原子物理量子力学主要知识点复习

1.爱因斯坦关系是什么？什么是波粒二象性？

其中 =2π⎧E=hv= ω

⎪

答：爱因斯坦关系：⎨ E hν h 2π

p=n=n=n= n= k⎪ccλλ⎩

波粒二象性：光不仅具有波动性，而且还具有质量、动量、能量等粒子的内禀属性，就是说光具有波

粒二象性。

2.α粒子散射与夫兰克-赫兹实验结果验证了什么？

答：α粒子散射实验验证了原子的核式结构，夫兰克-赫兹实验验证了原子能量的量子化 3.波尔理论的内容是什么？波尔氢原子理论的局限性是什么？ 答：波尔理论：

（1）原子能够而且只能够出于一系列分离的能量状态中，这些状态称为定态。出于定态时，原子不发生电磁辐射。

（2）原子在两个定态之间跃迁时，才能吸收或者发射电磁辐射，辐射的频率v由式hv=E2-E1决定 （3）原子处于定态时，电子绕原子核做轨道运动，轨道角动量满足量子化条件：mυ r=n 局限性：

（1）不能解释较复杂原子甚至比氢稍复杂的氦原子的光谱； （2）不能给出光谱的谱线强度（相对强度）；

（3）从理论上讲，量子化概念的物理本质不清楚。 4.类氢体系量子化能级的表示，波数与光谱项的关系？

μe4Z2

答：类氢体系量子化能级的表示：En=- 222

24πε0 n

⎛11⎫ˆ=R 2-2⎪,波数与光谱项的关系v

⎝2n⎭

n=2.5,3,3.5,4,

5.索莫菲量子化条件是什么，空间取向量子化如何验证？ 答：索莫菲量子化条件是pdq=nh

空间取向量子化通过史特恩-盖拉赫（Stern-Gerlach）实验验证。、 6.碱金属的四个线系，选择定则，能级特点及形成原因？ 答：碱金属的四个线系：主线系、第一辅线系（漫线系）、第二辅线系（锐线系）、柏格曼系（基线系） 碱金属的选择定则：∆l=±1,∆j=0,±1

碱金属的能级特点：碱金属原子的能级不但与主量子数n有关，还和角量子数l 有关；且对于同一n ，都比氢(H)能级低。

形成原因：原子实外价电子只有一个，但是原子实的极化和轨道的贯穿产生了影响，产生了与氢原子能级的差别

7.自旋假设内容，碱金属光谱精细结构特点？ 答：自旋假设内容：

1

（1）电子具有自旋角动量ps，它在空间任何方向上的投影只能取两个值：psz=±

2ee

=±μB （2）电子具有自旋磁矩 μs，它在空间任何方向上的投影只能取两个值：μsz=-psz=±

m2m

碱金属光谱精细结构特点：

主线系：每条谱线皆为双线且双线间隔逐渐减小，最后并入1线系限；

二辅系：也由双线组成，双线间隔固定，最后有2线系限；

一辅系：由三线组成，最外2线间隔固定且与二辅系相同，中间一条与右侧间隔越来越小，最后有与二辅系相同的2线系限。

碱金属原子的能级是一个双层结构的能级，只有s能级是单层的其余所有p、d、f等能级均为双层的。 8.电子态与原子态如何表示？什么是电子自旋轨道耦合？ 答： 电子态：电子的运动状态和量子数n、l有关，一般将主量子数n表示的状态称主壳层，角量子数 l 表示的态称子壳层。电子的状态可表示为1s、2s、2p、3d、4d、4f、5f等等。 原子态：12S1,22S1,22P1,32P3,32D5 ----n

2

2

2

2

2

层数

（表示L的S,P,D,F）J，其中电子总角动量J=轨道角

动量L+自旋角动量S。

电子自旋耦合：通过电子之间的自旋产生彼此的效果力。 9.碱土族元素光谱特点？

答：Mg的光谱与He类似。也形成两套线系，有两个主线系、两个第一辅线系、两个第二辅线系等等。Mg原子也有两套能级，一套是单层能级——单态，另一套是三层能级——三重态。单层能级间的跃迁产生单线，三层能级间的跃迁产生多线光谱。

