第三章_平面任意力系

第三章 平面任意力系

[习题3-1] x 轴与y 轴斜交成α角，如图3-23所示。设一力系在xy 平面内，对y 轴和x 轴上的A 、B 两点有∑M iA =0，∑M iB =0，且∑F iy =0，∑F ix ≠0。已知OA =a ，求B 点在x 轴上的位置。 解：

因为M

A

=

∑M

iA

=0，但∑F ix ≠0，即F R ≠0，根据平面力系简化结果的

讨论（2）可知，力系向A 点简化的结果是：F R 是原力系的合力，合力F R 的作用线通过简化中心A 。

又因为M B =

∑M

iB

=0，但∑F ix ≠0，即F R ≠0，根据平面力系简化结果

的讨论（2）可知，力系向B 点简化的结果是：F R 是原力系的合力，合力F R 的作用线通过简化中心B 。

一个力系的主矢量是一个常数，与简化中心的位置无关。 因此，合力F R 的作用线同时能过A 、B 两点。 又因为F Ry =

∑F

iy

=0，所以合力F R 与y 轴垂直。即AB 与y 垂直。

a cos α

由直角三角形OAB 可知，B 点离O 点的距离为： b =

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

45

[习题3-2] 如图3-24所示，一平面力系(在oxy 平面内) 中的各力在x 轴上投影之代数和等于零，对A 、B 两点的主矩分别为M

A

=12kN ⋅m ，M

B

=15kN ⋅m ，A 、B 两

点的坐标分别为（2，3）、（4，8），试求该力系的合力(坐标值的单位为ｍ) 。 解：由公式（3-5）可知：

M

O 2

=M

O 1

+M

O 2

(F R )

B

M

M

B

=M

=M

A

+M B (F R )

+M

B

B A

(F Rx ) +M

(F Ry )

依题意F Rx =0，故有：

M

B

=M

A

+M

B

(F Ry )

15=12+F Ry ⨯(4-2)

2F Ry =3 F Ry =1. 5(kN ) F R =F Ry =1. 5kN

a =

M

A

F R

=

121. 5

=8(m )

故C 点的水平坐标为：x =-6m 。

[习题3--3] 某厂房排架的柱子，承受吊车传来的力F P ＝250ｋＮ，屋顶传来的力F Q ＝30ｋＮ，试将该两力向底面中心O 简化。图中长度单位是ｍｍ。

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

46

解:主矢量:F R =F P +F Q =250+30=280(kN (↓) ，作用在O 点。 主矩: M O =-F P ⨯0. 15+F Q ⨯0. 15=(-250+30) ⨯0. 15=-33(kN ⋅m ) [习题3--4] 已知挡土墙自重W =400kN ，土压力

F =320kN

，水压力F P =176kN ，如图3-26所示。求

这些力向底面中心O 简化的结果；如能简化为一合力，试求出合力作用线的位置。图中长度单位为m 。 解:

(1) 求主矢量

F Rx =F P -F cos 40

=176-320cos 40

=-69. 134(kN )

F Ry =-W -F sin 40

F R =

F Rx

2

=-400-320sin 40

2

=-605. 692(kN )

2

+F Ry

2

=(-69. 134) +(-605. 692) =609. 625(kN )

F R 与水平面之间的夹角:

α=arctan

F Ry F Rx

=arctan

-605. 692-69. 134

=832918

0' "

(2) 求主矩

M

O

=400⨯0. 8-176⨯2+320cos 40⨯3sin 60

00

-320sin 40⨯(3-3cos 60) =296. 321(kN ⋅m )

00

(3)把主矢量与主矩合成一个力

d =

M

O

F R d tan α

=

296. 321609. 6250. 486605. 69269. 134

=0. 486(m )

x ==

=0. 0555(m )

R

R

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

47

[习题3--5] 某桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅垂力F 1＝1940ｋＮ，F 2＝800ｋＮ及制动力F T ＝193ｋＮ。桥墩自重W ＝5280ｋＮ，风力F P ＝140ｋＮ。各力作用线位置如图所示。求将这些力向基底截面中心O 简化的结果；如能简化为一合力，试求出合力作用线的位置。 解:

(1) 求主矢量

F Rx =-F P -F T =-140-193=-333(kN )

F Ry =-W -F 1-F 2=-5280-1940-800=-8020(kN )

F R =F Rx

2

+F Ry

2

=(-333) +(-8020)

22

=8026. 91(kN )

F R 与水平面之间的夹角:

α=arctan

F Ry F Rx

=arctan

-8020-333

=873721

0' "

(2) 求主矩

M

O

=140⨯10. 7+193⨯21. 25-800⨯0. 4+1940⨯0. 4=6055. 25(kN ⋅m )

