大连理工大学数学分析考试题
学号： 院系： 级 班
大 连 理 工 大 学
课 程 名 称： 数学分析(二) 试 卷： C 考试形式： 闭卷 授课院 (系) ： 数学系 考试日期：2008 年7月10日 试卷共 6 页
一． 计算与证明题（每小题5分，共40分）
装
1． 求积分⎰a
b
订
2． 写出函数cos 2x 的Maclaurin 级数。
3． 求极限lim (x 2+y 2) x y 。
(x , y ) →(0,0)
22
线
22
x +y >0∂f ∂f 4．
设f (x , y ) =，求(x , y ), (x , y ) 。
⎩0,
x 2+y 2
=0∂x ∂y 5． 设f (x ) 在[2,+∞) 上连续可微，f '(x ) 单调递增，lim f '(x ) =+∞。求证：⎰+∞
x →∞
2
cos(f (x )) dx 收敛。
6． 判断级数∑∞
(2n -1)! ! 1
n =1
(2n )! ! 2n +1的敛散性。
且
7． 求证：u =cos(xy ) 在R 2上不一致连续。
8． 设级数∑a n R (R >0) 收敛，求证：级数∑a n x n 在x ∈[0,R ]时
n
n =1
n =1
∞
∞
收敛。
二． （10分）讨论无穷积分⎰1x p sin x 2dx 的敛散性，条件收敛性
和绝对收敛性。
+∞
三． （10分）讨论级数∑(-1) n -1sin
∞
1
(p >0) 的条件收敛性与绝对p n =1
n
收敛性。
四． （10分）设∞
f (x ) =∑e -nx
2，证明：n =1n +1
f (x ) 在(0,+∞) 上连续可微。
x n
, n =1,2,... ，分别讨论{f n (x )}在[0,1-λ]五． （10分）设f n (x ) =
1+x 2n
和[1-λ,1+λ]上的一致收敛性，其中0
六． （10分）证明：∑
sin nx
在[δ, 2π-δ]上一致收敛，但在(0,2π) n n =1
∞
上不一致收敛，其中0
七． （10分）设f (x ) =x 2, x ∈[-π, π]，求f (x ) 的Fourier 级数，并由
此求级数∑
1
的和。 2n n =1
∞