金融衍生产品风险的计量方法

金融衍生产品风险的计量方法

姚晓维，孙宁华

（南京大学经济学院，南京２１００９３）

摘要：风险因子和资产回报之间的非线性关系以厦回报分布形式的复杂性在金融世界中广泛存

在．非线性特征和分布形式给传统风险度量造成了技术上的困难，针对这些特征的新理论模型中，基于

ｇ－ｈ分布的分住数回归方法就是其中之一。计算机模拟的结果显示，用基于窖＿ｈ分布的分桩数回归法计量金融风险。比传统的Ｄｅｌｔａ法、Ｄｅｌｔａ—Ｇａｍｍａ法更加精确．而且比蒙特卡罗模拟法更加简便易行。

关键词：金融风险；分住数回怛；ｇ－ｈ分布；ｖａＲ中圈分类号：Ｆ２２４

文献标识码：Ａ

文章编号：】００２一“８７（２００７）２２－００１０一）３

估计值乘以资产头寸的市场价值。

对于大多具有非线性性质的金融衍生工具来说．采用基于ｇ－ｈ分布的分位数回归方法来计算ＶａＲ可以改进风险度

量的精度，也不至于过于繁琐。

ＶａＲ技术的出现是金融风险度量和控制在研究领域和

实践领域的一项划时代意义的成就。随着金融研究技术水平

的不断提高和金融市场目新月异的发展，对Ｖ扭技术的细

致化和拓展性的研究也在不断深入。特别是对于金融衍生品，其风险因子和资产同报之间的非线性关系以及回报分布

彤式的复杂性，使得传统Ｖ出方法的运用受到了跟制。

分位数回归方法从一定程度上解决了衍生品回报率分布形态不规则的问题，其中基于８－ｈ分布的分位数回蚪法是

２基于ｇ－ｈ分布的ＶａＲ法

２．１

ｇ－ｈ舟布

这样一个性质优良的模型。研究证明．分位数同归方法比传

统ＶａＲ法在风险度量上提高了精度，而比起操作困难繁复的模拟法叉大大简化。

ｇ－ｈ分布首先由１＂ｕｋｅｙ提出，随后Ｈｏａｇｌｉｎ（１９８３，１９８５）、

Ｍａｒｔｉｎｅｚ和Ｉｇｌｅｗｉｅｚ（１９８４）、ＭａｃＧｉｌｌｉｖａｒｙ和Ｂａｌａｎｄａ（１９８８，

１９９２）进一步完善了该分布的统计特性。Ｍｉｌｌｓ和Ｂｒｄｒｉｎａｔｈ等应用ｇ－ｈ分布估计了股票以及股票指数的回报，Ｔｉａｎ探索了

１分位数估计

分位数估计的实质就是忽略收益率分布的具体形式，直接通过样本表现来推断在某个概率水平下的分位数的值。

这种方法假定：

该分布对期权定价的适用性。研究表明。酽ｈ分布由于考虑了峰度和偏度，以及分布具有非线性的特征，故能更好地拟合

资产回报的波动。

｝ｈ分布的本质是两个标准正态分布的非线性变换。若

随机变量ｚ州（ｏ，１）测可以定义满足ｇ－ｈ分布的随机变量：

（１）收益率序列是来自一个连续的分布函数ＣＤＦＦｈ）；

（２）观察期和预测期的收益率分布不发生改变。

定义收益率的秩统计量是将同一样本期的收益率Ｌ按

ｘ觯）－（婴㈤尘）ｅｘｐ（皇｝）

ｇ

‘

（３）

等式右边的第ｌ项称为ｇ分布。ｇ表偏度参数；第２项称

为ｈ分布，ｈ表峰度参数。

若引入位置参数Ａ和刻度参数（Ｓｅｄｉｎｇｆａｃｔｏｒ）Ｂ，则可

照递增方式排列得副的一组统计量．满足ｈ．每抽≤…《‰。

令墨足ｒ的累积分布函数＋ＣＤＦ的第１００％印的分位数，则‰渐进的服从