(3)把主矢量与主矩合成一个力

d =

M

O

F R d tan α

=

6055. 258026. 910. 7548020333

=0. 754(m )

x ===0. 0313(m )

'

R

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

48

[习题3--6] 图示一平面力系，已知F 1＝200Ｎ，F 2＝100Ｎ，Ｍ＝300Ｎ·ｍ。欲使力系的合力通过O 点，问水平力之值应为若干? 解:

F Rx =F -F 1cos θ=F -200⨯

35

=F -12045

F Ry =-F 2-F 1sin θ=-100-200⨯

=-260(kN )

主矢量:

F R =

(F -120) +(-260)

35

2

2

45

⨯2=560(kN ⋅m )

M 0(F 1) =200⨯

⨯2+200⨯

M 0(F 2) =-100⨯2=-200(kN ⋅m )

M 0(F ) =-1. 5F

主矩:

M

=560-200-1. 5F -300=60-1. 5

要使合力通过O 点, 必使:

M

=60-1. 5F =0, 即F =40kN

[习题3--7] 在刚架的A 、B 两点分别作用F 1、F 2两力，已知F 1＝F 2＝10ｋＮ。欲以过Ｃ点的一个力F 代替F 1、F 2，求Ｆ的大小、方向及B 、C 间的距离。 解:

F Rx =F 2-F 1cos 60

=10-10⨯0. 5=5(kN )

F Ry =-F 1sin 60

=-10⨯0. 866=-8. 66(kN )

主矢量:

F R =

5+(-8. 66) =10(kN )

F Ry F Rx

-8. 665

2

2

方向α=arctan

M

=arctan =-60

()

C

(F 1) =-10sin 60x =-8. 66x

(设BC =x )

49

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

M

C

(F 2) =10⨯2=20(kN ⋅m )

主矩:

M

C

=-8. 66x +

要使F 通过C 点, 且与F 1, F 2两力等效, 必使:

M

C

=-8. 66x +20=0, 即x =2. 309(m )

当x =2. 309(m ) 时, F =F R =10(kN ) , 方向与x 轴正向成600(().

[习题3--8] 外伸梁AC 受集中力F P 及力偶（F ，F ′）的作用。已知F P ＝2ｋＮ，力偶矩M ＝1.5ｋＮ·ｍ，求支座A 、B 的反力。

解：

（1）以AC 为研究对象，画出其受力图如图所示。 （2）因为AC 平衡，所以 ①

∑M

A

(F i ) =0

R B ⨯4-M -F sin 450⨯6=0

R B =(M +F sin 450⨯6) /4=(1. 5+2⨯0. 7071⨯6) /4=2. 49(kN ) ②

∑F

ix

=0

R Ax +F cos 450=0

R Ax =-2cos 450=-1. 41(kN ) ③

∑F

iy

=0

R Ay +R B -F sin 450=0

R Ay =-R B +F sin 450=-2. 5+2⨯0. 7071=-1. 08(N )

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

50

[习题3－9] 求图示刚架支座A 、B 的反力，已知：图（a ）中，

M ＝2.5ｋＮ·ｍ，F ＝5ｋＮ；图（ｂ）中，ｑ＝１ｋＮ／ｍ，F ＝3ｋＮ。

解：图（a ）

（1）以刚架ABCD 为研究对象，画出其受力图如图所示。 . 5m

（2）因为AC 平衡，所以 ①

∑M

A

(F i ) =0

R 3B ⨯2+M +F ⨯

5

⨯2. 5-F ⨯

45⨯2=0

2R B +2. 5+7. 5-8=0 R B =1(kN ) ②

∑F

ix

=0

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 51

R Ax -F ⨯ R Ax =5⨯ ③

3535

=0

=3(kN )

∑F

iy

=0

45=0 4 R Ay +R B -F ⨯

R Ay =-R B +F ⨯5

=-1+5⨯0. 8=3(kN )

解：图（b ）

（1）以刚架ABCD 为研究对象，画出其受力图如图所示。 R B

（2）因为AC 平衡，所以 ①

∑M

A

(F i ) =0

R B ⨯4-F ⨯3-q ⨯4⨯2=0 4R B -3⨯3-1⨯4⨯2=0 R B =(9+8) /4=4. 25(kN ) ②

∑F

ix

=0

R Ax +F =0 R Ax =-F =-3(kN ) ③

∑F

iy

=0

R Ay +R B -q ⨯4=0

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

52

R Ay =-R B +q ⨯4=-4. 25+1⨯4=-0. 25(kN )

