2016年第二十六届希望杯初二第1试(含参考答案)

第二十六届“希望杯”全国数学邀请赛

初二 第1试试题

2015年3月15日 上午8:30至10：00 一、 选择题（每小题4分，共40分）

1.若a+b=10,ab=24,则a²+b²的值是（ ）

(A) 48 (B)76 (C)58 (D)52

2.若一次函数y=x+5的图像经过点P(a，b)和Q(c,d),则ad+bc-ac-bd的值是（ ） (A) 9 (B)16 (C)25 (D)-25 3.已知

为

的平方根，则满足此关系的x的值得个数是（ ）

(A) 4 (B)3 (C)2 (D)1

4.Suppose a is an integer ,solutions to the equation ax+5=4x+1 are positive integers. Then the number of a is( )

(A) 2 (B)3 (C)4 (D)5

5.在菱形ABCD中，若∠DAB=60°，AC=12，则菱形对角线交点到各边的距离之和是（ ） (A) 3 ( B)4

(C)

(D)12

6.如图1所示，点M,N,P,Q分别是边长为1的正方形ABCD各边的中点，则阴影部分的面积是（ ） (A)

(B) (C) (D)

7.如图2所示，字母A到G分别代表1到7中的一个自然数， 若A+G+D,B+G+E,C+G+F分别被3除，都余1，则G是（ ） (A) 1或4 (B) 1或7 (C ) 4或7 (D) 1或4或7 8.下列说法：

①平行四边形包含矩形、菱形和正方形 ②平行四边形是中心对称图形

③平行四边形的任一条角平分线可把平行四边形分成两个全等的三角形 ④平行四边形两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形 其中正确说法的序号是( )

(A) ①②④ (B) ①③④ (C ) ①②③ (D) ①②③④ 9.有一列数：10,2,5,2,1,2，x，（x是正整数），若将这列数的平均数、中位数及众数依照大小次序排列，恰好中间的数是左、右两个数的平均数，则x可能取得值得和是（ ） (A) 3 (B)9 (C)17 (D)20

10.对于自然数m，如果m能够整除1³2³²²²³（m-1），那么称m为“公除数”，则4到20（包括4和20）的自然数中，“公除数”的个数是（ ）

(A) 9 (B) 10 (C ) 11 (D) 12

二、 A组填空题（每小题4分，共40分） 11.若

,

,则

,则

a+b=_____________

12.已知a，b都是有理数，且

13.已知a+b+c=1.

14.已知m，n是实数，且当x>2015时，

15.设a,b,c都是正整数，且1

16.若关于x,y的方程组

与方程组的解相同，则a+b=___________

17.As shown in the Fig.3,B and C are points on AD in △AED. AB=CD,EB=EC=10,BC=12. The perimeter of △AED is twice the perimeter of △

EBC. Then

.

( S△AED represents the area of △AED, S△EBC represents the area of △EBC) .(英汉小词典；perimeter 周长，area 面积) 18.若

19.如图4所示，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD, 且AB=21，AD=9，BC=DC=10，则AC=_______ 20.已知

三、B组填空题（每小题8分，共40分）

21.若xy>0,则点(x,y)在直角坐标系中位于第_____象限或第_____象限 22.已知

,则x+y的值等于______或_________

23.如图5所示，C在线段AB上，在AB的同侧作等边△ACM和△BCN, 连接AN,BM.若∠MBN=38°，则∠AMB=_____度，∠ANC=_______度 24.下面是一个按某种规律排列的数阵：

根据数阵排列的规律，第5行从左向右第5个数位________，第n（n≥3,且n是整数）行从左向右第5个数是_____(用含n的代数式表示

)

25.长为

的三条线段可以构成三角形，则自然数n=_____或________.

答案详细解析

2015年3月15日 上午8:30至10：00 三、 选择题（每小题4分，共40分）

1.若a+b=10,ab=24,则a²+b²的值是（ ）

(A) 48 (B)76 (C)58 (D)52

解析：因为（a+b）²=a²+b²+2ab，代入得 10²=a²+b²+48，a²+b²=100-48=52

这是完全平方公式 （a+b）²=a²+b²+2ab 公式得变式应用，把a+b ,a²+b²,ab 看做一个整体，知道其中2个求第三个式子都可以，只要把其中2个值代入即可求得，这是数学的整体思想。

a²+b²=a²+b²+2ab-2ab=（a+b）²-2ab 这一个过程将a²+b²不上一个中间项配凑成一个完全平方公式，这个过程叫做配方，配方在以后的求二次方程，二次函数的应用比较多。