以构成一个完整的ｇ－ｈ分布函数：

ｈ州‰嚣精

其中ｌ＝ｎｐ，ｆｉｘ）是ＰＤＦ概率密度函数。这样我们可以用ｒ∞来作为Ｋ的估计。当“ｐ不是整数的时候，我们使用线性插值的方法皋得到Ｘ。的盘似值：

Ｙ小④：Ａ＋Ｂ（旦蛩恒墨Ｌ生）ｅｘｐ（謦一）＝Ａ＋Ｂｈ（Ｚ）

ｇ

‘

（４）

若ｈ＝０，即随机分布的峰度为０，则：

ｌｉＩｎ

ｆ。Ⅷ

Ｙ—ｚ）＝Ａ＋ＢＺ∽Ｎ（Ａ，阳，此时ｇ－ｈ是一个正态分布；

著ｇ＝ｌ，ｈ＝０＋则：

鼯盏鲁帅盖等哟

（２）

Ｙｌ硒＝Ａ＋Ｂ陋ｐ固一１】

其中ｌ－和ｌ：是与Ｉ相邻的两个整数，ｒ０１）和ｒ㈨的分位数分别是ｐ，和Ｐ２。这样，下一期的ＶａＲ水平就是这个分位数的

暑二丘唯１二生＋１＝ｅｘｐ（习ｊｌｎ（二血留＿生＋１）－ｚ

基金项目：国家社套科学基金青年项目（０３ＣＪＹ０２５１；南京太学引进人才基金项目的阶段性成果ＩＯ

统计与詹簟２００７年第２２期《总第２５０期

万方数据

ｔ分布、Ｗｅｉｂｕｌｌ分布、Ｌｏｇｉｓｔｉｃ分布、柯西（Ｃａｕｃｈｙ）分布等都可以通过设置不同的参散值从Ｐｈ分布的变换得到，由此

可见，该分布具有非常好的包窖性，对于金融资产特有的尖峰重尾分布形态，ｇ－ｈ分布也能较为准确地拟合。２２参数估计

ｇ－ｈ分布一共有四个参数：偏度参数ｇ、峰度参数ｈ，以及

位置参数Ａ和刻度参数Ｂ。ｇ－ｈ分布具有以下性质，通过这

些性质可以把四个参数都估计出来。

（１）ｚ∽Ｎ（０，１），Ｙｎ∞足关于Ｚ的严格增函数。也就是说

ｇ－ｈ分布与标准正态分布之间具有一一对应的关系。

（２）若Ａ＝０，则有Ｙ—ｚ卜■卜牟■册。这说明改变偏度

参数ｇ的符号，仅改变偏度的方向，而不改变偏度的绝对值。

（３）矗５＿ｏ，故Ｙｏ卢Ａ。囚此位置参数Ａ可以通过估计样本

的中位数得到。

（４）９２＆一（争Ｈｎ《号嚣）。由性质４和性质１可知ｔ对

于不同的正态分布分位数ｚ则有不同的臣与之对应，故可以

由ｇ＝萨－（｝Ｈｎ（专：三｝）计算得到｛曲序列，并由该序列对｛ｆ），

ｋ＝ｌ，２，…，ｎ序列进行“非线性分位数回归”得到参数ｇ的最大

似然估计方程：

ｇ（Ｚｒ）＝ａｏ＋ａｌＺ。＋ａ矗＋ａ五…

（５）

上式表示五和＆之间可能存在的非线性关系。由方程

得到系数，就可以由于正杰分布的分位数估计参数ｇ。

（５）对于给定的ｇ，则参数Ｂ和参数ｈ满足如下等式：

ｌｎ【ｒ趔。一。…ｔ－１ｎＢ十唾）

（６）

ｇ已蚴冬）＝ｌｎＢ＋ｈ（车）

得到截距ｌｎＢ，从而得到划度参

数Ｂ和峰度参数ｈ。

由此，可以将ｇ－ｈ分布的四个参数全部估计出来。估计的关键是样本序列要求的其在不同置信水平下的分位数，将

其与正态分布建立函数关系，故称为“分位数回归法”。

２３基于础分布的ＶｚＲ法

根据ＶａＲ的定义．它是资产的搅益在某个置信水平（如

９９％）的下分位数，在ｇ－ｈ分布的下：

ｖａＲ＝Ｙ，＝一【Ａ＋Ｂ（型垒；ｌ土Ｌ）ｅｘｐ（毕）】

．一２

（７）

６

‘

由Ｙ序列直接给出了分布的形式，故其分位数就是ＶａＲ所对应的值，这类似于历史模拟法和蒙特卡罗模拟中直接由

’