[习题3－10] 弧形闸门自重W ＝150ｋＮ，水压力F P ＝3000ｋＮ，铰Ａ处摩擦力偶的矩M ＝60ｋＮ·ｍ。求开始启门时的拉力F T 及铰A 的反力。

F T

R Ax

R Ay

F P

B

解：

开始打开闸门时，B 与地面脱开，N B =0。 因为此时闸门平衡，所以 ①∑M

A

(F i ) =0

M +W ⨯4-F P ⨯0. 1-F T ⨯6=0 60+150⨯4-3000⨯0. 1-F T ⨯6=0 60+600-300-F T ⨯6=0 10+100-50-F T =0 F T =60(kN )

②∑F ix =0

R Ax +F P cos 30

=0

R Ax =-3000⨯0. 866=-2598(kN )

③∑F iy =0

R 0

Ay +F T +F P sin 30-W =0

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

53

R Ay =-F T -F P sin 30+W =-60-3000⨯0. 5+150=-1410(kN )

[习题3－11] 图为一矩形进水闸门的计算简图。设闸门宽（垂直于纸面）１ｍ，AB ＝２ｍ，重W ＝15ｋＮ，上端用铰A 支承。若水面与A 齐平后无水，求开启闸门时绳的张力F T 。

解：

AC =AB sin 30BC =AB cos 30

C

=2⨯0. 5=1(m ) =2⨯0. 866=1. 732(m )

开启闸门时，N B =0，此时，因为AB 平衡，所以

∑M

A

(F i ) =0

12⨯(γ

w

-F T ⨯1+[-F T ⨯1+

⨯1. 73) ⨯1. 73]⨯

23

23

⨯1. 73+W ⨯0. 5=0

12

⨯9. 8⨯1. 73⨯1. 73⨯⨯1. 73+15⨯0. 5=0

-F T ⨯16. 914+7. 5=0

F T =24. 414(kN )

[习题3－12] 拱形桁架的一端A 为铰支座，另一端B 为辊轴支座，其支承面与水平面成倾角30°。桁架重量W 为100ｋＮ，风压力的合力F Q 为20ｋＮ，其方向平行于AB 。求支座反力。

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

54

解：因为桁架平衡，所以 ①∑M

A

(F i ) =0

F Q

-R B cos 30⨯20+W ⨯10+F Q ⨯4=0 -17. 32R B +1000+80=0 R B =62. 4(kN )

B

R Ax

R Ay

②∑F ix =0

R Ax +R B sin 30-F Q =0

R Ax +62. 36⨯0. 5-20=0 R Ax =-11. 2(kN )

③∑F iy =0

R Ay +R B cos 30-W =0

R Ay +62. 4⨯0. 866-100=0 R Ay =46(kN )

[习题3－13] 悬管刚架受力如图。已知q ＝4ｋＮ／ｍ，F 2＝5ｋＮ，F 1＝4ｋＮ，求固定端A 的约束反力。 解：

因为ABC 平衡，所以 ①∑M

M M

A

A

(F i ) =0

12

⨯q ⨯3=0

2

2

-F 1⨯2. 5-F 2⨯3--5⨯2. 5-4⨯3-

12

A

⨯4⨯3=0

M

A

M M

A

-12. 5-12-18=0 =42. 5(kN ⋅m )

R Ay

R Ax

A

②∑F ix =0

F 1+R Ax =0

R Ax =-F 1=-4(kN )

③∑F iy =0

R Ay -F 2-q ⨯3=0 R Ay =5+4⨯3=17(kN )

[习题3－14] 汽车前轮荷载为10ｋＮ，后轮荷载为40ｋＮ，前后轮间的距离为2.5ｍ，行驶在长10ｍ的桥上。试求：（１）当汽车后轮处在桥中点时，支座A 、B 的反力；（２）当支座A 、B 的反力相等时，后轮到支座A 的距离。

解：因为桥AB 平衡，所以 ①∑M

A

(F i ) =0

R B ⨯10-40x -10(x +2. 5) =0 R B -4x -(x +2. 5) =0 R B -4x -x -2. 5=0 R B =5x +2. 5

②∑F ix =0

R Ax =0

③∑F iy =0

R Ay +R B -10-40=0

R Ay =50-R B =50-5x -2. 5=47. 5-5x

当汽车后轮处在桥中点时，x =5m ，此时，

R Ax =0

R Ay =47. 5-5⨯5=22. 5(kN )

R B =5x +2. 5=5⨯5+2. 5=27. 5(kN )

当R A =R B 时，后轮的位置：

47. 5-5x =5x +2. 5 10x =45

x =4. 5(m )

[习题3－15] 汽车起重机在图示位置保持平衡。已知起重量W 1＝10ｋＮ，起重机自重W 2＝70ｋＮ。求A 、B 两处地面的反力。起重机在这位置的最大起重量为多少?

