影响线练习题

四、例题解析 （一）概念题

例3-2荷载处于某一最不利位置时，按梁内各截面的弯矩值竖标画出的图形，称为简支梁的弯矩包络图。（ ）（大连理工1999）

答案： ×。

例3-3 简支梁绝对最大弯矩值是： （ ）（天津大学1997）

A 、梁中某截面的最大弯矩值； B 、梁跨度中点附近某截面的弯矩值； C 、梁中各截面最大弯矩中的最大值； D 、梁中间截面的最大弯矩值。 答案： C 。

例3-4 静定结构中任何量值的影响线都是由直线段组成。 （ ）（西南交大1997） 答案： ×。静定结构的位移影响线是曲线。

例3-5 用静力法作影响线，影响线方程中的变量代表截面位置的横坐标。（ ）（华中理工1999）

答案： ×。代表单位力的位置。

例3-6 图3-4所示结构BC 杆轴力影响线应画在BC 杆上。（ ）（华中理工2000）

图3-4

答案： ×。影响线的作用范围是单位荷载的移动范围，应画在AB 杆上，而不是在BC 杆。

例3-7 简支梁跨中截面C 弯矩影响线的物理意义是荷载F P ＝1作用在截面C 的弯矩图。（ ）（湖南大学2005）

答案：×。

例3-8 结构上某截面剪力的影响线，在该截面处必定有突变。（ ）（中南大学2005） 答案：×。提示：间接荷载下的剪力影响线在该截面处不一定有突变。

例3-9 作影响线时，只需考虑单位集中荷载，不需要考虑结构上的实际荷载。（ ）（中南大学2007）

答案： 。

例3-10 影响线仅用于解决活载作用下结构的计算问题，不能用于恒载作用下的计算。（ ）（西安交大2003）

答案：×。

例3-11 图3-5所示结构，M A 影响线（下侧受拉为正）D 处的纵标为：( ) （西南交大2002）

A 、 0； B 、 l ； C 、 －l ； D 、 -2.236l /2。

图3-5

答案：C 。提示：根据影响线的概念，本题实际是求荷载移动至D 点时，M A 的值。 例3-12 机动法作静定结构内力影响线的依据是：（ ）（西安交大2005）

A 、刚体体系的虚力原理； B 、变形体的虚功原理； C 、刚体体系的虚位移原理； D 、变形体的虚位移原理。 答案：C 。

例3-13 图3-6a 所示结构a 杆的内力影响线如图b 所示。（ ）（天津大学2005）

(a)

(b)

图3-6

答案： 。提示：桁架的每一节间影响线都是直线，故可将单位荷载分别作用在结点，求出a 杆的轴力，再连成直线。

例3-14 图3-7所示结构，某截面剪力影响线已作出如图所示，则竖标y C 表示：（ ）(浙江大学2005)

A 、F P =1在B 时，C 截面的剪力值； B 、F P =1在C 时，C 截面的剪力值； C 、F P =1在C 时，

时，B 截面右侧的剪力值。

图3-7

答案：C 。

例3-19 图3-12a 所示梁的最大弯矩发生在距支座A 6. 225m 处。（ ）（四川大学2005）

(a)60kN 图3-12

答案：×。提示：当第二个力和合力分布于中点两侧时，第二个力下的弯矩最大，此时，

距支座A 为5.875m 。

例3-20 什么是影响线？影响线的作用？（中国地震局工程力学研究所2006） 答案：详见一“基本概念”和三“影响线的应用”。 例3-21 举例说明弯矩图和弯矩影响线的区别。（四川大学2007）

答案：详见一“基本概念”

（二）求作影响线

例3-23 F P =1在上层梁移动，试用静力法作图3-14a 所示结构的F QD 左，M F 的影响线。（北京工业大学2006）

(b)

y

P =1

D

(d)1/4

(e)