分布计算ＶａＲ。

３

ｇ－ｈ法与其他方法求解期权ＶａＲ的比较

这里用一个货币期投ＶａＲ的例子来比较ｇ＿ｈ法和Ｄｅｌｔａ

法、Ｄｅｋａ—Ｇａｍｍａ法，以及蒙特卡罗模拟法。

期权的风险因子是美元对某一外币的＿｝［率，在正态分布假定下把风险因ｆ一天的运动划分为１０００个区间，其日波动

万方数据

率设为ｌ－２６％（即年波动率为２０％）。汇率将由模拟产生。欧式

看涨期权价格由下式（ＧａｒｍａｎａｎｄＫｏｈｌｈａｇｅｎ，１９８３）给出：

Ｖｃ＝ｓｅｘｐ卜叩）Ｎ（ｄ，）－Ｋｅｘｐ（一ｒＤｆ）Ｎ（ｄ９

其中，ｄ，：—Ｉｎ（Ｓ）＋（ｒＤ－—ｒ＋２乌ｒ。ｄＦｄ，—仃、／了，ｓ是风险固

（８）

叮Ｖ７

子的价格．如和ｒｒ为本国的无风险利率和外国的无风险利

率。Ｎ（）是正态分布的累积函数，Ｋ是执行价格，Ｔ是期权到

期时闸．叮是风险因子的年波动率。Ｄｅｌｔａ（８ｃ）和Ｃ删（ｋ）

是Ｖｃ对Ｓ的～阶和二阶导数：

忙警＝恶笋

８Ｆ誓一ｐ（－ｒｃｒ）Ｎ（ｄ０

Ｄｄｔａ法

对于Ｄｅｌｔａ法，期权回报的分布来自于Ｄｅｌｔａ估计：

Ｒｖ＝导５Ｒｕ

（９）

其中Ｒｖ和Ｒ。分别为期权和风险因子的回报。对于一个

多风险因子的期权组合，其回报的估计为：

ｔｒｙ＝∑事毪Ｒｑ

（１０）

其中Ｒ。足组合的同报…Ｓ

８．和Ｒｕ是风险因子ｉ的当前

２

Ｄｅｌｔａ－Ｇａｍｍａ法

Ｄｅｌｔａ—Ｇａｍｍａ法用泰勒二阶展开来拟和期权非线性：

Ｒｖ＝丁Ｓ。ｎ一矿Ｓ丁Ｉ

１ｎ。２

（１１）

期权资产组合回撮的估计为：

Ｒｖ＝．；（；８～．＋争｝１．Ｒ¨＿）

（１２）

其中Ｍ是第ｉ个风险因子的Ｇａｍｍａ值。

３蒙特卡罗模拟法

期权价格由Ｇａｒｍａｎ—Ｋｏｈｌｈａｇｅｎ期权定价模型模拟序列

得到。期权的回报是各个序列期权价格变动率。ＶａＲ在一定

ｒｈ方法首先也要估计期权的Ｄｅｌｔａ和Ｇａｍｍａ，然后根

对以上各种估计期权ＶａＲ的方法都采用了Ｚ一∞ｏｒｅ检

把看涨期权的多头划分为价内期权、平价期权、价外期图ｌ比较了各种方法下ＶａＲ对分布尾部的估计情况。统计与央策２００７年第２２期（总第２５０期）１１

３１

价格、Ｄｅｌｔａ和回撤。

３３

置信水平下由期权回报的分布得到。蒙特＃罗模拟得出的

ＶａＲ可以作为标准来衡量其他方法的准确度。

３．４基于『ｈ分布的分位敷回归法

据Ｄｅｌｔａ—Ｇａｍｍａ方法下期权的回报分布设置于ｇ－ｈ分布模型，ＶａＲ在一定置信水平下由ｇ－ｈ分布得出。这种方法由于

考虑了期权回报的非正态分布和非线性特征而使得期权

Ｖａｉｌ的估计更为精准。因此可以预计ｇ－ｈ方法可以得到与模

拟法相近『内准确度，并且在方法上更为简便。

验，当某种方法高估或低估了ＶａＲ时，该方法会遭到拒绝。

权三种情况讨论。在９５％和９９％两个置信度下估计ＶａＲ。

显然ｇ－ｈ分布得到的结果与蒙特卡罗结果更为接近，而

Ｄｅｌｔａ法和Ｄｅｌｔａ－Ｇａｍｍａ法低估了尾部的真实风险。

目ｍ‘％’

一Ｄｍ’，＃—ｎ女＃

…．●＊十，ｊ镕

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一ｗ４＃＊…．■＊十，弃＊

…．■＃｛，口＆

（枉谴真宾的看涨期枉多＊的曰枉舟布由荤转卡罗桂扭得到）圈１

ＤＢ№法、ＤｅＲａ－Ｇａｍｍａ法．ｇ－ｈ击估计挠币期权ＶａＲ的比较

表１是各方法ＶａＲ估计的统计性质。Ｄｅｌｔａ法只在价内期权的情况下被接受，其他两种情况在阿个置信水平下都被

拒绝。Ｄｅｌｔａ—Ｃａｍｍａ法在价外期权和９９％置信度下的平价期权情况被拒绝。这嘣种估计方法都因严重的低估风险而被拒绝。相反．ｇ－ｈ方法的表现远胜于以上两种方法。

