第二章模糊控制理论基础知识

第二章 模糊控制理论基础知识

2.1 模糊关系

一、模糊关系R

所谓关系R，实际上是A和B两集合的直积A×B的一个子集。现在把它扩展到模糊集合中来，定义如下：

所谓A，B两集合的直积

A×B={(a,b)|a∈A，b∈B} 中的一个模糊关系R，是指以A×B为论域的一个模糊子集，其序偶(a,b)的隶属度为

~(a,b)，可见R是二元模糊关系。 R

~

~

~

若论域为n个集合的直积，则

A1×A2×A3ׄ„An 称为n元模糊关系R，它的隶属函数是n个变量的函数。

例如，要求列出集合X={1,5,7,9,20}“序偶”上的“前元比后元大得多”的关系R。 因为直积空间R=X×X中有20个“序偶”，序偶(20,1)中的前元比后元大得多，可以认为它的隶属度为1，同理认为序偶(9,5)的隶属于“大得多”的程度为0.3，于是我们可以确定“大得多”的关系R为

~

~

~

~

R=0.5/(5,1)+ 0.7/(7,1)+ 0.8/(9,1)+ 1/(20,1)+ 0.1/(7,5)+0.3/(9,5)+ 0.95/(20,5)+ 0.1/(9,7)+

0.9/(20,7)+ 0.85/(20,9)

综上所述，只要给出直积空间A×B中的模糊集R的隶属函数R~(a,b)，集合A到集合B的模糊关系R也就确定了。

由于模糊关系，R实际上是一个模糊子集，因此它们的运算完全服从第一章所述的Fuzzy子集的运算规则，这里不一一赘述了。

一个模糊关系R，若对x∈X，必有R即每个元素X与自身隶属于模糊关~(x,x)=1，系R的隶属度为1。称这样的R为具有自返性的模糊关系。

一个模糊R，若对x，y∈X，均有

~(x,y)=~(y,x) R

R

~

~

~

~

~~

~

即(x,y)隶属于Fuzzy关系R和(y,x)隶属于Fuzzy关系R的隶属度相同，则称R为具有对称性的Fuzzy关系。

一个模糊关系R，若对x,y,z∈X，均

~~~

~

~(x,z)>min[~(x,y),~(y,z)] R

RR

则称R为具有传递性的Fuzzy关系。

论域A×B为有限集时，模糊关系R可以用模糊矩阵R表示。 二、模糊矩阵

例如有一组学生组成集合x

x={王二，张三，李四}

规定他们可以选学英、日、德、法四种外语中的任意几门，设这四门外语课组成的集合为y

y={英,日,德,法}

~

~~

个Fuzzy关系R如表2-2所示：

~

把上述R写矩阵形式，即得：

~

0 0 0.850.80

~

0 R= 0 0 0.95

0.87 0.65 0 0

称此矩阵为“模糊矩阵”。其中每一个元素是在[0,1]闭区间取值。这是普通关系矩阵的扩展。

设A={a1,a2,„„an}，B={b1,b2,„„bn}，则模糊矩阵可写成

r11 r12 r13  r1mr21 r22 r23  r2m

~

R=(rij)=      

    rn1 rn2 rn3  rnm

式中0

~

2.2模糊矩阵

一、模糊关系矩阵的运算

定义1：设Fuzzy矩阵A=[aij]和B=[bij]，若有 Cij=∨[aij，bij]= aij∨bij，则

~~

~

C=[Cij]

为Fuzzy矩阵的并A和B，记作C=A∪B 定义2：设Fuzzy矩阵A=[aij]和B=[bij]，若有

Cij=∧[aij，bij]= aij∧bij，则称Cij=[cij]为Fuzzy矩阵A和B的交，记作C=A∩B 例1：已知：

~~~~~

~~

~~~~~

~0.5 0.3~0.8 0.5A=， B=

0.4 0.80.3 0.7

求A∪B及A∩B。 解：

~~~~

~~0.50.8 0.30.50.8 0.5

A∪B==

0.40.3 0.80.70.4 0.8~~0.50.8 0.30.50.5 0.3

A∩B==

0.3 0.70.40.3 0.80.7

定义3：设Fuzzy矩阵A=[aij]，则[1-aij]称为A的补矩阵，记作A。 例2：已知A=解：

~~~0.8 0.4，求A。

0.3 0.2

1-0.8 1-0.4

A=1-0.3 1-0.2

=

0.2 0.6

0.7 0.8

~

~

~

~

定义4：若有Fuzzy矩阵A∩B，且A=[aij]，B=[bij]， 令C=A·B且C中的元素为

