燕尾定理的应用
燕尾定理的应用
例题:如下图,在平行四边形ABCD 中,BE=EC,CF=2FD,求阴影的面积和空白的面积的比。
【分析】题目中的阴影部分的面积不规则,但有边的倍比关系,可以考虑将边的倍比关系转化为面积之间的关系。
【解析】连接CG ,CH ,AC 交BD 于点O ,如下图,
设S △BEG =a ,根据燕尾定理得
S △BEG =S △EGC =
S △AGC 11111S △ABG =S △AGC , S △DHF =S △CFH =S △AHD =S △ACH , 又因为222361=S △ACH , 所以S △BEG =3S △DHF , S △AGO =S △CGO =S △ABG . 2
S ∆AO H =S ∆H O C =S ∆AH D ,所以S □ABCD =4S ∆ABO =(4a +2a) =12a ,
S 阴=S ∆BEG +S ∆AG H +S ∆D FH =a +2. 5a +0. 5a =4a ,S 空=12a -4a =8a , 所以阴影与空白的面积比为2a:4a=1:2
【解法二】设S △BEG =a ,则S ∆EG C =S ∆G CO =S ∆AG O =a ,S ∆ABG =2a ,设S ∆HFD =b ,则S ∆HFC =2b ,设S ∆H O C =x , 则S ∆AH O =S ∆H CO =x ,
S 阴a +a +x +b 1。 =S 空a +a +2a +x +x +2b 2
【评析】连接CG 、CA 、CH ,构造燕尾定理模型,分别求出三个阴影三角形的面积,再求出平行四边形ABCD 的面积,用四边形的面积减去阴影的面积,即为空白的面积。亦可以得到阴影面积与空白面积的比。