W 2=70kN

W 1=10kN

B

A

R A R B

解：因为起重机在图示位置时处于平衡，所以 ①∑M

A

(F i ) =0

R B ⨯4. 5-10⨯7. 5-70⨯2. 5=0 R B =(75+175) /4. 5=55. 6(kN )

②∑F iy =0

A B R A =-R B +80=-55. 56+80=24. 4(kN )

设最大起重量为W max ，则此时R A =0

∑M

B

(F i ) =0

70⨯2-W max ⨯3=0 W max =140/3=46. 7(kN )

[习题3－16] 基础梁AB 上作用集中力F 1、F 2，已知F 1=200kN ，F 2=400kN 。假设梁下的地基反力呈直线变化，试求A 、B 两端分布力的集度q A 、q B 长度单位为m 。

。

F 1=200kN F 2=400kN

解：因为基础梁AB 平衡，所以 ①∑M

12

A

(F i ) =0

23

⨯6+q A ⨯6⨯3-F 1⨯1-F 2⨯5=0

⨯6⨯(q B -q A ) ⨯

12(q B -q A ) +18q A -200-2000=0 6q B +3q A =1100……………….(1)

②∑F iy =0

12

⨯6⨯(q B -q A ) +q A ⨯6-F 1-F 2=0

3q B +3q A =600……………….(2)

(1)-(2)得：

3q B =500

B q A =200-q B =200=166. 7=33(kN /m )

[习题3－17] 将水箱的支承简化如图示。已知水箱与水共重W ＝320ｋＮ，侧面的风压力F =20kN ，求三杆对水箱的约束力。 解：因为水箱平衡，所以 ①∑M

A

W =

320kN

F =20kN

(F i ) =0

N BD ⨯3. 6-320⨯1. 8-20⨯6=0

N BD =(576+120) /3. 6=193(kN ) （压力）

N BC

N AC

②∑F ix =0

20+N BC cos ∠BCD =0

6N BD

20+N BC ⋅

3. 63. 6+4. 8

2

2

=0

20+0. 6N BC ⋅=0

N BC =-20/0. 6=-33(kN )

（拉力）

③∑F iy =0

N BC sin ∠BCD +N AC +N BD -W =0

-33⨯

4. 86+N

AC

+193-320=0

N AC =153(kN )

（压力）

[习题3－18] 图示冲压机构。设曲柄OA 长r ，连杆AB 长l ，平衡时OA 与铅直线成α角，求冲压力F P 与作用在曲柄上的力偶M 之间的关系。 解：

以曲柄OA 为研究对象，其受力图如图所示。

r sin β

=

l sin α

sin β=

r l

sin α

2

cos β=-sin β=1-(

r sin αl

)

2

=

1l

⋅

l -r sin α

222

d =r sin(α+β) =r (sinαcos β+cos αsin β) d =r (sinα⋅d =

r sin αl

1l

2

l -r sin

2

2

222

α+cos α⋅

r l

sin α)

(l -r sin

α+r cos α)

因为OA 平衡，所以

R A d =M

R A ⋅

r sin αl

(l -r sin

2

2

2

α+r cos α) =M

R A =

Ml

r sin α(l -r sin

2

2

2

α+r cos α)

由滑块B 的平衡可知，

F P =R A cos β

F P =

Ml

2

2

2

r sin α(l -r sin α+r cos α) l

⋅

1

l -r sin α

222

F P =

M

2

l -r sin α

2

2

222

r sin α(l -r sin α+r cos α) F P r sin α(l -r sin α+r cos α)

l -r sin α

2

2

2

2

2

2

M =

M =F p r sin α⋅(1+

r cos αl -r sin α

2

2

2

[习题3－19] 图中半径为Ｒ的扇形齿轮，可借助于轮O 1上的销钉A 而绕O 2转动，从而带动齿条BC 在水平槽内运动。已知O 1A =r ，O 1O 2=3r 。在图示位置O 1A 水平（O 1O 2铅直）。今在圆轮上作用一力矩M ，齿条BC 上作用一水平力F ，使机构平衡，试求力矩M 与水平力F 之间的关系。设机构各部件自重不计，摩擦不计。

M

解：

以轮O 1为研究对象，其受力图如图所示。 因为轮O 1平衡，所以

∑M

O 1

(F i ) =0

N A r sin α-M =0

N A =

M r sin α

=

M r ⋅

r 2r

=2M r

以齿轮和齿条构成的物体系统为研究对象，其受力图如图所示。 因为物体系统平衡，所以

∑M ∑M

O 1

(F i ) =0 (F i ) =0

' A

O 2

N

' A

F ⋅R -N ⋅2r =0

FR -N A ⋅2r =0

FR -

2M r

⋅2r =0

FR -4M =0 M =

FR 4

[习题3－20] 图示一台秤。空载时，台秤及其支架的重量与杠杆的重量恰好平衡；当秤台上有重物时，在AO 上加一秤锤，设秤锤重量为W ，OB ＝a ，求AO 上的刻度x 与重量P 之间的关系。

