码：A 文章编号：1007-5348（2014）10-0008-05

贝叶斯决策就是在不完全信息下，对部分未知的状态用主观概率去估计，我们称之为先验概率，然后再利用贝叶斯公式对先验概率进行修正，得到后验概率，最后利用期望值和修正概率做出最优决策［1］. 贝叶斯决策是基于贝叶斯定理发展起来用于系统的阐述和解决统计问题的方法. 一个完整的贝叶斯分析应该包括数据分析，概率模型的构造，先验信息和效应函数的假设以及最后的决策. 贝叶斯理论能够有效地综合模型信息、数据信息和先验信息等三类信息，使决策者能够利用更多的信息做出最优决策［2］.

1验前分析

在贝叶斯决策中，人们首先要做的是进行验前分析. 决策者首先要清楚知道各种信息的自然状态及其

发生的概率，以及对不同自然状态采用不同方案后的损益值，据此决策者可以做出初步选择.

某企业对未来市场情况有三种预计，依次记为兹1, 兹2, 兹3，该企业也有三个可供选择的行动a 1, a 2, a 3，三个行动方案在不同市场情况下遭受的损失如表1.

表1

不同行动方案对应不同市场情况的损失值

a 1

兹1兹2兹3

x 11x 21x 31

a 2x 12x 22x 32

a 3x 13x 23x 33

按照该行业的历史资料以及该项目本身的具体情况，初步估算不同市场情况下的发生概率，给出如下先验分布：

仔(兹1)=p 1, 仔(兹2)=p 2, 仔(兹3)=p 3.

用此先验分布可以算得各行动的先验期望损失：

E 兹［L (兹, a i ) ］=p 1x 1i +p 2x 2i +p 3x 3i , i =1,2,3.

其中, 使先验期望损失达到最小的行动a ′,

E 兹［L (兹, a ′) ］=minE 兹［L (兹, a i ) ］,

a i

就是先验期望准则下的最优行动.

收稿日期：2014-05-28

作者简介：王明辉（1986-），男，山东济宁人，韶关学院数学与信息科学学院教师，硕士，主要从事部分线性模型方面的研究.

第10期王明辉：贝叶斯决策方法及其应用··

2预验分析

贝叶斯决策方法在实际生活中的应用是广泛的，当在人力、时间和财力不允许收集更加完整的信息

时，决策者往往用验前分析的方法进行决策. 在贝叶斯决策中，验后分析是进行统计分析的主要方法，决策者需要根据人力、时间、财力等各方面的因素去思考问题，从而付出代价琢，最后进行决策. 在权衡这些信息之后，决策者根据验后分析做出决策的风险和收益出现的结果. 所以验后分析牵扯到两个问题，一是否需要对信息追加，另外，如果要追加信息，应该采取什么样的策略行动.

决策者知道客观调查不可能是完全准确的，但一般能估计出调查的准确程度［3］. 当实际情况为兹1时，调查结果为兹1′的概率为p 11，为兹2′的概率为p 21，为兹3′的概率为p 31，如表2所示.

表2

预测情况

不同实际情况对应不同预测情况的概率值

实际情况

兹1兹2兹3

兹1′兹2′兹3′

p 11p 21p 31p 12p 22p 32

3

p 13p 23p 33

由全概率公式得出：

p i ′=P (兹i ′)=P (兹i ′|兹1) 仔(兹1)+P (兹i ′|兹2) 仔(兹2)+P (兹i ′|兹3) 仔(兹3)=移p ij p j , i =1,2,3.

j =1

我们关心的是，当可能的调查结果为已知时，实际三种市场情况的概率分别是多少，也就是要找出修正后的先验概率.

仔(兹i |兹j ′)=P (兹j ′|兹i ) 仔(兹i ) =p ji p i , i =1,2,3,j =1,2,3.

j j 上述结果如表3所示.

表3

实际情况

不同预测情况对应不同实际情况的概率值

预测情况

兹1′兹2′兹3′

兹1兹2兹3

p p 1p p 1p p 1p p 2p p 2p p 2p p 3p p 3p p 3由此可以算得各行动的后验期望损失：

E 兹|兹′［L (兹, a j ) ］=p i 1p 1x 1j +p i 2p 2x 2j +p i 3p 3x 3j , i=1,2,3, j =1,2,3.

i i i i

当调查结果为兹1′时，取

E 兹|兹′［L (兹, a (1)) ］=minE 兹|兹′［L (兹, a j ) ］.

1

1

a j

当调查结果为兹2′时，取

E 兹|兹′［L (兹, a (2)) ］=minE 兹|兹′［L (兹, a j ) ］.

2

2

a j

··

当调查结果为兹3′时，取

韶关学院学报·自然科学2014年

E 兹|兹′［L (兹, a (3)) ］=minE 兹|兹′［L (兹, a j ) ］.

3

3

a j

根据后验风险愈小愈好的准则，对调查结果的每个可能制定出最优行动，这样就得到了最优决策函数a ″,

a ″=a (2), 兹′=兹2′.

a (3), 兹′=兹3′

它表示使后验期望损失达到最小的行动组合.

此时就可以解答关于收集追加信息的价值问题. 先计算后验损失的期望值：

! ####" ####$

a (1), 兹′=兹1′

E 兹|兹′［L (兹, a ″) ］=p 1′E 兹|兹′［L (兹, a (1)) ］+p 2′E 兹|兹′［L (兹, a (2)) ］+p 3′E 兹|兹′［L (兹, a (3)) ］,

1

2

3

那么抽样信息期望值为：Q=E兹［L (兹, a ′) ］-E 兹|兹′［L (兹, a ″) ］.