~~~~

Cij=V[aikbkj]

k1

n

则称C为Fuzzy矩阵A和B的积。 例3：已知A=解

~~~

~0.8 0.7~0.2 0.4~~

，B=，求A·B。

0.5 0.30.6 0.9

~~0.80.2  0.70.6 0.80.4  0.70.90.6 0.7

= A·B=0.50.2  0.30.6 0.50.4  0.30.90.3 0.4

工理 B·A =

~~

0.4 0.3

0.7 0.6~

~

~

~

可见，一般地说，A·B≠B·A。 二、模糊关系的应用

例1：某家中子女与父母的长像相似的关系R为

~

用模糊矩阵表示为

~0.8 0.2R =

0.1 0.6

该家中父母与祖父母的长像相似的关系S为 用Fuzzy矩阵表示为

~

~0.5 0.7S =

0.1 0

而Fuzzy矩阵的积R·S为

~~

~~0.80.5  0.20.1 0.80.7  0.200.5 0.7

R·S==

 0.10.10.5  0.60.1 0.10.7  0.600.1

把R·SFuzzy矩阵改写Fuzzy关系为

~~

这一例子说明，Fuzzy

2.3 模糊逻辑

在本世纪三十年代末期，数理逻辑已开始用于开关电路设计。四十年代末，数理逻辑和布尔代数已成为电子计算机科学的基础理论之一，这是因为电子计算机具有二值逻辑的特点。

在二值逻辑中，一个可以判断真假的句子称为命题，如果命题为真，其真值为“1”；否则，若命题为假，其真值为“0”。然而，在现实生活中存在着大量的模糊判断，如“甲个子很高”，“乙很年轻”等。随着科学技术的进步，人们在研究复杂大系统时，由于其结构复杂，且要涉及大量的参数与变量，这些都具有模糊性特点，所以二值逻辑在这些系统中就不够用了。为此人们开始研究多值逻辑和连续值逻辑。模糊逻辑是多值逻辑的发展，又是模糊推理的基础。

一、二值逻辑

在二值逻辑中，一个命题只能是“真”或“假”，两者必居其一。例如“北京在中国”是真；“二加三等于六”是假。

如果把两个或两个以上的单命题联合起来，就构成一个复命题，设P，Q为两个单命题，则复命题的构成方式有下列几种。

（1）并：表示为P∨Q，用以表示“或”的关系。 （2）交：表示为P∧Q，用以表示“与”、“及”、“且”的关系。 P、Q两命题结合后得到的真值表如表2-3所示：

（3）否定：命题P的否定记作（P）。

（4）蕴涵：蕴涵是用来表示“若„，则„”。即命题P的成立，即可推出命题Q也成立，以P→Q表示。

（5）等价：它表示两个命题的真假相同，以←→表示。 二、连续值逻辑和模糊逻辑

在多值逻辑中，如N值逻辑，逻辑值可以取0，1，2，„，N-1个。我们规定，Fuzzy命题P的逻辑值V（P）=X是在[0,1]连续闭区间内任意取值。因此，将研究Fuzzy命题的逻辑称为连续性逻辑。由于它主要用来研究Fuzzy集的隶属函数，所以也称为Fuzzy逻辑。

连续逻辑运算规则如下： 逻辑并：X∨Y=max(X,Y) 逻辑交：X∧Y=min(X,Y)

否 定： =1-X

-Y=0∨（X-Y） 限界差：X○

+Y=1∧（X+Y） 界限和：X○

界限积：X⊙Y=0∨（X+Y-1） 蕴涵：X→Y=1∧（1-X+Y）

等价：X←Y=（1-X+Y）∧（1-Y+X）

通常，一个模糊逻辑公式常称为Fuzzy函数，由于Fuzzy函数是在[0,1]区间任意取值，所以在处理Fuzzy函数中，以解析法为处理手段，与二值逻辑处理方法相比较，难度较大。最恰当的办法是在[0,1]闭区间上把Fuzzy函数变量x分成有限个等级，采用多值逻辑的方法来处理Fuzzy的逻辑问题。

例如，将[0,1]闭区间分为n个等级如下： 第一级 a1第n级 0在讨论现实问题时，我们常把闭区间分成十个相等等分，让隶属函数(x)在集合 μ=（0,0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1）

上取值。这样，Fuzzy变量的逻辑值也对应有11种，我们可以用处理多值逻辑的办法来处理Fuzzy集X和Y的隶属函数的逻辑运算。

例如x∧y，∧y，x∨y的逻辑运算，其真值表如表2-4、2-5、表2-6所示

表2-5

表2-6 三、模糊函数与模糊变量

综上所述，我们可以在[0,1]闭区间上将Fuzzy函数分成n个有限等级，再采用多值逻辑方法来处理Fuzzy函数的问题。

为简明易懂，我们以n=2为例加以分析。第一级a1f(x,y,z)= x··z∨·∨·· 试问，当Fuzzy函数的定义和基本公式，方法如下： 根据f(x,y,z)>a1，必须有

x··z≥a1 （3-1） 或 ·≥a1 （3-2） 或 ··≥a1 （3-3）

对式（3-1）分解如下：