解：以杠杆OA 为研究对象，其受力图如图所示。

因为AB 平衡，所以

A

O

B

∑M

O

(F i ) =0

x a

R B

-R B a +Wx =0

R B =

Wx a

W

R O

以称台为研究对象，其受力图如图所示。 因为AB 平衡，所以

∑F

ix

=0

R C =0

∑F

'

iy

=0

R B -P =0

R B -P =0

Wx a x =

-P =0 Pa W

[习题3－21] 三铰拱桥，每一半拱自重P ＝40ｋＮ，其重心分别在D 和E 点，桥上有荷载W ＝20ｋＮ，位置如图。求铰A 、B 、C 三处的约束力。图中长度单位为ｍ。

解：以整体为研究对象，其受力图如图所示。

因为整体平衡，所以

V B

H B

H V A

A

∑M

B

(F i ) =0

V B ⨯10-P ⨯9-W ⨯7. 5-P ⨯1=0

V B =(10P +7. 5W ) /10=(400+7. 5⨯20) /10=55(kN )

∑F

iy

=0

V A +V B -2P -W =0

V A =-V B +2P +W =-55+80+20=45(kN )

以BC 为研究对象，其受力图如图所示。 因为BC 平衡，所以

∑

M C (F i ) =0

C

H B ⨯5+P ⨯4-V B ⨯5=0 H B =(-P ⨯4+V B ⨯5) /5

=V B -0. 8P =45-0. 8⨯40=13(kN )

B

由整体的平衡条件得：

H H

A

+H B =0

=-H B =-13(kN )

A

∑F

ix

=0

H B +H C =0 H C =-H B =-29(kN )

（←）

∑F

iy

=0

V B +V C -P =0

（↓）

V C =P -V B =40-45=-5(kN )

[习题3－22] 三铰拱式组合屋架如图所示，已知q =5kN /m ，求铰C 处的约束力及拉杆AB 所受的力。图中长度单位为m 。

解：

以整体为研究对象，其受力图如图所示。

因为整体平衡，所以

R Ax

R Ay

∑M

A

(F i ) =0

R B

R B ⨯9-q ⨯9⨯4. 5=0 R B =4. 5q =4. 5⨯5=22. 5(kN )

∑F

ix

=0

R Ax =0

∑F

iy

=0

R A +R B -q ⨯9=0

R A =-R B +9q =-22. 5+9⨯5=22. 5(kN )

以右半部分为研究对象，其受力图如图所示。 因为右半部分（局部）平衡，所以

∑M

C

(F i ) =0

-N AB ⨯1. 5+R B ⨯4. 5-5⨯4. 5⨯2. 25=0

N AB =(22. 5⨯4. 5-5⨯4. 5⨯2. 25) /1. 5=33. 75(kN )

∑F

ix

=0

q

R Cx -N AB =0

1.

5R Cx =N AB =33. 75(kN )

∑F

iy

=0

R Cy +R

B =0

R

B

R Cy =-R B =-22. 5(kN )

[习题3－23] 剪钢筋用的设备如图所示。欲使钢筋受力12ｋＮ，问加在A 点的力应多大? 图中长度单位为ｍｍ。

R Cx

解：

以BCD 为研究对象，其受力图如图所示。 因为BCD 平衡，所以

R Cy N D

∑M

C

(F i ) =0

-R B sin 45⨯1. 2+N D ⨯0. 2=0-R B ⋅32+N D =0

R Ox

R B =

1232

=2. 828(kN )

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 65

以OA 为研究对象，其受力图如图所示。 因为OA 平衡，所以

∑M

O

(F i ) =0

'

-F ⨯1. 5+R B sin 45⨯0. 3=0

F =(R B sin 45⨯0. 3) /1. 5

F =(2. 828⨯0. 7071⨯0. 3) /1. 5=0. 4(kN )

[习题3－24] 图为某绳鼓式闸门启闭设备传动系统的简图。已知各齿轮半径分别为r 1、r 2、r 3、r 4，绳鼓半径r ，闸门重W ，求最小的启门力M 。设整个设备的机械效率为η（即M 的有效部分与M 之比）。

解：以轮O 1为研究对象，其受力图如图所示。图中，F 1为轮O 2对轮O 1的啮合力。

θ为压力角。因为轮O 1平衡，所以

∑M

O 1

(F i ) =0

M

ηM -F 1c o s θ⋅r 1=0

F 1=

ηM

r 1c o s θ

以轮O 2为研究对象，其受力图如图所示。图中，F 2为轮O 3对轮O 2的啮合力。θ为压力角。因为轮O 2平衡，所以

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 66

∑M

O 2

(F i ) =0

'