还有一种方法：韦达定理 a+b=10,ab=24，以a，b为解的方程是x²-（a+b）x+ab=0即 x²-10x+24=0的解。解得a=4，b=6或者a=6，b=4

纯粹用方程的方法也可以，以a，b为未知数解这个方程组，求a，b。

最简单的方法是 第一种整体思想，这个可以推广到另一个（a-b）²=a²+b²-2ab也同样可以。例如 已知 a²+b²=10，a-b=-4,求ab

2.若一次函数y=x+5的图像经过点P(a，b)和Q(c,d),则ad+bc-ac-bd的值是（ ） (A) 9 (B)16 (C)25 (D)-25

解析: 通法:把P,Q坐标代入函数表达式可得a+5=b ,c+5=d, 则ad+bc-ac-bd

=a(c+5)+(a+5)c-ac-(a+5)(c+5) =ac+5a+ac+5c-ac-ac-5(a+c)-25 =-25

特殊值法：由于a，b，c，d的值是不确定的，但只要满足表达式有y=x+5就可以，所以取2组特殊值。例

取a=0,b=5，取c=1，d=6代入。因为这是选择题，无论a，b，c，d的值是多少，最终结果是一个定值，只要取值满足y=x+5就可以了。 3.已知

为

的平方根，则满足此关系的x的值得个数是（ ）

(A) 4 (B)3 (C)2 (D)1 解析:所以

-本身就是一个完全平方式子，可化简得平方根为±

，对于方程

，所以

±

,注意一个正数的平方根有2个，

，展开得2个方程

或

5x²-4x=0 ，得x=0或4/5

对于方程-，3x²-4x+2=0 用求根公式应有2个解= 为什么答案是2个，求解答？？我

个人认为有四个值。

4.Suppose a is an integer ,solutions to the equation ax+5=4x+1 are positive integers. Then the number of a is( )

(A) 2 (B)3 (C)4 (D)5

解析：翻译结果为“ 若a是整数，方程ax+5=4x+1的解是正整数，则a的值有几个______ (integer 整数，positive integers 正整数)

这个方程 化简为(a-4)x=-4,

,若，则a-4=-1或-2或-4，所以有3个。

5.在菱形ABCD中，若∠DAB=60°，AC=12，则菱形对角线交点到各边的距离之和是（ ）

(A) 3 ( B)4

(C) (D)12

解析: 如右图，所求为OP的4倍，在Rt△OPC中，∠OCP=30°， 所以由30°所对的直角边等于斜边的一半。

直角边OP是斜边OC的一半，OP=3,所求12.

6.如图1所示，点M,N,P,Q分别是边长为1的正方形ABCD各边的中点，则阴影部分的面积是（ ）

(A)

(B) (C) (D)

解析：图中所有的直角三角形为相似三角形。可证中间阴影部分 图形为一个正方形。（证明略）只要求出其边长即可

OR是ΔOBC

OR是CO

1

2=5

1

1

7.如图2所示，字母A到G分别代表1到7中的一个自然数， 若A+G+D,B+G+E,C+G+F分别被3除，都余1，则G是（ ） (A) 1或4 (B) 1或7 (C ) 4或7 (D) 1或4或7

解析:1~7被3除结果又3类，分为3组， 1,4,7被3除余1 2,5被3除余2,

3,6被3整除 G是1,4，7的其中一个，都是 被3除余1，则另外2个只要满足和能被

3整除，

8.下列说法：

①平行四边形包含矩形、菱形和正方形 ②平行四边形是中心对称图形

③平行四边形的任一条角平分线可把平行四边形分成两个全等的三角形 ④平行四边形两条对角线把平行四边形分成四个面积相等的三角形 其中正确说法的序号是( )

(A) ①②④ (B) ①③④ (C ) ①②③ (D) ①②③④

解析; 第三个 应为 任一条对角线才行。

9.有一列数：10,2,5,2,1,2，x，（x是正整数），若将这列数的平均数、中位数及众数依照大小次序排列，恰好中间的数是左、右两个数的平均数，则x可能取得值得和是（ ） (A) 3 (B)9 (C)17 (D)20