xa1与a1与za1

其中，

a1可写成y1-a1

以此类推，可得满足f(x,y,z)的x,y,z的范围为：

xa1

第一组y1a1

za1

第二组

x1a1

y1a1

x1a1

第三组y1a1

z1a1

与上述相反，若已知Fuzzy变量的范围，也可以推出Fuzzy函数的表达式。

2.4 模糊语言

语言是思维的物质外壳，思维是语言的内容，没有思维就没有语言，没有语言就难以进行思维，两者是相辅相成的。但是，思维和语言都具有模糊性。

一、语言的模糊性

自然语言的重要特点就是它具有模糊性，带有模糊性的语言称为模糊语言。平时人们交谈中，尽管使用不少模糊句子来表达自己的思想，但这并不影响人与人之间的信息交流。因为这些词和句的模糊性使自然语言富有表达力。

在人们通常使用的自然语言里，包含了大量模糊词句。例如“白”与“黑”，“大”与“小”，“高”与“矮”，“长”与“短”以及“春”、“夏”、“秋”、“冬”等，它们之间的界限皆是模糊的。尤其是形容词、副词和动词等更存在着大量的模糊词。在对事物进行比较时，这些模糊的副词、形容词也具有浓厚的Fuzzy性，例如：“张三比李四年轻”；“王二比张三跑得快”。也就是说，当用Fuzzy词对事物进行比较时，对象不一定具有本特征，这是由于这些都是一些Fuzzy概念，从而使人们在不同条件，不同时间下产生不同的理解。

总之，模糊语言的确切定义是很难一语道破的，大致来说，它是含有意义不清的单词语言，它的隶属函数是在[0,1]闭区间取值。

二、Fuzzy语言的定量刻划

在语言学中，给一些单词以数学定义，使其定量化和数学化，这就使电子计算机接受自然语言程序，提高计算机的“智能”的首要前提。

要深入研究模糊语言，探索模糊语言形式、定量化的途径，首先要设法对模糊语言进行定量的刻划。而模糊概念和模糊词实际上是某一论域中的一些Fuzzy集合，因此，可以在语言的集合描述的基础上再引入Fuzzy算子的概念。例如用“特别”、“极”、“较”、“比较”、“约”等一类词作为算子，放在其它词前面，来加重或削弱其表达程度，常用的三种算子为：语气算子、Fuzzy算子和判定算子。

（1）语气算子：用来表达语言中的肯定程度。其中加强语气者称为集中化算子；减弱语气者称为散漫化算子。

语气算子定义如下：

~~

(HA)()[A()]

其中A()为论域U的一个模糊子集，Hλ称为语气算子，λ为一正实数。

如果论域U为年龄，而A()表示单词[老]，那么(HA)() 随着λ取不同值，就可以表示出“年老”的程度。

当λ>1时，Hλ称集中化算子。我们假设H5/4为“相当”，H2为“很”，H4为“极”，则

5

~~

[相当老](μ)= (H5A)()A()4

~

~~

4

0 ， 0505 = μ5024[1()] ,50200

[很老](μ)= (H2)()A()

~

~

2

， 0500

= μ502-2

[1()] ,50200

4~~

[极老](μ)= (H4A)()A()



， 0500

= μ502-4

[1()] ,50200

当λ

H1/2为“略”，H3/4为“比较”，其表达式仿照前述请自行推导。

2．模糊算子

模糊算子定义如下：

(FA)(μ)==(E·A)(μ)=(E(,v)∧A(υ))

υy

Δ

~~

其中=(-∞,+∞),

e(μυ), |μυ|δ

~

E(,v)=

0, |μυ|δ

式中δ为参数，其取值大小反映了模糊化的程度。 例如：A(μ)=

2

1 4

0 4

2

e(μυ), ~~|μ4|δ

则：(FA)(μ)=(E(,v)∧A(υ))=(E (μ,4)= 

υy |μ4|δ0,

图2-1中A(μ)表示一个确定的数学4，而FA(μ)则表示一个峰值为4的模糊数，它对应的词为“大约4”或记为4。

（3）判断化算子：“属于”、“接近于”、“偏向于”、“多半是”等词，是另一种算子，称为判断化算子。

判断化算子定义为

(PaA)(μ)=da[A (μ)]

其中Pa为判断化算子，da定义为在[0,1]区间上的实函数，表示为

~

~

Δ

~

0, xa

da(x)= 1, ax1-a (0a1)

1, x1-a

例如，[年青]的隶属函数为

1, 025

~()=A252-1

[1()], 252005

当μ=30μ (30)=，则

[倾向年青] (μ)=P1(μ)=d1(μ)=

2

2

0, 30

1, 30

三、模糊推理

在科学研究，最常用的推理方法是演绎推理和归纳推理。应用Fuzzy理论可以对Fuzzy命题进行模糊的演绎推理和归纳推理，我们这里主要讨论模糊演绎推理中的假言推理和条件推理。

1．假言推理 设