1x

x

M F 的影响线

图3-14

l/32

解：（1）求F QD 左的影响线。取上层梁分析，上层梁为两端有悬挑的伸臂梁。设C 为坐标原点，x 、y 轴方向如图b 所示：

x l 5l x ∈(-） l 44

x l 5l

对D 点取矩(图b) F RC ⋅l ＝1×(l -x ) ⇒ F RC ＝1- x ∈（-）

l 44

l x

当F P ＝1在D 点以左移动时，F QD 左＝-F RD = - x ∈（-，l ）

4l

x 5l

当F P ＝1在D 点以右移动时，F QD 左＝F RC =1- x ∈（l ）

l 4

对C 点取矩(图b) F RD ⋅l ＝1×x ⇒ F RD ＝

F QD 左的影响线见图d 。

（2）求M F 的影响线（设M F 下侧受拉）。取下层梁分析（图c ）。

l l 5l l x

M F ＝F RB ×＝- x ∈（-）

48844

M F 的影响线见图e 。

例3-25 有单位力在AB 、CD 杆上移动(图3-16a ) ，作F RA 及F QF 的影响线。（天津大学2007）

D

D

(d)

D

F RA 的影响线

F QF 的影响线

图3-16

解：(1)求F RA 的影响线。去约束后体系发生的虚位移图见图b 。取出AB 和CD 段的位移图放于同一坐标系中，即得F RA 的影响线如图d 。（注意，虚位移图并非由F RA 引起，而是由于体系缺少约束而产生的，因此CD 段不发生位移，因为不缺少约束。）

（2）同理可绘出F QF 的影响线，见图d 。

例3-26 图3-17a 所示结构F P =1在DG 上移动，作F RD 、F NCE 、M C 和F QC 右的影响线。(华南理工2006)

(a)

(d')

(c)

(c')

F NCE 的影响线3/2

M C 的影响线

F QC 右的影响线图3-17

解： 撤去F RD 对应的约束，用一反力来代。令体系沿F RD 的正方向发生单位位移（图b ），则杆DEFG 的位移图就是F RD 的影响线(图b ′) 。

同理，F NCE 、M C 和F QC 右的影响线如图c′~e ′所示。

例3-27 作图3-18a 所示结构A 点的弯矩和剪力影响线。（东南大学2005）

(c)

的影响线F QA

图3-18

解：用机动法，过程略，虚位移图和影响线见图b 、c ，影响线中的虚线为直接荷载下

的影响线。

例3-28 当F P =1沿AC 移动时，作图3-19a 所示结构中F RB 、M K 的影响线。（华南理工2007）

(d)l/8

RB 1/2

虚位移图

图3-19

K

解：用机动法作影响线。

去掉相应的约束，F RB 、M K 的方向示于图b,c 中，画出虚位移图，影响线见图d 。过程略。

例3-29 求出图3-20a 所示结构F QC 、F QB 的影响线，单位荷载F P =1在E~F间移动。（华中科技大学2005）

(b)

主梁的虚位移图（一）

F QC 的影响线

(c)

1/4

主梁的虚位移图（二）

1/4

QB 左

(d)

主梁的虚位移图（三）

1

QB 右图3-20

解：用机动法。

先作直接荷载下的影响线，再将结点向下投影所得的竖标连成直线即得所求影响线。注意：F QB 应分为B 左和B 右两个截面分别计算。

例3-30 图3-21a 所示结构，单位荷载F P ＝1在HIJ 杆上移动，试作支座C 反力F RC （向上为正）和截面B 的弯矩M B （下侧受拉为正）的影响线。(浙江大学2004)

(d)

H

H

27/8

F RC 的影响线

虚位移图二

图3-21

解：用机动法

（1）求F RC 的影响线，撤除F RC 的约束，体系虚位移如图b ，F RC 的影响线如图d 。 （2）求M B 的影响线，去除约束后，体系的虚位移如图c ，M B 的影响线如图d 。 例3-32 作图3-23a 所示结构杆a 内力F N a 的影响线，单位荷载F P ＝1在下弦杆移动。(浙江大学2007)

(b)

F F

x1

1

(d)

A

C

F Na 的影响线

图3-23

B

解：用静力法。本题几何组成为三刚片规则，求支座反力应解联立方程，先取图b 分析。

12-x

由∑M O 1=0⇒F RA ⨯12+F y 1⨯12=1⨯(12-x )=0⇒F RA +F y 1= (a)

12再取左半部分分析（图c ），当F P ＝1在C 点左侧移动时，由

∑M

C

=0得：

F RA ⨯6+F x 1⨯2-1⨯(6-x )=0

(b)

当F P ＝1在C 点右侧移动时，由

⇒6F RA +2F x 1=6-x

(0≤x ≤6)