F 2cos θ⋅r 3-F 1cos θ⋅r 2=0

F 2cos θ⋅r 3-F 1cos θ⋅r 2=0

1

'

F 2=

r 2F 1r 3

=r 2r 3

⋅

ηM r 1cos θ

……(1)

以轮O 3为研究对象，其受力图如图所示。 因为轮O 3平衡，所以

∑M

'

O 3

(F i ) =0

F 2cos θ⋅r 4-Wr

F 2cos θ⋅r 4-Wr

F 2=

rW r 4cos θ

……(2)

2

'

由（1）、（2）得：

r 2r 3

⋅

ηM r 1cos θ

=

rW r 4cos θ

r 2ηM rW

⋅= r 3r 1r 4M =

r 1r 3rW

ηr 2r 4

[习题3－25] 图为一种气动夹具的简图，压缩空气推动活塞E 向上，通过连杆ＢＣ推动曲臂AOB ，使其绕O 点转动，从而在A 点将工件压紧。在图示位置，ａ＝２０°，已知活塞所受总压力F ＝３ｋＮ，试求工件受的压力。所有构件的重量和各铰处的摩擦都不计。图中长度单位为ｍｍ。

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 67

解：以C 铰为研究对象，其受力图如图所示。

因为C 铰平衡，所以

∑F

ix

=0

3kN

N 0

BC cos 20-N DC cos 20

=0

N BC =N DC

∑F

iy

=0

'

-2N sin 20

BC +3=0

N BC =

32sin 20

=4. 386(kN )

以曲臂AOB 为研究对象，其受力图如图所示。 因为曲臂AOB 平衡，所以

∑

M O (F i ) =0

N '

BC sin 70⨯0. 25-N A ⨯0. 1=0

N 0

BC sin 70⨯2. 5-N A

=0

N

=N 0

A

BC sin 70⨯2. 5=4. 386⨯0. 9397⨯2. 5=10. 3(kN )

根据作用与反作用公理，工件所受到压力为10.3kN 。

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

68

[习题3－26] 水平梁由AC 、BC 二部分组成，A 端插入墙内，B 端搁在辊轴支座上，Ｃ处

用铰连接，受F 、M

作用。已知F ＝４ｋＮ，M ＝６ｋＮ·ｍ，求A 、B 两处的反力。

解：以BC 为研究对象，其受力图如图所示。 因为BC 平衡，所以

∑M

C

(F i ) =0

4kN

kN ⋅m

B

R B ⨯4-6=0 R Cx

C

R Cy R B

R B =6/4=1. 5(kN )

∑F

iy

=0

R cy +R B -4=0

R cy -R B +4=-1. 5+4=2. 5(kN )

以AC 为研究对象，其受力图如图所示。 因为AC 平衡，所以

'

R R Ay

Cy

∑F

iy

=0

A

R C

Ax

R '

Ay -R cy =0

M

A

R Ay =R cy =2. 5(kN )

∑M

A

(F i ) =0

M

A

-R '

Cy ⨯4=0

M

A

=R Cy ⨯4=2. 5⨯4=10(kN ⋅m )

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

69

[习题3－27] 钢架ABC 和梁CD ，支承与荷载如图所示。已知F ＝５ｋＮ，q ＝２００Ｎ／ｍ，q 0＝３００Ｎ／ｍ，求支座A 、B 的反力。图中长度单位为m 。

F =5kN

R D =

2. 5kN

R C =2. 5kN

解：以CD 为研究对象，其受力图如图所示。

因为CD 平衡，所以

'

∑M

(F i ) =0 D

R C ⨯2-5⨯1=0 R C =2. 5(kN )

2∑

F iy =0

. 3kN /m

R D +R C -5=0

R D =-R C +5=-2. 5+5=2. 5(kN )

B Ay

以刚架ABC 为研究对象，其受力图如图所示。 因为ABC 平衡，所以

∑M

A

(F i ) =0

-R B ⨯2+2. 5⨯2. 5+

12

⨯0. 2⨯2. 5+(

2

1

1

⨯0. 3⨯2) ⨯(⨯2) =023

-2R B +6. 25+0. 625+0. 2=0 R B =7. 075/2=3. 5375(kN )

∑F

ix

=0

12

⨯0. 3⨯2) =0

R Ax -(

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 70

R Ax =0. 3(kN )

∑F

iy

=0

R Ay +R B -2. 5-0. 2⨯2. 5=0

R Ay =-R B +3=-3. 5375+3=

-0. 5375(kN )

[习题3－28] 组合结构如图所示，已知q ＝２ｋＮ／ｍ，求AC 、CD 、BD 三杆的内力。

解：以整个组合结构为研究对象，其受力图如图所示。

因为CD 平衡，所以

q =2kN /m

∑M

A

(F i ) =0

R B ⨯4-2⨯6⨯2=0 R B =6(kN )