~~~~

A∈x，B∈y，它们的隶属函数分别为A~(x)和~(x)。条件语句为“若A则B”B

（A→B），它的隶属函数为：

~~(x,y)=[ ~(x)∧~(x)]∨[1-~(x)] (a) A

BBAA

~~

近似推理中的假言推理有如下逻辑结构： 若A，则B

~~

~如令A1，

结论B1A1(AB)

例：

设集合X={a1,a2,a3,a4,a5} 集合Y={b1,b2,b3,b4,b5}

X、Y上的模糊子集“大”、“小”、“较小”的隶属度分别表示为：

[ a1a2a3a4a5

 b1b2b3b4b5=

10.5000 a1a2a3a4a5

10.5000 12345

 a1a2a3a4a5

 b1b2b3b4b5=[ =

条件是“若x小则y大”，试问“令x为较小”，则y如何？

解法如下：

第一步：利用式(a)~（~x,y)[~(x)~(y)][1~(x)]先求出表示条件“若小大小大小

x小则y大”的模糊关系矩阵。即x,y各元素的隶属度分别代入公式，则组成一个模糊关系矩阵；

a1 a2 a3 a4 a5a10 0 0 0.5 1a0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 ~2 =R小大 ~（~x,y)= 小大a1 1 1 1 131 1 1 1a41 1 1 1 11 a5

第二步，进行合成运算。如今是“x较小”，可进行如下合成运算：

[1 0.4 0.2 0 0] ·R小大 ~

0 0 0.5 10 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 =[0.4 0.4 0.4 0.5 1] =[1 0.4 0.2 0 0]· 1 1 1 1 11 1 1 1 11 1 1 11 

这样，与[]=[0000.51]相比较，可以说，得到的结果是“y较大” b1b2b3b4b5

上述合成运算可以作为模糊推理的一种行之有效的方法，为解决较复杂的模糊推理问题打下基础。

2．模糊条件推理

在模糊自动控制中，应用较多的是模糊条件推理。

模糊条件语句的一般形式为

“若„„，则„„，否则„„”

其逻辑结构为

“A→B，A→C”或(A→B)∨(A→C) ~~~~~~

这种逻辑结构可用图2-2来表示，其中X的Fuzzy子集；

~~~~~B、C是论域Y的Fuzzy子集。图中的阴影部分表示(A→B)∨(A→C)。这也是一

种Fuzzy关系R，它是的子集，其表达式为 ~

~~~~R=(A×B)∪(A×C)

即称为模糊关系矩阵

μ∨((x,y)=[ μx)∧μy)]∨[1-μx)∧μy)]= μx,y)