解析：按从大到小排列为10,5,2,2,2,1 ，x未知，不插入排列，众数为2，无论x为多少，中位数仍为2，平均数为

10.对于自然数m，如果m能够整除1³2³²²²³（m-1），那么称m为“公除数”，则4到20（包括4和20）的自然数中，“公除数”的个数是（ ）

(A) 9 (B) 10 (C ) 11 (D) 12

解析：只要是不是质数，但4除外，都是公除数， 6,8,9，10,12,14,15,16,18,20都是 四、 A组填空题（每小题4分，共40分） 11.若

,

,则

，无论x为何值，中间数为2，

与题目x是正整数相矛盾，无解？？？？？？？？

解析;

12.已知a，b都是有理数，且解析：

,则a+b=____________

也是有理数，

，

因为a，b是有理数，故左边(a+1)也是有理数，

但右边是则

必为无理数，若等式成立，则

，(a+1)=0 ，得到a=-1，b=-1,z则a+b=-2

13.已知a+b+c=1.

解析：=1+.

14.已知m，n是实数，且当x>2015时，

解析 ： 恒成立，值与x无关，则m+n=5,2(m-n)=2

则

15.设a,b,c都是正整数，且1

解析:因为2015=1*5*13*31 ,分解因数有1,5,13,31，因为1

16.若关于x,y的方程组

与方程组的解相同，则a+b=___________

解析： 这四个方程共解，解方程组 解得，代入剩余的2个方程得到以a，b为未知数的方

程组

，解得 ，所以a+b=6+2=8

17.As shown in the Fig.3,B and C are points on AD in △AED. AB=CD,EB=EC=10,BC=12. The perimeter of △AED is twice the perimeter of △

EBC. Then

.

( S△AED represents the area of △AED, S△EBC represents the area of △EBC) .(英汉小词典；perimeter 周长，area 面积)

解析;翻译 如图3，B和C是△AED中AD边上的两点，

已知AB=CD,EB=EC=10,BC=12，△AED的周长是△EBC周长的2倍，求△AED和△EBC的面积之比。 以AD所在直线为底边，E为顶点，两个三角形高相等，所求面积比等于底边AD,BC的比。

可证△ABE≌△CDE,可得AE=DE, 由周长比可得

设DF=x，则DE=26-CD=26-(DF-CF)=26-(X-6)=32-x X²+8²=（32-x）²解得x=15，即DF=15，所以AD=30，

面积比等于AD:BC=30：12=5：2

x 18.若

解析:同理代入得

是6点多，它的小数部分b=

（1

=-2

=

19.如图4所示，四边形ABCD中，对角线AC平分∠BAD, 且AB=21，AD=9，BC=DC=10，则AC=_______

解析;在AB上截取AE=AD,连接CE,则△ADC≌△AEC 129

所以AE=AD=9，CE=CD=10，

所以△BCE是等腰三角形，过C做△BCE的高CF,则EF=6，由勾股定理求出CF=8,在△AFC中再用勾股定理求出 AC=17

20.已知

解析;，，。。。。可知，下标为奇数时值为，下标为偶数时，

值为.所以

三、B组填空题（每小题8分，共40分）

21.若xy>0,则点(x,y)在直角坐标系中位于第_____象限或第_____象限 22.已知 解析;则,又因为

都是非负数，又和为零，即互为相反数，

，2-|x|=0,1-|y|=0，x=±2，y=±1，

，x-y

,则x+y的值等于______或_________

X+y=-1或-3

23.如图5所示，C在线段AB上，在AB的同侧作等边△ACM和△

连接AN,BM.若∠MBN=38°，则∠AMB=_____度，∠ANC=_______ 24.下面是一个按某种规律排列的数阵：

根据数阵排列的规律，第5行从左向右第5个数位________，第n（n≥3,且n是整数）行从左向右第5个数是_____(用含n的代数式表示)

解析每一行的最后一个数位1,2,3,4,5….所以第n-1行最后一个是n-1，所以下一个数是第4行最后一个是

4= 所求的第5个数

每一行的最后一个数位1,2,3,4,5….所以第n-1行最后一个是n-1，所以下一个数是第5个数位 25.长为

解析 :从竞赛角度讲，自然数0,1,2,3，…,依次取1,23可知1,2符合要求。两个空，送分啊。 如果要讨论的话，证明 当n≥3时，

就会有

不满足三边关系。

的三条线段可以构成三角形，则自然数n=_____或________.

，第5行开始是