10.LS耦合与jj耦合过程？两种耦合方式的原子态表示？ 答：略

11.泡利原理与同科电子的偶数定则是什么？

答：泡利原理：同一原子中，不能有两个电子处于完全相同的状态，也就是说，任意两个电子的状态都不完全相同

同科电子偶数定则：考虑同科电子组态为nlnl 时的原子态L=2l,2l-1, ,0;S=0,1但L+S必须为偶数 12.洪特定则与郎德间隔定则？

答：洪特定则：对于L-S耦合，给定的电子组态所形成的原子态中，重数(2S+1)最大（S 最大）的能级位置最低；重数相同的能级（S相同），L最大的位置最低。 郎德间隔定则：L-S耦合形成的一个多重能级结构中，相邻的两能级间隔与相关的二J 值中较大的成正比。

13.磁场中原子磁矩的表示及引起的能量差。 答：原子磁矩：μ=iA=

eepφ，而对于两个或两个以上电子的原子，其磁矩表达式为：μJ=gPJ 2m2me

轨道磁矩：μl=

ee ee pl=l(l+1)=(l+1)μB； 自旋磁矩：μs=ps=s(s+1)=μB； 2me2mememe

22⎡p2⎤ej-pl+ps

pj=g⋅jj+1μB。 总磁矩：μj=⎢1+⎥2

2p2m⎢⎥j⎣⎦e

能量差：∆E=MgμBB 能级间隔与能量差有关，M可取J, J-1,„,- J 共2J+1个可能值，即ΔE 取2J+1个可能值。也就是说，在磁场作用下，一个能级分裂为2J+1个。

14.磁场中角动量与磁矩运动特征。

答：磁场中角动量运动特征：角动量PJ 绕磁场方向旋进；磁矩运动特征：磁矩绕磁场方向旋进 15.顺磁、抗磁性、铁磁性的成因及塞曼效应能级图。

答：顺磁、抗磁性、铁磁性的成因：宏观磁矩的方向与磁场的方向不同，产生了不同的磁性。有些物质在磁场中磁化后，宏观磁矩的方向与磁场的方向相反，这类物质称为抗磁性物质；有些物质在磁场中磁化后，宏观磁矩的方向与磁场方向相同，这类物质称为顺磁性物质；另外还有些物质（铁、钴、

镍等），在磁场作用下，表现出比顺磁性强得多的磁性，且去掉磁场后磁性不消失，这类物质称为铁磁性物质。

16.多电子原子的壳层结构，简并度及电子态填充顺序。 答：简并度： 电子态填充顺序

17.X射线产生和测量原理是什么？布拉格公式？

答：X射线一般由高速电子打击在物体上产生。测量：通过衍射测量，X射线波长与晶体中原子的间距接近，可利用晶体作为衍射光栅进行X射线的衍射。 布拉格公式：2dsinθ=nλ 18.X射线标识谱特征是什么？

答：X射线谱由两部分组成：连续谱和标识谱。 标识谱又称特征谱，为线状光谱，由一些特定波长的谱线组成。每种元素有一套特定波长的X射线谱，成为元素的标识，所以称为标识谱。不同元素的标识谱结构相似。 19.什么是波函数的统计诠释？归一化？

答：波恩提出了德布罗意波的统计意义，认为波函数代表发现粒子的几率。发现一个实物粒子的几率同德布罗意波的波函数平方成正比。|Ψ(r)|2 的意义是代表电子出现在r 点附近几率的大小，确切的说，|Ψ(r)|2dxdydz表示在r 点附近，体积元dxdydz中找到粒子的几率。 归一化：粒子在全空间出现的几率等于1 20.S方程及定态S方程形式？

∂ 22 22

答：薛定谔方程：i ψ(r,t)=[-∇+U(r)]ψ(r,t)；定态薛定谔方程：[-∇+U]ψ(r)=Eψ(r)