这样，在模糊自动控制中，当输入为时，就能根据Fuzzy关系的合成，求得相应的输出B1为 ——~

~~~~~~~B1=A1·R=A1·[(A→B)∨(A→C)]

下面举例来说明其应用。

例1．已知Fuzzy条件语句为“若x[轻]，则y[重]，否则y[不很重]”。如今x[很轻]，试问y将如何？

其中，论域x={a1,a2,a3,a4,a5}

论域y={b1,b2,b3,b4,b5}

~A [轻]= a1a2a3a4a5

~B [重]== b1b2b3b4b5

~C [不很重]=0.960.840.640.360 12345

~~A1=A [很轻]= 10.640.360.160.04 12345

为求解“如今x很轻，试问y如何？”的问题，第一步按关系∨求出Fuzzy矩阵R —~

b4 b5b1 b2 b3 a10.2 0.4 0.6 0.8 1

~a20.2 0.4 0.6 0.8 0.8R=  a0.4 0.4 0.6 0.6 0.63a40.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.36 0.20.8 0.8 0.64a5

~R中元素的求法，按μ∨((aj,bj)=[μj)∧μ(bj)]∨[1-μj)∧μj)] —

来求出的。

第二步，在已知A1的基础上，根据Fuzzy关系的合成，求得输出B1，于是B1=A1·R ~~~~~

10.2 0.4 0.6 0.8 0.2 0.4 0.6 0.8 0.8

=[1 0.64 0.36 0.16 0.04] 0.4 0.4 0.6 0.6 0.6=[0.36 0.4 0.6 0.8 1] 0.6 0.6 0.6 0.4 0.4 0.36 0.20.8 0.8 0.64

可表示为

~B1=0.360.40.60.81 12345

用Fuzzy语言表示时，即“y近似于[重]”。

例2．Fuzzy条件语句为“若x轻，则y重，否则y不很重”。

试问：（1）若x是[重]时，y如何？（2）若x是[很很重]时，y又如何？（其余同例1） 解：若x是重时，即

~A重]=0.20.40.60.81 12345

则

~B 0.4 0.6 0.8 1]·R=[0.8 0.8 0.64 0.6 0.6]

此时y的Fuzzy子集可表示为

~B′= b1b2b3b4b5

即输出“y近似于[不很重]”。

（2）若x是[很很重]时，同上述道理一样，可推出B″的Fuzzy子集为 ~

~B″= b1b2b3b4b5

即输出“y近似于[较轻]”。

如果人们要对某一复杂的工业对象实现Fuzzy自动控制，也就是希望通过计算机来完成手工操作时由自然语言所描述的控制活动，让计算机模仿人脑的思维发出相应的操作命令。因此，就需要根据人们总结出来的手工控制规律，设计Fuzzy自动控制算法，对此首先经常要遇到的是Fuzzy条件语句和Fuzzy近似推理。把操作者的经验总结起来一般可用下列语言形式来表示：

（1）“若A则B”型，可简写成

if A then B。

例如，“如果加热炉温度偏高，则减小电流”。

（2）“若A则B否则C”型，可简写成

if A then B else C。

例如，“如果加热炉温度达到指定温度，则电流恒定，否则加大电流”。

（3）“若A且B则C”型，可简写成

if A and B then C。

~~~~~~~~~~~~~~~~

例如，“如果加热炉温度偏高且温度继续上升，则减小一些电流”。

对于复杂的系统，控制语言可能更加复杂些，如“若A且B且C则D否则E”。等等。象这类复杂系统的描述将在后面介绍。总之，Fuzzy推理在Fuzzy自动控制中得到了广泛的应用。

2.5 模糊变换、判决及关系

一、什么叫模糊变换

在线性代数中，若给出矩阵A=(aij)mn和列向量X，就可以得到

Y=AX

式中Y也是一个列向量，其各项可按下式计算：

yi=aikxk

k1n~~~~~

其中，i=1,2,„，m。

用矩阵形式可表示为

y1a11 a12 a13  a1nx1xya a a  a22232n22 21 ya a a  amm1m2m3mnxn

在模糊系统中，设有两个有限集：

U{u1,u2,,un}

V{v1,v2,,vn}

若R是U与V之间的一个Fuzzy关系， ~

~R=(rij)mxn (0≤rij≤1)

并有U上的Fuzzy子集

~A=（a1,a2,„an）(0≤ai≤1, i=1,2,„，n)

并有V上的Fuzzy子集

~B=（b1,b2,„bn）(0≤bi≤1, i=1,2,„，m)

它们之间满足B=A·R时，则称B是A的象，A是B的原象，并称R是U到V上的一个Fuzzy变换。也可以说，B是A和R的合成。其合成规则如前所述。

例如，A=（0.5,0.2,0.3） ~~~~~~~~~~~~

00.5 0.4 0.1~  R= 0.4 0.3 0.2 0.10 0.1 0.3 0.6

则

00.5 0.4 0.1~~~  B=A·R=(0.5,0.2,0.3) 0.4 0.3 0.2 0.10 0.1 0.3 0.6

=(0.5,0.4,0.3,0.3)

