九上数学知识点((前两章)

一元二次方程（复习课）

重点：能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法解一元二次方程。 难点：1、会根据根的判别式判断一元二次方程的根的情况。

2、掌握一元二次方程根与系数的关系式，并会运用它解决有关问题。 回忆整理

1．方程中只含有 未知数，并且未知数的最高次数是 ，这样的 方程叫做一元二次方程. 通常可写成如下的一般形式：________________ ( )其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项 。

2

例如： 一元二次方程7x －3=2x 化成一般形式是

___________________其中二次项系数是 、一次项系数是 常数项是 。 2．解一元二次方程的一般解法有

（1）_________________ （2）

（3） （4）求根公式法，求根公式是 ___________________

2

3．一元二次方程ax ＋bx ＋c ＝0 （a ≠0）的根的判别式是 ，

当 时，它有两个不相等的实数根； 当 时，它有两个相等的实数根； 当 时，它没有实数根。

例如：不解方程，判断下列方程根的情况：

22

(1) x(5x+21)=20 (2) x+9=6x (3)x—3x = —5

4. 设一元二次方程ax 有：x 1+x 2

2

+bx +c =0(a ≠0) 的根分别为x 1, x 2, 根据根与系数的关系

=____,x 1⋅x 2=_____.特别，一元二次方程x 2+px +q =0的根分别

为x 1, x 2, 根据根与系数的关系有：x 1+x 2

2

=____,x 1⋅x 2=_____.

例如：方程2x +3x —2=0的两个根分别为x 1，x 2 则x 1+x2= ；x 1 ²x 2= _________

二次函数复习导学案（第1课时）

一、

二、知识点回顾

知识点1、二次函数的定义：一般地, 形如 (a,b,c是常数,a ≠ 0) 的函数叫做x 的二次函数.

练习1：下列函数中哪些是二次函数？（ ）

① y=ax²+bx+c ②y=2x² ③y=-5x²+6 ④y=(x+1)(x-2) ⑤y=2x(x+1)²-2x ²

⑥y=x 2-3x -2 ⑦y =

62

⑧y =2 x x

知识点2、二次函数的图象与性质

（一）抛物线y = ax 2 (a≠0) 的图象特点

增减性：

（二）抛物线y = ax 2+k (a≠0) 的图象特点

增减性：

（三）抛物线y = a(x-h)2 ( a≠0 ) 的图象特点

增减性：

(四) 抛物线y = a(x-h)2 +k (a ≠0) 的图象特点

增减性：

（五）二次函数y=ax2+bx+c(a≠0) 的图象和性质

练习2．二次函数的图象和性质练习

2

（1）. 已知二次函数y=ax+bx+c的图象如图所示，请根据图象 判断下列各式的符号：a 0 ,b 0, c 0 ,

∆ 0 , a-b+c 0,a+b+c 0

（2）. 函数y=ax+b和y=ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（ ）

（3）. 已知二次函数y=ax+bx+c中a>0,b

1、已知抛物线上的三点，通常设解析式为________________ 2、已知抛物线顶点坐标（h, k），通常设抛物线解析式为_______________

3、已知抛物线与x 轴的两个交点(x1,0) 、 (x2,0), 通常设解析式为_____________

2

练习3：1、已知二次函数y=ax+bx+c的最大值是2，图象顶点在直线y=x+1上，并且图象经过点（3，-6）。求a 、b 、c 。

2、已知抛物线y=ax+bx+c与x 轴正、负半轴分别 交于A 、B 两点，与y 轴负半轴交于点C 。若OA=4， OB=1，∠ACB=90°，求抛物线解析式。

3、已知二次函数y=ax-5x+c的图象如图。

(1)、当x 为何值时，y 随x 的增大而增大; (2)、当x 为何值时，y

(3)、求它的解析式和顶点坐标；

课后练习

1．已知抛物线y =x +4x +3，请回答以下问题：

⑴ 它的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标为 ； ⑵ 图象与x 轴的交点为 ，与y 轴的交点为 。

2．二次函数y =x +bx +c 的图象上有两点(3，－8) 和(－5，－8) ，拋物线对称轴是（ ） A ．x ＝4 B. x ＝3 C. x ＝－5 D. x ＝－1。 3．抛物线y =x -mx -m +1的图象过原点，则m 为（ ） A ．0

2

2

2

2

22

2

y

O

A x

B ．1 C

．－1 D ．±1

4．把二次函数y =x 2-2x -1配方成顶点式为（ ） A ．y =(x -1) 2 5．若反比例函数y =

B ．y =(x -1) 2-2 C ．y =(x +1) 2+1 D ．y =(x +1) 2-2

k

的图象如右图所示，则二次函数y =2kx 2-x +k 2的图象大致为 x

6．顶点为（－2，－5）且过点（1，－14）的抛物线的解析式为 7．对称轴是y 轴且过点A （1，3）、点B （－2，－6）的抛物线的解析式为 ．

8．抛物线y =3x 2的图象向右移动两个单位，再向下移动一个单位，它的顶点坐标是 ，对称轴是 解析式是 ；

9．如图，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴 分别交于A （－1，0）、点B （3，0）和点C （0，－3），一次 函数图象与抛物线交于B 、C 两点。

⑴二次函数的解析式为 ．

⑵当自变量x 时，两函数的函数值都随x 增大而增大． ⑶当自变量 时，一次函数值大于二次函数值． ⑷当自变量x 时，两函数的函数值的积小于0． 10．抛物线

y =x 2-2x +1则图象与x 轴交点为 （ ）

C ． 无交点 D ． 不能确定

A ． 二个交点 B ． 一个交点 11．在同一直角坐标系中，函数

y =ax 2-b 与y =ax +b (ab ≠0) 的图象大致如图 （ ）

12

①a

+b +c 0; ③abc

D 1个

正确的个数是 (

)