∂t2μ2μ21.什么是束缚态和非束缚态？

答：对于一维无限深方势阱，粒子束缚于有限空间范围，在无限远处，ψ = 0 。这样的状态，称为束缚态。

22.什么是宇称？一维无限深势阱、谐振子及氢原子定态宇称？

答：宇称：空间反射：空间矢量反向的操作r⇒-rψ(r,t)⇒ψ(-r,t)，此时若有：ψ(-r,t)=+ψ(r,t)，

则称波函数具有正宇称（或偶宇称）； 如果ψ(-r,t)=-ψ(r,t)，称波函数具有负宇称（或奇宇称）。

一维无限深势阱：n=odd时，为偶宇称；n=even时，为奇宇称； 谐振子：ψ n的宇称由厄密多项式 Hn(ξ) 决定。 （氢原子定态宇称讨论见下面）

23.氢原子波函数中量子数的取值及含义？ 答：

24.什么是隧道效应？

答：粒子能够穿透比它动能更高的势垒的现象.它是粒子具有波动性的生动表现。当然，这种现象只在一定条件下才比较显著。

25.量子力学中的力学量由什么来表示？

答：量子力学中的力学量由厄米算符来表示？ 26. 力学量算符本征值的含义？

答：如果算符Ô代表力学量O，那么当体系处于Ô的本征态Ψ时，力学量O取确定值，该值就是算符Ô在本征态Ψ中的本征值。

27. 力学量算符本征态的特点？

答：厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交。 28.完备系（完全系）？力学量的取值及几率？

答：一组函数φn(x) (n=1,2,...)，如果任意函数Ψ(x)都可以向这组函数展开：（Ψψ(x)=∑cnφn(x)

n

(x) 应具有与φn(x) (n=1,2,...)，相同的定义域和边界条件（包括无限远点）），则称这组函数φn(x) 具有完全性（完备性），或者说函数φn(x) (n=1,2,...) 组成完全系（完备系）。

2

ˆ取λn的几率，|cλ|2dλ是在ψ态中测得力学量在λ→λ力学量取值及几率：|cn|应表示力学量F

+dλ

范围内的几率。

2. n种运动方式就有n种状态。但这n个状态的能量是相同的，这种情况叫做n重简并。

3. 相对论效应：电子椭圆轨道运动中，速度变化，而保持角动量不变，所以电子的质量在轨道运动

中是一直改变的。这种情况的效果是，电子的轨道不是闭合的，主量子数相同而角动量量子数不同的轨道速度变化不同，因而质量的变化和进动的情况完全不同。质量情况不同，其能量略有差异，从而导致原来的简并态成为非简并态，引起能量的差异，导致光谱的精细结构。

4. 波恩提出了德布罗意波的统计意义，认为波函数代表发现粒子的几率。发现一个实物粒子的几率

同德布罗意波的波函数平方成正比。|Ψ(r)|2 的意义是代表电子出现在r 点附近几率的大小，确切的说，|Ψ(r)|2dxdydz表示在r 点附近，体积元dxdydz中找到粒子的几率。 5. 一维线性谐振子的本征值E=(n+1,2, 基于波函数在无穷远处的有限性条件导致了) ω, n=0,1能量必须取分立值。

6. 对应一个谐振子能级只有一个本征函数，即一个状态，所以能级是非简并的。值得注意的是，基

态能量 E0={1/2}ħω ≠0，称为零点能。这与无穷深势阱中的粒子的基态能量不为零是相似的，是微观粒子波粒二相性的表现，能量为零的“静止的”波是没有意义的，零点能是量子效应。 7. 氢原子的能级：En=-

μe4

2 2n2

n=1,2,3,

氢原子的本征态：ψnlm(r)=Rnl(r)Ylm(θ,ϕ)，组成正交归一系。

氢原子波函数宇称：波函数的宇称将由P l m (ζ)的宇称决定，而Pl m(cosθ) 具有 ( l + m ) 宇称，则氢原子波函数的宇称与角量子数有关，根据角量子数的奇偶性改变。

8. 碱金属原子中，价电子的总角动量（也是原子的总角动量，因为原子实角动量为0）为：

⎧pl=(l+1) =l* ⎪⎪

pj=pl±ps=(l±s) =j ,即j=l±s。而确切根据爱因斯坦修正之后为：⎨ps=s(s+1) =s*

⎪*p=j(j+1) =j ⎪j⎩

9. 力学量算符的要求：

1、 力学量算符必须是线性算符

3、 力学量算符为线性厄密算符，其中：坐标算符x(c1ψ1+c2ψ2)=c1xψ1+c2xψ2、动量算符

ˆx(c1ψ1+c2ψ2)=c1pˆxψ1+c2pˆxψ2均为线性厄密算符 p

10. 算符之积一般不满足交换律，即ÔÛ ≠ ÛÔ（因为(ÔÛ) Ψ= Ô (ÛΨ) ，而(ÛÔ) Ψ= Û (ÔΨ) ，一般不等）。这是算符与通常运算规则的重要不同之处。