二、模糊决策和综合评判

在社会和经济领域中，Fuzzy决策和综合评判具有重要意义。在社会生活中，人们要对某些问题进行评判和决策，以提出和选择令人满意的方案。

决策一定是在评判的基础上进行的，否则决策方案就不会是最优的。因此评判和决策是不可分割的整体。

什么是模糊综合评判？怎样来进行评判？下面通过举例来说明。

例如，某百货公司出售某种服装，该服装是否为广大顾客所欢迎，有关因素很多，诸如花色样式，耐穿程度，价格等。那么如何评判这种服装的优劣，便是一个Fuzzy综合评判的问题。这首先要给定两个评判的有限论域U和V。其中U代表综合评判的因素所组成的集合，如被评服装的花色样式，耐穿程度，价格等等，即

U={u1,u2,„un}

V代表评语所组成的集合，如很受欢迎，比较欢迎，不太欢迎，不欢迎等等，即

V={v1,v2,„vn}

然后确定Fuzzy变换

~~~B=A·R

其中A为U上的Fuzzy子集，B是V上的Fuzzy子集

例如，设U={花色式样(u1),耐穿程度(u2),价格(u3)}

V={很欢迎(v1),比较欢迎(v2),不太欢迎(v3),不欢迎(v4)}

假设以单花色式样因素(u1)来评论的顾客中有50%表示“很欢迎”，40%表示“比较欢迎”，10%表示“不太欢迎”，没有顾客表示“不欢迎”。这一单项的评价为 ~~

~R1=(0.4,0.4,0.1,0)

同样作法，设对耐穿程度的评价为

~R2=(0.4,0.3,0.1,0)

对价格评价为

~R3=(0,0.1,0.3,0.6)

于是由R1, R2, R3可得出Fuzzy关系矩阵 ~~~

00.5 0.4 0.1~  R= 0.4 0.3 0.2 0.10 0.1 0.3 0.6

我们称为对该种服装的单因素评判矩阵。

由于评判的顾客对各因素的着眼点（也就是给各因素赋以的权数）不同，因此得到的评

判结果就不尽相同。设某顾客对u1的权数为0.5，对u2为0.2，对u3为0.3。这些权炸数应满足归一化要求，即0.5+0.2+0.3=1

这时可以得到一个Fuzzy向量

~A=(0.5,0.2,0.3)

于是，顾客对这种服装的综合评判为

00.5 0.4 0.1~~~ =(0.5,0.4,0.3,0.3) B=A·R=(0.5,0.2,0.3) 0.4 0.3 0.2 0.10 0.1 0.3 0.6

这就是综合评价的结果，因为0.5+0.4+0.3+0.3=1.5，故用1.5除各项，使其归一化，得(0.33,0.27,0.2,0.2)这是归一化后的综合评价结果。可以看出，对这种服装而言，同时考虑花色式样、耐穿程度、价格而进行的评判是“很欢迎”占的比重最大。

三、模糊关系方程

上面我们讨论了Fuzzy综合评判问题，这里给了人们一个启发，可以把Fuzzy关系R看成“Fuzzy变换器”，当A为输入，B为输出时，如图2-3所示。

如果已知输入A和变换器R，求出B，这就是综合评判，即Fuzzy变换问题。

如果已知B和R求A（或已知A和B求R）这就是即Fuzzy综合评判的逆问题，需要通过求解Fuzzy关系方程来解决。

~~~~~~~~~~~~~~~A·R=B

如果在A·R=B的Fuzzy关系中，已知B和R，需要求A，这便是求解Fuzzy关系方程问题。该方程的类型属于X·R=B型，即已知B和R求X。我们首先把它展开： ~~~~~~~~~~~~

r11 r12  r1nr21 r22  r2n（x1,x2,„xm）· =（b1,b2,b3,„bn） r r  r mnm1m2

按最小最大法则可得如下形式：

(r11∧x1)∨(r21∧x2)∨„∨(rm1∧xm)=b1

(r12∧x1)∨(r22∧x2)∨„∨(rm2∧xm)=b2

(r1n∧x1)∨(r2n∧x2)∨„∨(rmn∧xm)=bn

如果我们用“+”号代替“∨”，用“.”号代替“∧”，就可以得到与一般线性方程相同的形式。但是求解Fuzzy关系方程组要比求解线性方程组难得多。到目前为止，关于求解Fuzzy关系方程组的问题，在国内外提出过许多不同解决方法，但实用起来都有某些不方便之处。