∑F

iy

=0

R B +R A -2⨯6=0

R B =-R A +12=-6+12=6(kN )

过C 铰和AD 杆，把结构截断，取左半部分为研究对象，其受力图如图所示。 因为左半部分平衡，所以

q =2kN /m

N CD sin θ⨯2-6⨯2+2⨯3⨯1. 5=0

∑M

C

(F i ) =0

N AD sin θ-6+4. 5=0 （压力）

m

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。 71

N AD

15

-1. 5=0

N

AD

=1. 55=3. 354(kN )

根据结构的对称性可知，

N BD =N AD =3. 354(kN )

N

N N BD

以结点D 为研究对象，其受力图如图所示。

∑F

iy

=0

D

N CD +2N AD sin θ=0

15

=-3(kN )

N CD =-2N AD sin θ=-2⨯1. 55⨯

[习题3－29] 在图示结构计算简图中，已知q ＝15ｋＮ／ｍ，求A 、B 、C 处的约束力。

解：以整体为研究对象，其受力图如图所示。 因为整体平衡，所以

∑M

A

(F i ) =0

8R By -4R Bx -15⨯8⨯4=0 2R By -R Bx =120

…………(1)

R Ax

R By

R Bx

∑M

B

(F i ) =0

R Ay

-8R Ay +4R Ax +15⨯8⨯4=0 2R Ay -R Ax -120=0…………(2)

∑F

iy

=0

R Ay +R By -120=0 R Ay +R By =120

…………(3)

∑F

ix

=0

R Ax +R Bx =0

…………(4)

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

72

以BC 为研究对象，其受力图如图所示。 因为BC 平衡，所以

q =15kN /m

∑M

C

(F i ) =0

C

4R 1By +4R Bx -2⨯15⨯4

2

=0

R Cy

R R

Bx

By +R Bx =30

…………(5)，前面已得到（1） 2R R …………(1)

By -Bx =120

（1）+（5）得：

3R By =150

R By =50(kN )

R Bx =30-R By =30-50=-20(kN )

，前面已得到（4）

R Ax +R Bx =0……………(4) R Ax =-R Bx =20(KN ) ,

前面已得到（2）

2R Ay -R Ax -120=0…………(2)

2R Ay -20-120=0 R Ay =70(kN )

还是因为BC 平衡，所以

q =15kN /m

∑F

ix

=0

C

R Cx +R Bx =0 R Cy

R Cx =-R Bx =20(kN )

R

Bx

∑F

iy

=0

R Cy +R By -15⨯4=0

R Cy =-R By +60=-50+60=10(kN )

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

73

[习题3－30] 静定刚架如图所示。匀布荷载q 1=1kN /m ，q 2=4kN /m ，求A 、B 、E 三支座处的约束力。图中长度单位为m 。

解：以DE 为研究对象，其受力图如图所示。

因为DE 平衡，所以

∑

M

D

(F ) =0 i -R E ⋅4+q 1⨯4⨯5=0 -R E +1⨯5=0 R E =5(kN )

∑F

ix

=0

R Dx +1⨯4=0 R Dx =-4(kN )

∑F

iy

=0

R Dy +R E =0

R Dy =-R E =-5(kN )

宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来。

74

以刚架ABC 为研究对象，其受力图如图所示。 因为刚架ABC 平衡，所以

∑M

q 2=

4kN /m

A

(F i ) =0

R R '

1By ⨯6+Dx ⨯5-

2⨯4⨯6

2

=0

6R

By +(-4) ⨯5-72=0 R By =92/6=15. 33(kN )

R Bx

∑F

iy

=0

R Ay

R R '

By

Ay +R By -R Dy -4⨯6=0

R '

Ay =-R By +R Dy +24=-15. 33-5+24=3. 67(kN )

∑F

ix

=0

R Ax +R Bx -R Dx =0

R Ax +R Bx +4=0……..(1)

以BC 为研究对象，其受力图如图所示。 因为BC 平衡, 所以

∑M

C

(F i ) =0

R 6+R 3-12

Bx ⨯By ⨯2

⨯4⨯3=0

2R Bx +R By -6=0

2R Bx +15. 33-6=0

R Bx

R Bx =-4. 67(kN )

前面已得(1)式

R By

R Ax +R Bx +4=0……..(1) R Ax -4. 67+4=0 R Ax =0. 67(kN )

[习题3－31] 一组合结构、尺寸及荷载如图所示，求杆１、２、３所受的力。图中长度单位为m 。

6kN 4kN

7kN

A

解:以整个结构为研究对象, 其受力图如图所示. 因为整体平衡, 所以 6kN 4kN

∑M

A

(F i ) =0

R B ⨯14-7⨯10-4⨯6-6⨯3=0 A

R B =8(kN ) 9

∑F

iy

=0

R A +R B -6-4-7=0

R A =-R B _17=-8+17=9(kN )