ˆ=-i ∇，单位算符Iˆ均为线性算符。 11. 动量算符p

12. 如果(ÛΨ)*= Û*Ψ*，则Û*称为算符Û的复共轭算符。相当于把Û表达式中的所有量换成复共轭。

~+ˆˆ* 13. 厄密共轭算符相当于复共轭算符和转置算符的综合。O=O

ˆφdτ =φ(Oˆ+=Oˆ）的算符称为厄密算符。厄密算符就是厄密共轭算符14. 满足⎰ψ*O⎰ˆψ)*dτ（或者O

与自身相等的算符，（转置的复共轭算符是其本身）。

ˆψ=λψ。则称λ为算符Ô的本15. 如算符Ô作用于一个函数Ψ，等于一个常数与该函数的积，即 O

征值，Ψ为属于（对应）本征值λ的本征函数，这一方程称为算符Ô的本征值方程。

2

ˆ=-16. H∇2+U(r)，哈密顿算符将动量换成了动量算符。这反映了从力学量的经典表示得出量子2μ

力学中表示该力学量算符的规则：如力学量O在经典力学中有对应的力学量O(r,p)，则表示这个力学量的算符Ô可由经典表示式O(r,p)中将r、p换为其对应的算符而得出，即

ˆ=rˆ⨯pˆ=-i rˆ=Orˆ,pˆ=O(r⨯∇ O,-i ∇)。例如：角动量算符：L

()

17. 动量 p 的本征函数再乘以因子exp[(-i/ )Et]，就是自由粒子的波函数。动量 p 可连续取值，即组

成连续谱。对于自由粒子，其运动不受限制，可在空间任何位置出现，全空间的几率总和不是有

限值，所以波函数不能归一化为1，而只能归一化为δ函数。动量 p 的本征函数可取为：

(r)=ψp

⎛i ⎫

exp p⋅r⎪ 3⎝ ⎭(2π )

1

18. 采用箱归一化的方法进行变换可以把连续本征值的动量本征函数，转化为分立本征值求解，最后

在当 L → ∞ 时，变回连续谱进行分析 19. 在箱式边界条件中：

（1）由 px = 2nx π / L, py = 2ny π / L, pz = 2nz π / L,可以看出：相邻两本征值的间隔 ∆ p = 2 π / L 与 L 成反比。当 L 选的足够大时，本征值间隔可任意小，当 L → ∞ 时，本征值变成为连续谱； （2）从这里可以看出，只有分立谱才能归一化为1，连续谱归一化为 δ 函数；

（3）ψ p(r) ⨯ exp[–iEt/ ] 就是自由粒子波函数，在它所描写的状态中，粒子动量有确定值，该确定值就是动量算符在这个态中的本征值 ；

（4）周期性边界条件是动量算符厄密性的要求。

20. 厄密算符本征函数的正交性（厄密算符本征函数总可以取为正交归一化，即组成正交归一系）

（1） 厄密算符属于不同本征值的本征函数相互正交 ⎰φm*φndτ=0

（2） 厄密算符本征函数总可以取为正交归一化的，即组成正交归一系。

⎧=1,m=n

1. 分立谱正交归一条件为：⎰φm*φndτ=δmn=⎨

=0,m≠n⎩2. 连续谱正交归一条件为：⎰φλ*φλ'dτ=δ(λ-λ')

3. 满足上述正交归一化条件的函数系φn 或φλ ，就称为正交归一（函数）系。

⎧x

ˆx-pˆxx=i 。但是坐标算符与其非共轭动量对易，各动量之间相互对21. 算符⎨ xp不对易。∂

ˆp=-i ⎩x

ˆβ-pˆβxα=i δαβ；pˆαpˆβ-pˆβpˆα=0 易。xαp

ˆˆˆ 【自旋角动量S同样】 ˆˆˆ22. 角动量算符的对易关系：[Lx,Ly]=i Lz-------------- L⨯L=i L

ˆ时，ˆ和G23. 当在 ψ 态中，测量力学量F如果同时具有确定值，那么ψ 必是二力学量共同本征函数。

。例如：

ˆ,Lˆ2,Lˆ⎧氢原子中：H两两对易；z

⎪ 共同完备本征函数系：ψ(r)=Rnl(r)Ylm(θ,ϕ)⎨nlm⎪

En,l(l+1) 2,m .⎩同时有确定值：

ˆ22⎧Lˆˆ,Lˆ两两对易；⎪空间转子：H=,Lz2I⎪

⎪⎧l=0,1,2, 共同完备本征函数系：Y(θ,ϕ) ⎨⎨lm

⎩m=0,±1, ±l⎪

⎪l(l+1) 2⎪同时有确定值：El=,l(l+1) 2,m .