1

上式表示追加信息前后各用最优行动而使决策者蒙受期望损失的减少量，或者说是由追加信息给决策者带来的增益.

3验后分析

在从事经济活动时，决策者对有关的自然状态了解的愈多，收集到的信息愈多，据此做出的最优决策

愈可靠，其获得的收益也会愈高. 但要想获得信息愈多，其付出的代价也可能愈高. 只有当采集新的信息是有益的，即Q>琢，决策者才会去收集新的信息，否则其只要选择最优的验前策略，便可以获得更大的收益.

下面我们以一简单问题为例进行说明.

某工厂准备生产一种新产品，产量可以采取小批、中批、大批三种行动，分别记为a 1, a 2, a 3，市场销售情况可为畅销、一般、滞销三种状态，分别记为兹1, 兹2, 兹3. 三种行动在不同市场状态下可获利润如表4.

表4

不同产量对应不同市场销售情况的利润值

（单位：万元）

a 1

兹1兹2兹3

1096

a 25040-20

a 310030-60

同一问题的损失函数，如表5.

表5

不同产量对应不同市场销售情况的损失值

（单位：万元）

a 1

兹1兹2兹3

90310

a 250026

a 301066

假如市场销售状态的先验分布为：

仔(兹1)=0.6,仔(兹2)=0.3,仔(兹3)=0.1,

从而可得各行动的先验期望损失：

E 兹［L (兹, a 1) ］=63.3,E 兹［L (兹, a 2) ］=32.6,E 兹［L (兹, a 3) ］=9.6.

若在先验期望准则下进行决策，那么最优行动应为a 3，因其先验期望损失最小.

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该工厂打算聘请一个咨询公司来调查市场情况，这项调查的花费为5000元. 这样做将导致改变工厂对于市场情况预测的先验概率，该公司是否应该选择这一方式呢？该工厂查阅了咨询公司的历史业绩记录，其结果如表6所示. 该表显示当市场实际为一般时，该咨询公司60％的报告预见到了这一情况，同时

20％的报告预见的是市场情况为畅销，但也有20％的报告预测的是滞销. 表6中其它数据的含义与此类似.

表6

预测销售畅销一般滞销

不同实际销售情况对应不同预测销售情况的概率值

实际销售

畅销

一般

滞销

0.70.20.1

0.20.60.2

0.10.20.7

由全概率公式得出：

p 1′=0.49,p 2′=0.32, p 3′=0.19,

修正后的先验概率如表7.

表7

实际销售畅销一般滞销

不同预测销售情况对应不同实际销售情况的概率值

预测销售

畅销

一般

滞销

0.860.120.02

0.380.560.06

.320.320.36

当咨询公司预测市场将会畅销时，市场确实会畅销的概率是0.86，增强了决策者对于未来市场的信心. 对其他修正后的先验概率也可作类似的解释.

各行动的后验期望损失，详见表8.

表8

实际销售

不同预测销售情况对应不同实际销售情况的损失值

畅销

一般

（单位：万元）滞销

E 兹/兹′［L (兹, a 1) ］E 兹/兹′［L (兹, a 2) ］E 兹/兹′［L (兹, a 3) ］

81.1243.522.52

51.5620.569.56

38.7224.3226.96

当咨询公司预测市场将会畅销时，最优行动为a 3；一般时，最优行动也为a 3；滞销时，应采取行动a 2，这样就得到了最优决策函数：

a ″=

后验期望损失值为：

! a , 兹′=兹′

2

3

a 3, 兹′=兹1′, 兹2′

.

E 兹|兹′［L (兹, a ″) ］=0.49×2.52+0.32×9.56+0.19×24.32=8.9148.

由咨询公司给工厂带来的增益为：

Q =9.6-8.9148=0.6852（万元）.

此时，如果只做验前分析，不做进一步咨询研究时，应采取行动a 3，可得先验损失的期望值为9.6万元.

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如果做进一步的咨询研究，我们所知的信息就会增加，从而能使我们的决策更加有利，也即后验期望损失值能够有所减少. 当采用新信息进行研究时，该工厂有可能获得的增益为6852元, 这个数值就是收集到的新信息的价值.

实际上，请咨询公司的花费为5000元，小于6852元，此时决策者收集信息才是值得的，若请咨询公司的花费大于6852元，则只需要选择最优的验前策略即可.

4结论

利用贝叶斯决策方法讨论不同行动方案对于不同自然状态所产生的影响，先得到先验期望损失最小

的决策方案，再通过追加新信息得到后验期望损失最小的决策方案，只有当收集到的新信息是有益的，决策者才会去增加成本进行新信息的采集，否则只需采用先验期望损失最小的决策方案即可. 笔者根据期望损失最小得到决策方案，当然也可根据期望收益最大得到决策方案，可以得到类似的结果. 参考文献：

［1］茆诗松. 贝叶斯统计［M ］. 北京:中国统计出版社, 1999.

［2］何江妮, 王玟. 浅谈贝叶斯风险决策分析［J ］. 新疆师范大学学报(自然科学版),2006, 25(4):18-20.［3］王玉珓, 王燕珍. 后验性信息与决策［J ］. 山西统计,1995,15(7):47-48.

Bayesian decision method and its application

WANG Ming-hui

（School of Mathematics and Information Science, Shaoguan University, Shaoguan 512005, Guangdong, China ）

Abstract:Risk decision-making exists in a number of productions and economic activities. Before making a de 鄄cision, great attention should be paid to its risk analysis and advantage of the information be taken from the risk reasonably. This paper summarizes basic principles of the Bayesian theory, and proposes the steps and the method in applying the Bayesian decision based on a concrete case.

Key words:Bayesian decision; posteriori information; expected loss; posteriori probability

（责任编辑：李

婉）