采用相同的方法，对看涨期枉的空头研究也得到相似的结果。

４结论

风险因子和资产回报之问的非线性关系以及回报分布

形式的复杂性在金融世界中广泛存在，非线性特征和分布形

式给传统风险度量造成了技术上的困难，使得传统ｖａＲ方法的运用受列了限制。随着ＶａＲ技术的细致化和拓展性研

２

统计与决篱２００７年第２２期（总第２５０期

万方数据

襄１

ＤｏＲａ法，＝｜ＤｅＲａ－Ｇａｍｍａ洼．ｇ—ｈ法估计货币期投ＶａＲ的统计性质

Ａ

价内期权（Ｍｏｎｅｙｎｅｓｓ＝ｌ１

ｌ—

Ｄｅｈａ｛击

ＤｄｔⅡ—Ｃ…ｎ法

Ｐｈ法

紫特｝罗模拟法

Ｖ＆Ｒ（％）

９５％１４９５１４８１１４７０９９％２ｌ２４

２１１ｌ

１８７０

期单川ｊｌ｛宰

４５％（＿０７３）

４．８％（＿０２９）

５１％（０１５１９９％

０．４％ｆ—Ｉ９１１

０４％（一Ｉ

９１）

０６％（－１，２７）

Ｂ平价期投ＣＭｏｎｅｙｍ８肛１

’ｎｅＪｌａ—Ｃ…法

０

Ｄｅｌｔａ法

ｇ－ｈ皓

蘸特＃岁模拟岳

ＶａＲ（％）

１９６０１９１６１８９７２７９５

２５１３

２３９５

期培州掇率

３６％ｆ一２０３）’３．９％（一１６０１

Ｏｔ％ｔ－２９６）‘

０３％（一２２２）‘

０６％（一ｔ２７’

Ｃ

价外期辊【Ｍｏｎｅｙｎｅｓｓ＝ｏ

９

ＶａＩＸ（％１

２３ｆ；６２３．９Ｉ２４３７３６８５

３０６６

３０４５

期望回报宰

２９％（一３０５）

３４％（一２３２）‘５３％ｆＯ４４）

ｍ１％（一２８６）

０１％（一２８６）‘

ｌ

０％（０呻）

身２麟。Ｍｏｎｅｙｎ髑＝Ｓ／Ｋ。括号内正ｚ…ｍ境计量。“＂袁示拒绝谊方法。）

（蔓元时英镑汇率的目榧被划分为１０００段／：ＩＥ，并假谴汇率的年洼动率

究的不断深人，越来越多新的ＶａＲ模型开发出束。

分位数回归方法（Ｑｕａｎｔａｌｅ—ＦｉｔｔｉｎｇＡｔ’Ｉ）ｍⅢ；ｈ）从一定程度上解决了衍生品回报率分布形态不规则的问题，其Ｌ｝ｌ基于ｇ—

ｈ分布的分位数同归法是这样一个性质优良的模型。通过一

个假想的例子和计算机模拟的处理，我们可以得Ｈ｛结沦：ｇ－ｈ方法估计ＶａＲ既增加了估计的精度，叉降低了计算的复杂

性，因此对于金融衍生品来说是一个优良的风险度量工具。

参考文蘸：

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ＳｔｅｐｈｅｎＭ．Ｓｃａｅｆｅｒ．Ｎｏａ—ＬｉｎｅａｒＶａｌｕｅ－

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【２］Ｄｏｏｗｏｏ

Ｎｍ

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ｔｏ

Ｖ；ｄｕｅ

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Ｒｉｓｋ

ｆｏｒ

ＯｊｌｔｉｏｎｓｌＪ］ＴｈｅＪｏｕｒｎａｌｏｆＲｉｓｋ

Ｆｉｎａｎｃｅ

２００３

（Ｆａｌｎ４０—５０．

【３］Ｈｏａｇｌｉｎ

ＤａｖｉｄＣ

Ｇ—∞ｄ“一Ｄｉｓｔｒｌｂｕｔｌｏｎｓ［Ａ］ＩｎＳａｍｕｄＫｏｔｚ

ＮｃａｍａｎＬｌｏｙｄＪｏｈｔｔ∽ｎ，ａｎｄＣａｍｐｂｅｌｌＥｌ

Ｒ一，以，Ｅｎｃｙｄｅｐｒｅｄｉａ

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Ｗｉ岫＆‰．１９１１３，３：２９８－３０１．

【４］Ｍａｒｔｉｎｅｚ．Ｊｏｒｇｅ，ａｎｄＢｏｒｉｓｒｅ）ｅｗｉｃｚＳｏｍｅＰｒｏｐｅｒｔｉｅｓｏｆｔｈｅＴｕｋｅｙ

ｇ

ａｒｍｈＦａｍｉｌｙｏｆ

Ｄｉｓｔｒｉｂｕｔｉｏｎ，Ｃｏｍｒａｕｎｌｏａｔｉｏｎｓｉｎ

Ｓｌａｔｉｓｔｉｃｓ－－Ｔｈｏｏｉ３，

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Ｍｅｔｈｏｄ，１９８４，（９）：３５３—３６９

ｆ责任编辑／亦民）