微扰非线性薛定谔方程的孤子解
科技信息○本刊重稿○SCIENCE&TECHNOLOGYINFORMATION2008年第31期
微扰非线性薛定谔方程的孤子解
潘孟美钟小丽
(海南师范大学物理与电子工程学院海南
海口
571158)
【摘要】非线性薛定谔方程作为描述波包在弱非线性色散介质中传播的普遍方程。在光纤维中脉冲在皮秒范围内的传输可以用微扰非线性薛定谔方程来描述。文章采用实指数方法并借助Mathematica符号计算软件编程求其孤子解。
【关键词】实指数方法;微扰非线性薛定谔方程;孤子解
ThesolitarywaveofNonlinearPerturbedSchrodingerequation
PANMeng-meizhongXiao-li
(1.Physicsandelectronicengineeringinstitute,HainanNormalUniversity,Haikou571158,Hainan)
【Abstract】NonlinearSchrodingerequationdescribedasaweakwavepacketsinnonlineardispersionmediumofdisseminationofthegeneralequation.Inopticalfiberinthepicosecondpulseintransmissionwithinthescopeofperturbationcanbeusedtodescribenon-linearSchrodingerequation.ThearticleindexmethodisusedbyMathematicasymboliccomputationandsoftwareprogrammingforitssolitonsolutions.
【Keywords】RealExponentialApproach;PerturbedNonlinearSchrodingerequation;SolitaryWaveSolution.
1.引言
非线性薛定谔方程作为描述波包在弱非线性色散介质中传播的普遍方程,在许多物理问题中出现,例如:等离子体的Langmuir波、电介质和半导体材料的表面波以及各向同性或单轴铁磁体中的磁激发。光脉冲在光纤维的传输过程中,形状保持不变,由于光孤子具有显著的稳定性,所以它是非线性波在光纤中的传输研究领域的中心。通过用渐进微扰技术,在光纤维中脉冲在皮秒范围内的传输可以用微扰非线性薛定谔方程来描述[1]:
22
i鄣q+1鄣q+qq+iε(β1鄣q+β2q鄣q+β3q鄣q)(1)鄣T鄣T
其中,q表示脉冲包络归一化复振幅,z是归一化空间坐标,T是群速坐标中的延迟时间,ε是一个很小的参数,β1是三阶色散系数,β2,β3是重叠积分。如果ε=0,方程(1)变换为标准的非线性薛定谔方程。对
2
3
2
(ω+k3ε)a1=0[2ω+(2k)3ε]a2=0
(2ω+(nk)3ε)an=ΣΣ12εklalam-lan-m
m=2l=1n-1
m-1
(11)(12)(13)(14)
取ω=-k3εa1=任意常数
a2p+1=(-1)p
a1
2p+1(2k)
p=0,1,2,…(15)
(15)代入式(7)可得:
覬(x,t)=ksech[k(x-x0)-ωt]
姨其中,x0=1loga1
姨k所以方程(4)的孤子解为:
(16)
该方程的求解方法很多,有行波变换方法[2]、变量分离法[3]、微扰法[4]。文
章采用实指数方法[5]并借助Mathematica符号计算软件编程求其孤子解。
2.求非线性薛定谔方程的孤子解
下面考虑β1:β2:β3=1:6:3这种情况下方程(1)的零边界的孤子解:令u(x,t)=q(T,Z)exp[-i(T-Z
u(x,t)=ksech[k(x-x0-k2εt)]exp[iφ0]
姨φ0=任意常数。3.结束语
(17)
)](2)(3)
2
t=Z,x=T-Z
将(2)式和(3)式代入方程(1)可得鄣u+ε鄣u+6u2鄣u+3u鄣u
鄣x
令u(x,t)=覬(x,t)exp[iφ0]把(5)式代入(4)式可得:覬t+12ε覬2覬x+ε覬xxx=0
我们将覬j展开为实指数级数形式:覬j=Σang
n=1∞∞
n
3
鄣
=0(4)(5)(6)
用实数指方法非线性薛定谔方程求解,如果仅仅通过手工计算,整个过程手续相当繁琐,工作量也很大,但是借助Mathematica符号计算件编程求解不仅可以大大降低工作量,而且求解的速度也非常快,得到孤子解,且所得到孤子解已经过验证是正确的。
光孤子能在光纤中传播的长时间保持形态、幅度和速度不变的光脉冲。利用光孤子特性可以实现超长距离、超大容量的光通信。科
●
【参考文献】
[1]Sasa.NandSatsuma.J,J.Phys.Soc.Jpnvo160.No.2.February,1991.
[2]彭解华.非线性薛定谔方程,稳态解及其稳定性研究[J].邵阳师范高等专科学校学报,2001,(5).
[3]张解放.变量分离法与变系数非线性薛定谔方程的求解探索[J].物理学报,
g<1(7)(8)(9)
覬j=Σang-ng<1
n=1
2004,(11).
[4]程雪苹.微扰的耦合非线性薛定谔方程的近似求解[J],物理学报,2007,(6).[5]Hirota.R.andSatsuma,J.Prog.Theor.Phys.Supple.59,(64(1976).
作者简介:潘孟美(1972—),女,海南文昌人1991年毕业于华中理工大学应用物理专业。1991年-至今在海南师范大学物理系任教,2001年获得硕士学位。曾担任过普通物理、普通物理实验、理论力学、热力学统计物理、计算物理、高等数学、工程数学的主讲教学工作。主要研究方向计算物理。
an为展开系数且
g=exp(ξ)ξ=-k(x-x0)+ωt其中x0,ω为实数。把(7)代入方程(6):
n=1
Σ[nω+(nk)3]angn=ΣΣΣ12εklaa
n=3m=2l=1
l
∞∞n-1m-1
m-l
an-m
(10)※基金项目:海南省教育厅科研资助项目(HjKj2008-34)。
[责任编辑:张新雷]
通过比较gn的系数,可得到an的非线性递推式:
345