2I⎩

24. 测不准关系反映了两个不对易的力学量不确定度的大小，是反映力学量关系的重要公式。

ˆ的本征值为：Q1、Q2、...、Qn、...，相应本征函数为：u1(x), 25. 波函数表现方式：设算符Q

ˆ本征态展开： u2(x), ...,un(x), ...，则任意态Ψ(x,t)可向Qψ(x,t)=∑an(t)un(x)

n

an(t)=⎰un*(x)ψ(x,t)dx，

ˆ表象中的表示。 则a1(t)、a2(t)、...、an(t)、...，就是波函数Ψ(x,t)所描写状态在 Q

ˆψ，且在Qˆ表象中波函数可以用分立谱展开26. 算符在一般表象中的表示形式：根据算符定义Φ=F

⎧ψ(x,t)=∑am(t)um(x)

⎪m*ˆ(x,-i )u(x)dx。 ，则有bn(t)=∑Fnmam(t)，其中Fnm=⎰un(x)F⎨m∂xΦ(x,t)=b(t)u(x)m∑mm⎪

m⎩

⎛010⎫

⎪ 2ˆˆˆˆˆ27. Lx、Ly、Lz在L、Lz共同表象Ylm(θ,ϕ)，l =1子空间的表示矩阵Lx= 101⎪，

2 ⎪⎝010⎭

⎛0-i0⎫⎛100⎫

⎪ ⎪

Ly=i0-iL= 000） ⎪z ⎪（算符在本身表象中肯定为对角阵！

2 00-1⎪0⎪⎝⎭⎝0i⎭

28. 对于在本身表象中的算符表示，即以对角阵的方式，其对角元素即为该算符的本征值。例如：Ĥ(0)

ˆ(0)是对角矩阵H

⎛100⎫

⎪

= 030⎪，是Hamilton Ĥ(0)在自身表象中的形式。所以能量的0级近似为： 00-2⎪⎝⎭

E1(0) = 1 ；E2(0) = 3； E3(0) = - 2

⎧ˆn=nn-⎪a

ˆn=n-为产生算符，29. 产生湮灭算符：用狄拉克算符表示：⎨其中a

+

ˆn=n+1n+⎪⎩a

⎧α⎛1⎫

ˆˆˆa=x-p ⎪⎪2

i α2⎪⎝⎭ˆ=aˆ+aˆ称为粒子数算符是厄密算符。 ˆ+n=n+1n+为湮灭算符。⎨。Na

α⎛1⎫⎪aˆ+=ˆ+ˆp x⎪2⎪i α⎭2⎝⎩

30. 产生湮灭算符性质：

ˆ

ˆ,aˆ+]=1=I1. 对易姓：[a

a、

ˆ|n>=aˆ+aˆ|n>=aˆ+n|n-1>=n(n-1)+1|n>=n|n> 3. N

量子力学基本假设

1、 波函数完全描述粒子的状态.

2、 波函数随时间的演化遵从 Schrödinger 方程.

3、 力学量算符：量子力学中，力学量用厄密算符表示，其本征函数组成完全系且满足正交归一化条

件。有经典对应的力学量算符，可由经典表示式中将p换为 -i ∇（r不变）得出。

ˆΦ=λΦ⎧⎪Fnnnˆ4、 力学量取值的几率分布：体系状态波函数Ψ可向力学量F的本征函数Φ展开：⎨，ˆ⎪⎩FΦλ=λΦλ

*ˆψ=∑cnΦn+⎰cλΦλdλ其中cn=⎰Φ*nψdτ,cλ=⎰Φλψdτ。则在Ψ态中测量力学量Fn为λn的几率

n

是|cn|，得到结果在λ→λ+dλ范围内的几率是|cλ

2

|dλ

2

。