以左半部分为研究对象, 其受力图如图所示. 因为左半部分平衡, 所以

∑M

C

(F i ) =0

N 3⨯3+4⨯1+6⨯4-9⨯7=0 N 3=11. 7(kN )

以结点E 为研究对象, 其受力图如图所示. 因为结点E 平衡, 所以

A

∑F

ix

=0

N 3-N 1s i n θ=0

11. 7-N 1⨯

45=0

N 1=14. 6(kN )

∑F

iy

=0

N 2+N 1c o s θ=0

N 2=-14. 6⨯

35

=-8. 8(kN )

[习题3－32] 图示用三铰拱

ABC 支承的四跨静定梁，受有匀布荷载q ，试用最简便的方法求出A 、B 的约束力（只需作出必要的示力图，并说明需列哪些平衡方程求解）。

解:

(1)以HI 为研究对象，其受力图如图所示。 因为HI 平衡, 所以

R H

q

H

I

R I

∑M

I

(F i ) =0

-R ⋅l +1H 2ql

2

=0

R ql H =

2

∑F

iy

=0

R I +R H -ql =0

R I =-R H +ql =-

ql 2+ql =

ql 2

(2)以IJ 为研究对象, 其受力图如图所示. 因为IJ 平衡, 所以

R '

ql I

=

∑M

I

(F i ) =0 R 1J ⋅l -2ql

2

=0

I

J

R J =

ql 2

N ID R J

∑F

iy

=0

R -ql -ql J +N ID 2=0

N 3ql 3ql ID =

2

-R J =

2

-ql 2=ql

R '

ql (3)以JK 为研究对象, 其受力图如图所示. J

=

因为JL 平衡, 所以

∑

M

J

K

J (F i ) =01N JC

R K

R 2

K ⋅l -2ql

=0

R K =

ql 2

∑F

iy

=0

R '

ql K =

ql -ql R K +N JC -

2=0N 3ql JC =

3ql 2

-R 2

-

ql J =

2=ql

K L

(4)以KL 为研究对象, 其受力图如图所示.

N KE R L

因为KL 平衡, 所以

∑M

K

(F i ) =0

12ql

2

R L ⋅l -R L =

ql 2

=0

∑F

iy

=0

ql 2=0 3ql 2-ql 2=ql

R L +N KE -ql -N KE =

3ql 2

-R J =

(5) 以在铰拱ACB 为研究对象, 其受力图如图所示.

因为KL 平衡, 所以

∑M

A

(F i ) =0

V B ⋅2R -ql (2R -R +l ) -ql ⋅R -ql (R -l ) =0

V B ⋅2R -qlR -ql

2

-qlR -qlR +ql

2

=0

V B ⋅2R -3qlR =0

V B =

3ql 2

ix

∑F

=0

V B +V A -3ql =0

V B =-V A +3ql =-

3ql 2

+3ql =

3ql 2

(6)以在铰拱AC 为研究对象, 由其平衡条件得:

∑M

-3ql 22

C

(F i ) =0

A

⋅R +H

⋅R +ql ⋅l =0

2

3ql

-H

A

-ql

/R =0

H

A

=

3ql 2

-

ql R

2

考虑整体平衡有:

H B +H

A

=0

ql R

2

H B =-H

A

=-

3ql 2

2

[习题3－33] 在图示的结构计算简图中，已知F =F ' =12

kN ，F D =102kN 试求A 、B 、C 三处的约束力（要求方程数目最少而且不需解联立方程）。图中长度单位为m 。

解:以CG 为研究对象，其受力图如图所示。 因为CG 处于力偶系的平衡状态，所以

R C ⨯4sin 30

=12⨯3

kN

R C =18(kN ) R GE =R C =18(kN )

R

C

以AC 为研究对象，其受力图如图所示。 因为AC 平衡, 所以

∑M

A

(F i ) =0

-R D cos α⨯5+18⨯2=0

10⨯5=36

R D ⨯

R D =7. 517(kN )

∑F

ix

=0

R Ax +R D cos α=0

R Ax =-R D cos =-7. 517⨯

10=-7. 2(kN )

∑F

iy

=0

R Ay -R D sin α=0

3=2. 16(kN )

R Ay =R D sin α=7. 517⨯

以BD 为研究对象，其受力图如图所示。 因为BD 平衡，所以

∑F

ix

=0

R Bx

R Bx -R D cos α+102cos 45R Bx =7. 517⨯

10=0

-10=-2. 8(kN )

R By

∑F

iy

=0

R By +R D sin α-102cos 45R By =-R D sin α+10

=0

2cos 45=-7. 517⨯

3+10=7. 84(kN )