A 4 个 B 3个 C 2 个 一、二次函数的应用常见类型 1、最大值问题：

二次函数复习导学案（第2课时）

(1).最大利润问题 例1：某旅行社组团去外地旅游,30人起组团, 每人单价800元. 旅行社对超过30人的团给予优惠, 即旅行团每增加一人, 每人的单价就降低10元. 你能帮助分析一下, 当旅行团的人数是多少时, 旅行社可以获得最大营业额？

自我检测： 某商场销售某种品牌的纯牛奶, 已知进价为每箱40元, 生产厂家要求每箱售价在40元~70元之间. 市场调查发现:若每箱发50元销售, 平均每天可售出90箱, 价格每降低1元, 平均每天多销售3箱; 价格每升高1元, 平均每天少销售3箱.

(1)写出售价x(元/箱) 与每天所得利润w(元) 之间的函数关系式; (2)每箱定价多少元时, 才能使平均每天的利润最大? 最大利润是多少?

(2). 最大高度问题 例2：竖直向上发射物体的h(m)满足关系式y=-5t+v0t ，其中t(s)是物体运动的时间,v 0(m/s)是物体被发射时的速度. 某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m, 那么喷水的速度应该达到多少？(结果精确到0.01m/s).

(3).最大面积问题 例3：如图, 假设篱笆(虚线部分) 的长度是15m, 如何围篱笆才能使其所围成矩形的面积最大?

例4. 如图小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）. 花圃的宽AD 究竟应为多少米才能使花圃的面积最大？

2

二、通过建立坐标系来解决实际问题

例5、一位运动员在距篮下4m 处起跳投篮，球运行的路线是抛物线，当球运行的水平距离是2.5m 时，球达到最大高度3.5m ,已知篮筐中心到地面的距离3.05m , 问球出手时离地面多高时才能中？

例6、一座抛物线型拱桥如图所示, 桥下水面宽度是4m, 拱高是2m. 当水面下降1m 后, 水面的宽度是多少?(结果精确到0.1m).

三、二次函数与一元二次方程

二次函数y=ax+bx+c的图象和x 轴交点有三种情况:有两个交点, 有一个交点, 没有交点. 当

2

二次函数y=ax+bx+c的图象和x 轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x 的值, 即

2

一元二次方程ax +bx+c=0的根.

2

2

h =-4. 9t +19. 6t 来例7：一个足球从地面向上踢出，它距地面的高度h （m ）可以用公式

表示. 其中t （s ）足球被踢出后经过的时间， （1）当t ＝1和t ＝2时，足球的高度分别是多少？

-4. 9t 2+19. 6t =0的根的实际意义是什么？ （2）方程

-4. 9t 2+19. 6t =14. 7的根的实际意义是什么？ （3）方程

课后练习

1．函数y =kx 2-6x +3的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ） A ．k

2a +b ，a +b +c 这四个式子中，值为正数的有（ ）

A ．4个

B ．3个

C ．2个

D ．1个

3．已知原点是抛物线y =(m +1) x 2的最高点，则m 的范围是( ) A ． m -1 D． m >-2 4．关于x 2-x -n =0没有实数根，则y =x 2-x -n 的图象的顶点在（ ） A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 5．已知函数y =kx 2-7x -7的图象与x 轴有交点，则k 的取值范围是（ ）

A ．k >-

7777

B．k ≥-且k ≠0 C．k ≥- D．k >-且k ≠0 4444

6．已知二次函数y =ax 2+bx +c 的y 与x 的部分对应值如下表：

则下列判断中正确的是（ ）

A ．抛物线开口向上 B ．方程ax 2+bx +c =0的正根在3与4之间 C ．当x ＝4时，y ＞0

D ．抛物线与y 轴交于负半轴

7．某幢建筑物，从10 m高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图5，如果抛物线的最高点M 离墙1m ，离地面点B 离墙的距离OB 是（ ）

A.2 m B.3 m C.4 m D.5 m

40

m ， 则水流落地3

2

图3

8．已知抛物线y =x +bx +c 与y 轴的正半轴交于点A ，与x 轴的正半轴交于B 、C 两点， 且BC=2，S △ABC =3，则b c ．

2

9．二次函数y=x＋4x ＋a 的最大值是2，则a 的值是（ ）

10. 直线y=3与抛物线y =－x 2+8x －12的两个交点坐标分别是A （ ）、B （ ） 11．如图3所示，二次函数y =x 2-4x +3的图象交x 轴于A 、B 点，交y 轴于C 点， 则△ABC 的面积为 ．

12．某市政府大力扶持大学生创业，李明在政府的扶持下投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯，销售

过程中发现，每月销售量y （件）与销售单价x （元）之间可近似的看作一次函数：

y =-10x +500

（1）李明每月获得利润为W(元) ，当销售单价定为多少元时，每月可获得最大利润？

（2）根据物价部门规定，这种护眼台灯的销售单价不得高于32元，如果李明想要每月获得的利润不低

于2000元，那么他每月的成本最少需要多少元？

13、如图，抛物线y =

12

x 2+bx －2与x 轴交于A 、B 两点，与y 轴交于C 点，且A （一1，0）．

⑴求抛物线的解析式及顶点D 的坐标； ⑵判断△ABC 的形状，证明你的结论；

⑶点M (m ，0) 是x 轴上的一个动点，当CM +DM 的值最小时，求m 的值．

（4）点P 是x 轴下方抛物线上的任意一个点，连接PC ，PB 当△PBC 面积最大时求点P 的坐标，并求出△PBC 面积的最大值

备用图