第四讲 导数及其应用
第四讲 导数及其应用
一. 复习方略
(1).在解决函数、导数、不等式的综合问题时,应善于以函数为主线,以导数为工具,合理进
行等价转化,充分利用数形结合方法解题。
(2).要特别关注对某些不等式的证明、方程根的存在范围或个数讨论问题。其基本方法是构造
函数,然后利用导数分析其单调性和极值、最值,概括其函数值分布,进而推出相应结论。最好画出其单调性示意图,以加强直观理解。
热点3. :利用导数研究函数的最值问题
例3. 已知函数f (x ) =x -ln(x +a ) 的最小值为0,其中a >0.
(Ⅰ)求a 的值;
(Ⅱ)若对任意的x ∈[0, +∞), 有f (x ) ≤kx 成立,求实数k 的最小值;
2
二.知识点小题训练
1. 如右下图, 函数y =f (x ) 的图象在点P 处的切线方程是
y =-2x +9,则f (4) +f /(4) 的值为2. 曲线y =xe x +2x +1在点(0,1)处的切线方程为 3. f (x ) =x (x -c ) 在x =2处有极大值,则常数c 的值为____
2
四.误区解悟
1. 在解题中误将必要条件作充分条件或将既不充分与不必要条件误作充要条件使用,导致错误
结论,务必要把握好以下四个关系:
(1)f '(x ) >0是f (x ) 为增函数的充分不必要条件
(2)当f '(x ) ≠0时,f '(x ) >0是f (x ) 为增函数的充分必要条件 (3)f '(x ) ≥0是f (x ) 为增函数的必要不充分条件
例:已知函数f (x )=ax +3x -x +1上是减函数,求a 的取值范围。(-∞, -3]
3
2
4.函数f (x ) =2x 3-6x 2+m (m 为常数)在[-2,2]上的最大值是3,则m 三.热点解读
热点1. :利用导数解决曲线的切线问题
1
,(a , b Z ) ,曲线y =f (x ) 在(2,f (2))处的切线方程为y =3. 例1. 设函数f (x ) =ax +
x +b
(1).求f (x ) 解析式; (2) 证明曲线y =f (x ) 上任意一点的切线与直线x =1和直线y =x 所围
三角形的面积为定值, 并求出此定值.
热点2. :利用导数研究函数的单调性问题
(4)f '(x 0)=0是x 0为极值点的必要而不充分条件,检验这一步骤必不可少。 例1. 是否存在这样的K 值,使函数f (x )=k x -
2
4
231
x -kx 2+2x +在(1,2)上递减,在32
(2, +∞)上递增?
答案:k =
1
。(提示据题意结合函数的连续性知f '(2)=0,但f '(2)=0是函数在(1,2)上递2减,在(2, +∞)上递增的必要条件,不一定是充分条件因此由f '(2)=0求出K 值后要检验。)
3
2
2
例2. 函数f (x )=x +ax +bx +a 在x =1时有极值10,则a 的值为 。
2
解析:f '(x )=3x +2ax +b ,由于当x =1时函数取得极值10,故必有f '(1)=3+2a +b =0
2
①;f (1)=a +b +a =10②; 联立①②得a =-3或a =4,但当a =-3时,b =3,此时
1312
x -ax +(a -1)x +1在区间(1,4)内为减函数。 32
(1)求实数a 的取值范围; (2)若减为区间(1,4),试求实数a 的取值范围;
例2. 若函数f (x ) =
(3)若在区间(1,4)内为减函数,在区间(6, +∞)内为增函数,试求实数a 的取值范围。
f (x )=3x 2-6x +3=3(x -1)≥0,此时虽有f '(1)=0,但由极值定义可知当x =1时函数值不是极值,故a =4。
2. 求参数取值范围问题注意区间端点,对于给定的开区间,若函数在区间端点处有意义应视为
闭的!
3
例:已知函数f (x ) =-x +2ax , 若f (x ) 在区间(0, 1) 上是增函数, 则a 的取值范围
2
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是 .a ? , ÷
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第四讲 导数及其应用课后训练
1.直线y =
1
2
x +b 是曲线y =ln x (x >0) 的一条切线,则实数b =2.函数f (x ) =x 3-3bx +3b 在(0,1)内有极小值,则b 的取值范围为3.已知f (x ) =2x 3-6x 2+m (m 为常数)在[-2,2]上有最大值3,那么此函数在[-2,2]
上的最小值是 4.已知函数f (x ) =x 3+ax 2+bx +27在x =-1处有极大值,在x =3处有极小值,则
a +b =________.
5.已知函数f (x ) =ax +cos x 在R 上是减函数,则实数a 的取值范围是 6.设函数f (x ) =x 3
-12
x 2
-2x +5,若对任意x ∈[-1,2],都有f (x )>m ,则实数m 的取值范围是________.
7.点P 是曲线y =x 2
-ln x 上任意一点,则点P 到直线y =x -2的最小距离为8. 设曲线y =x
n +1
(n ∈N *) 在点(1,1)处的切线与x 轴的交点的横坐标为x n , 令a n =lg x n ,则
a 1+a 2+ +a 99的值为
9.若曲线f (x ) =ax 2+ln x 存在垂直于y 轴的切线,则实数a 的取值范围是x 10.已知函数f (x ) =(x -k ) 2
e k
.
(1)求f (x ) 的单调区间; (2)若对∀x ∈(0,+∞) ,都有f (x ) ≤1
e
,求k 的取值范围。
11. 已知函数f (x ) =
13x 3-(k +1) 2x 2, g (x ) =13
-kx 且f (x ) 在区间(2, +∞) 上为增函数. (1)求k 的取值范围;
(2)若函数f (x ) 与g (x ) 的图象有三个不同的交点,求实数k 的取值范围.
12.设f (x ) =a ln x +
12x +3
2
x +1, 其中a ∈R ,曲线y =f (x ) 在点(1,f (1))处的切线垂直于y 轴. (Ⅰ) 求a 的值; (Ⅱ)求函数f (x ) 的极值.