∑M

C

=0⇒6F RA +2F x 1=0

(6≤x ≤12)

(c)

⎧F N 1=x ⎪联立求解（a ）、（b ）和（a ）、（c ）可得⎪8⎨3x ⎫⎪F N 1=⎛ -⎪2⎪⎝28⎭⎩

(0≤x ≤6)。 (6≤x ≤12)

又由结点平衡条件知F Na =F N 1，故F Na 的影响线如图d 。

例3-35 当单位荷载F P 在垂直于AB 、BC 、CE 杆的外围移动时，求图3-26a 所示结构指定截面D 的弯矩与剪力影响线。（D 点弯矩以使CE 杆外围受拉为正，剪力以使所研究单元顺时针转动为正）。(北京航空航天大学2004)

(a)(b)

1

(c)

P L/2

(e)L/2

图3-26

解：用机动法，先分别去掉M D 、F QD 的约束，画出相应机动体系的虚位移图（见图b 、图c ）。再由虚位移图画出影响线如图d 、e 。

注意：画影响线时，应先假设好坐标系中的正方向（与单位荷载相反的方向为y 轴的正方向，见图b ），若位移图在y 轴正向，则影响线为正号，否则为负号。

例3-37 对图3-28a 所示结构：（1）作CD 梁上截面C 处M C 的影响线；（2）作AB 梁上支座B 竖向反力F RB 及梁中点E 竖向位移ΔEV 的影响线（梁的刚度为EI ）。F P =1在A-C-D 上移动（M C 以下侧受拉为正）。(北京交大2004，西南交大2002)

C

D

(d)

∆EV 的影响线

图3-28

解：(1)求M C 和F RB 的影响线。撤去与M C 有关的约束，令体系沿M C 正方向产生虚位移，M C 的影响线如图b 所示。同理作F RB 的影响线（图c ）。注意：作F RB 的影响线时，C 点为定向结点，其连接的上下两根杆件发生位移后应保持平行。

（2）ΔEV 的影响线。根据位移互等定理，求E 点竖向位移的影响线相当于求单位力作用在E 点时，ACD 段的位移图(见图d) 。其中，E 点的位移用图乘法可求，为l 3/6EI ；CD 段的位移为竖向平移， ΔEV 的影响线如图d 。

例3-38 试作图3-29a 所示结构的M K 、F QK 、F Q C 的影响线。（四川大学2004）

M K

的影响线

0.5

F QK 的影响线

QC

图3-29

解：用机动法求解。M A 假设下侧受拉。虚位移图和影响线分别如图b ，c ，d 。 例3-48 试求图3-39a 所示移动荷载组作用时C 截面上的最大弯矩M C(max)。（同济大学2004）

20kN

100kN 2×100kN20kN

F P1F P2F P3F P4F P5

(b)

图3-39

解：（1）用机动法画出M C 的影响线(图b) 。

（2）求临界荷载

经分析，F P1、F P5不是临界荷载，只需分析其余三个荷载。

当F P2位于影响线顶点E ，荷载左移20+100>100⨯2+20，右移20

4

12

4

12

是临界荷载。

当F P3位于影响线顶点, 荷载左移20+200>100+20，右移20+100>100⨯2+20，故F P3

4

12

4

12

不是临界荷载。F P4也不是临界荷载。 （3）求M Cmax

由以上知，当F P2作用在影响线顶点时，C 截面上产生最大弯矩

M Cmax ＝20⨯1. 125+100⨯1. 5+100⨯1+100⨯0. 875+20⨯0. 75=375kN ⋅m

例3-53 作图3-44a 所示结构的F QB 右影响线，并求图示移动荷载作用下F QB 右的最大值。（大连理工2004）

F P2=50kN

(b)(c)

2

E

F

F QB 右的影响线

图3-44

解：体系虚位移图如图b ，F QB 右的影响线如图c 所示。求F QB 右的最大值时，可以排除

F P 3作用在顶点的情况，只讨论F P1和F P2。

当F P 1作用在顶点时，F QB 右=100⨯2+50⨯3+80⨯1=355kN ； 2当F P 2作用在顶点时，F QB 右=50⨯2+3⨯80+100⨯1=320kN ； 2因此F Q B 右max =355kN ，此时F P 1作用在顶点。