高考向量的重点知识总结
高考向量考点总结 1. 向量的概念
(1)向量的基本概念
①定义既有大小又有方向的量叫做向量。向量的大小也就是向量的长度,叫做向量的模。 ②特定大小或特定关系的向量
零向量,单位向量,共线向量(平行向量),相等向量,相反向量。 ③表示法:几何法:画有向线段表示,记为AB 或α。
④在坐标系下,平面上任何一点都可用一对实数(坐标) 来表示取x 轴、y 轴上两个单位向量i , j 作基底,则平面内作一向量a =xi +yj ,记作:a =(x, y) 称作向量a 的坐标.
AB =(x2-x 1,y 2-y 1) ,其中A(x1,y 1),B(x2,y 2) (2)向量的运算
①向量的加法与减法:定义与法则(如图5-1):
a+b=(x1+x2,y 1+y2), a-b =(x1-x 2,y 1-y 2) 。其中a =(x1,y 1), b =(x2,y 2) 。 运算律:a+b=b+a,(a+b)+c=a+(b+c),a+0=0+a=a。 ②向量的数乘(实数与向量的积)定义与法则(如图5-2):
λa=λ(x,y)=(λx, λy)
(1)︱λa ︱=︱λ︱·︱a ︱;
(2) 当λ>0时,λa 与a 的方向相同;当λ<0时,λa 与a 的方向相反; 当λ=0时,λa =0.
(3)若a =(x 1, y 1),则λ·a =(λx 1, λy 1).
运算律
λ(μa )=(λμ)a,( λ+μ)a=λa+μa, λ(a+b)= λa+λb 。 3. 平面向量的数量积定义与法则(如图5-3): (1).向量的夹角:已知两个非零向量a 与b ,作OA =a , OB =b , 则∠AOB=θ (0≤θ≤180)叫做向量a 与b 的夹角。 (2).两个向量的数量积: 已知两个非零向量a 与b ,它们的夹角为θ,则
a ·b =︱a ︱·︱b ︱cos θ.
其中︱b ︱cos θ称为向量b 在a 方向上的投影.
(3).向量的数量积的性质:a ·b =b ·a ,(λa ) ·b =a ·(λb )=λ(a ·b ),(a +b )·c =a ·c +b ·c 。若a =(x 1, y 1), b =(x 2, y 2)则a ·b =x 1x 2+y 1y 2 (ⅰ)a ⊥b ⇔a ·b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0(a ,b 为非零向量); ⎧x 1x 2+y 1y 2>0(ⅱ)向量a 与b 夹角为锐角⇔⎨
⎩(x 1, y 2) ≠λ
(x 2, y 2)
⎧x 1x 2+y 1y 2
向量与夹角为钝角 ⇔a b ⎨(ⅲ)
(x , y ) ≠λ(x , y ) 22⎩12
4. 定理与公式
① 共线定理:向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ,使得b=
λ
注意:1︒消去λ时不能两式相除,∵y 1, y2有可能为0, ∵b ≠0∴x 2, y2中至少有一个不为0
y y
2︒充要条件不能写成1=2 ∵x 1, x2有可能为0
x 1x 2
a 3︒向量共线的充要条件有两种形式:∥b (b ≠0) ⇔
a =λb 或x 1y 2-x 2y 1=0
②平面向量基本定量:如果e 1,e 2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量a ,有且只有一对实数λ1, λ
③两向量垂直的充要条件
2使a
=λ
1e 1+λ2e 2
(i) a ⊥b ⇔a ·b =0 (ii) a ⊥b ⇔x 1·x 2+y1·y 2=0(a =(x1,y 1), b =(x2,y 2) ) ④三点共线定理:平面上三点A 、B 、C 共线的充要条件是:存在实数α、β, 使OA =αOB +βOC ,其中α+β=1,O 为平面内的任一点。
⑤数值计算公式
两点间的距离公式:|P 1P 2|=(x 2-x 1) 2+(y 2-y 1) 2,其中[P1(x1,y 1),P 2(x2,y 2)] P 分有向线段P 1P 2所成的比:
设P 1、P 2是直线l 上两个点,点P 是l 上不同于P 1、P 2的任意一点,则存在一个实数λ使
P 1P =λP P 2,λ叫做点P 分有向线段P 1P 2所成的比。
当点P 在线段P 1P 2上时,λ>0;当点P 在线段P 1P 2或P 2P 1的延长线上时,λ<0; 分点坐标公式:若P 1P =λP P 2;(x 1, y 1), (x , y ), (x 2, y 2);P 1, P , P 2的坐标分别为
x 1+λx 2x 1+x 2⎧⎧
x =x =⎪⎪⎪⎪1+λ2则:⎨ 中点坐标公式:⎨
y +λy y +y 22⎪y =1⎪y =1
⎪⎪1+λ2⎩⎩
两向量的夹角公式:cos θ=
a ·b |a |·|b |
=
x 1x 2+y 1y 2x +y
2
1
21
∙x +y
2222
0≤θ≤180°,a=(x1,y 1),b=(x2,y 2)
⑥图形变换公式: 平移公式:若点P 0(x,y)按向量a=(h,k)平移至P(x′,y ′) ,
⎧x ' =x +h , 则⎨
y ' =y +k . ⎩
⑦有关结论
(i)平面内有任意三个点O ,A ,B 。若M 是线段AB 的中点,则OM =
12
(OA +OB );
一般地,若P 是分线段AB 成定比λ的分点(即AP =λPB ,λ≠-1)则
1λ
OA +OP =OB ,此即线段定比分点的向量式 1+λ1+λ
(ii)有限个向量,a 1,a 2, …,a n , 相加,可以从点O 出发,逐一作向量OA 1=a1, A 1A 2=a2, …, A n -1A n =an , 则向量OA n 即这些向量的和,即
a 1+a2+…+an =OA 1+A 1A 2+…+A n -1A n =OA n (向量加法的多边形法则)。
当A n 和O 重合时(即上述折线OA 1A 2…A n 成封闭折线时),则和向量为零向量。 注意:反用以上向量的和式,即把一个向量表示为若干个向量和的形式,是解决向量问题的重要手段。
5. 向量应用
(1)向量在几何中的应用(2)向量在物理中的应用 6. 主要思想与方法:
本章主要树立数形转化和结合的观点,以数代形,以形观数,用代数的运算处理几何问题,特别是处理向量的相关位置关系,正确运用共线向量和平面向量的基本定理,计算向量的模、两点的距离、向量的夹角,判断两向量是否垂直等。由于向量是一新的工具,它往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查,是知识的交汇点。