圆锥曲线_准线圆_的一个有趣定点性质
40数学教学研究 2007年第6期
圆锥曲线“准线圆”的一个有趣定点性质
林新建
(福建省漳州第一中学 363000)
以圆锥曲线准线上的两点为直径端点的圆称之为准线圆,本文给出准线圆的一个有趣定点性质,介绍如下.
性质1 亚黄金椭圆的长轴长、焦距、短轴长成等比数列.
证明 因为椭圆是亚黄金椭圆,所以e2=
,得2
a
2
定理 设A1,A为横向型圆锥曲线对称轴上的两顶点,P是曲线上不同于A1,A的一个动点,直线
PA1,PA与同一条准线分别交于M1,M两点,则以线
2
A,B两点,O为椭圆中心,则kABP-
.
2
设x0y-y0=k),则-y0-k(x-x0),
=
22
,即2c=(-1)a,则2
:
b2k2)x2+2a2k(y0-kx0)x
22222222
+(akx0-2akx0y0+ay0-ab)=0,
(2c2+a2)=(a2)a2
]c4+a2c2-a4=04a2-=0]c4=222.
性质2已知椭圆22=1(a>b>0)是亚黄
ab
2
2
由题意知x0是上式的一个解.又x0+xA=
22
2ak(kx-y)ak+b
222
22
2
,.
金椭圆,斜率为k1的直线交椭圆于A,B两点,若点
M是线段AB的中点且直线OM的斜率为k2,则k1・k2=-
所以xAakx-2aky-bxak+b
22
222
2
把上式的k换成-k得:
xBakx+2aky-bxak+b
222
2
2
.
2xa
22
2
.
分析 设A,B两点的坐标分别为(x1,y1),(x2,
y2),则
2x2xyb
22y2
=1,-b
22yxa
2
2
yb
2
2
所以xB-xAkAB
4aky22
=1,两式相减得
ak+b
2,
2
-a
2
+=0,
(y-y)(y+y)
b
2
-k(x+x-2x)bx===2,xB-xAxB-xA
ay0y-y=2=-a
2
即(x-x)(x+x)
a
2
kAB・kOP
=0,
.2
2
参考文献
[1] 双鹂.有趣的黄金双曲线[J].数学通讯,2005
(3)
[2] 徐希扬.黄金双曲线的性质[J].数学通讯,
2005(19)
2
x+x所以k1==-2x1-x2y1+y2a
y-y22
2x=-2=-2,
2yMk2aa
故 k1k2=-
=-2=2aa
2
2
222
,证毕.
2
2
[3] 陈巧年,吴康.一道高中数学联赛题的推广
[J].中学数学月刊,2004(10)
(收稿日期:2007-03-26)
性质3 过亚黄金椭圆
()22=1a>b>0上ab
任意一点P作倾斜角互补的两条直线交该椭圆于
2007年第6期 数学教学研究41
段M1M为直径的圆必经过曲线与该准线相应的焦点及曲线外的一个定点.
证明 以圆锥曲线对称轴所在直线为x轴,F为坐标原点建立直角坐标系.设焦点F到相应准线l的距离为p,则F(0,0),准线l的方程为x=-p.
设R(x,y)是圆锥曲线上的一点,它到准线的距离为d,则由题设及圆锥曲线统一定义得
d
2
令y=0,得
(x+p)
2
py222
(1-e2)x20-2epx0-ep
22
=0.
由于P(x0,y0)在曲线上,有
2222
(1-e2)x20-2epx0-ep=-y0.
所以(x+p)2=p2,x+p=±p,x=0或x=-2p.即以线段M1M为直径的圆经过焦点F(0,0)及曲线外一个定点(-2p,0).当准线的方程为x=p时,也有相应结论.
当曲线为椭圆、双曲线、抛物线时,我们得到:
性质1 已知椭圆2+2=1(a>),其长
ab
2
2
=e]|PF|=de
2
2
2
222
]x+y=e(x+p).化简得圆锥曲线方程为
(1-e2)x2-2e2px+y2-e2p2=0.
令y=0,得
(1-e)x-2epx-ep=0,解得 x=2.
1-e
22
2
2
22
轴为AA,点PAA,直线1别与同线l∶x=
c
2
所以A1
,,1+e1-或x=-交于M1,M两点,则以线段M1M为直c
径的圆必过椭圆与l相应的焦点F(c,0)(或(-c,
0))
2
2
设P(x0,0yx0x及椭或
圆
2
外
2
的一个定点
1+;(1)
,c-,.c
2
2
1+e
直线PA的方程为
yx0-yx-
性质2 已知双曲线2-2=1(a>0,b>0),
ab
1-.(2)
其实轴为A1A,P是双曲线上不同于A1,A的一个动点,直线PA1,PA分别与同一条准线l∶x=
c
2
1-e
-p,-p,
-py0
(1+e)x0+;
由(1)式及x=-p得M1由(2)式及x=-p得M
或x=-交于M1,M两点,则以线段M1M为直c
2
-py(1-e)x0-.
径的圆必过双曲线与l相应的焦点F(c,0)(或(-c,
0))
2
及
2
双曲或
-
线外
2
2
的一个定点
设Q(x,y)为以线段M1M为直径的圆上一点,则 M1x+p,y=
x+p,y+
py0
,
(1+e)x0+,c,.c
性质3 已知抛物线y2=2px(p>0),其顶点为
O(抛物线可看作是含两个顶点的曲线,另一个顶点
py.
(-e)0-在无穷远处),P是抛物线上不同于
O的动点,直线
PO与准线l交于M点.过P作PM1⊥l于M1,则以
由M1M1=0,得以线段M1M为直径的圆的方程为:
(x+p)2+
ypy(1+e)x0+线段M1M为直径的圆必过抛物线的焦点F
2
,及抛物线外一个定点-
p,.2
y+
py=0.
(1-e)x0-(收稿日期:2007-03-27)