包含自由度的概念
第1章 刚体
出发点：牛顿质点运动定律
刚体的运动分为：平动，定轴转动，定点转动，平面平行运动，一般运动。
§3-1 刚体的平动，转动和定轴转动
一 刚体的定义：在无论多大力作用下物体形状和大小均保持不变。（理想模型）
二 平动：在运动过程中，若刚体上任意一条直线在各个时刻的位置始终彼此
平行，则这种运动叫做平动。
特征：1 平动时刚体中各质点的位移，速度，加速度相等。
2 动力学特征：将刚体看成是一个各质点间距离保持不变的质点组。 受力：内力fi 和外力Fi
对每一个质元：满足牛顿运动定律Fi +fi =Mia i 对刚体而言：∑(Fi +fi )=
⇒
∑
Mi a i
Mi a i
∑
⇒
Fi
+∑
Fi
fi =∑
显然∑ 故：∑
fi =0
∑=∑Mi a I=a ∑
Mi
F ==Ma
即：刚体做平动时，其运动规律和一质点相当，该质点的质量与刚体的质量
相等，所受的力等于刚体所受外力的矢量和。 三 转动和定轴转动
定轴转动的运动学特征：用角位移、角速度、角加速度加以描述，且刚体中各质点的角位移 、角速度、角加速度相等。 ω=
d θdt
, α=
d ωdt
对匀速、匀变速转动可参阅P210表4-2 角量与线量的关系：
v=Rω
a t=Rα
a n=R
ω
2
更一般的形式：角速度矢量的定义：
υ=ω⨯γ ， α=
d ωdt
显然，定轴转动的运动学问题与质点的圆周运动相同。
例：一飞轮在时间t 内转过角度θ=at
速度。
+b t
3
-c t , 式中abc 都是常量。求它的角加
3
4
解： 飞轮上某点的角位置可用θ表示为θ=at
即得飞轮角速度的表达式为
ω＝
d
+b t
-c t , 将此式对t 求导数，
4
d
(at +b t
t
3
-c t ）＝a+3bt -4c t
423
角加速度是角速度对t 导数，因此得
α =
d ωdt
=
d
d
( a+3bt -4c t )=6bt-12ct
t
232
由此可见，飞轮作的是变加速转动。
§3-2 力距 刚体定轴转动定律
一 力矩：设F 在转动平面内，
M =r ⨯F
对绕固定轴转动，M 只有两种可能的方向，用正负即可表示，M 是矢量，
按代数求和（对多个力）。
若F 不在转动平面内，则要进行分解。
二 转动定律
首先考虑任一质元i ，质量为Mi, 所受内力fi 和外力Fi
则
Fi +fi =Mia i 按自然坐标系分解：
φ2
Fi
cos ＋fi i
cos θi =－Mi a
Fi
sin φ＋fi sin θi =Mia it=Mir i α
i
第二式×r i 得
Fi
r i sin φ＋fi
i
r i sin θi =Mir
fi
2
i
α
对整个刚体
∑
⇒
Fi
r i sin φ＋∑
i
r i sin θi =∑（ Mi r
2
i
）α
∑∑
fi
r
i
sin θi =0……………………………内力距相互抵消
2
Fi
r i sin φ=∑（ Mi r
i 2
i
）α
令J =∑（ Mi r i ）……………………………称为刚体的转动惯量 而
M =∑
z
Fi
r
i
sin φ ……………………总（合）外力距
i
故
M
=J α= Jz
d ωdt
………………… 刚体的转动定律
（与牛顿第二定律比较）
三 转动惯量的计算
1 质点组 J=∑（ Mi r i ）
2
2 质量连续分布 J =
⎰r
2
=
｛
⎰⎰⎰r ρd ν体分布⎰⎰r σds 面分布
2
2
⎰r
2
λdl 线分布
J
是物体在转动中惯性大小的量度，决定于刚体各部分质量对给定转轴
的分布情况。
例：求质量为m 长l 的均匀细棒对下面三种转轴的转动惯量：
（1） 转轴通过棒的中心并和棒垂直； （2） 转轴通过棒的一端并和棒垂直；
（3） 转轴通过棒上距中心为h 的一点并和棒垂直。
2
解：（1） J 0=⎰r
l 2
2
(如图)
+
=
⎰x
-l 2
λdx =
112
m l λ=
2
m l
l
(2)
J
=⎰x λdx =m l A
2
1
2
3
x
l 2+h
（3）
J
=B
-
l
⎰x
+h
2
λdx =
112
m l +m
2
h
2
2
x
总结：J 与以下几点有关：
（1） （2） （3） 与转动轴的位置有关。
四 回转半径的概念：
J =∑（ Mi r i ） M=∑Mi 写成 J =Mr G
22
r
G
称为刚体的回转半径
注意：求回转半径时，一般地不能把物体的质量看作集中在它的重心（质心）
上。
五 平行轴定理
质心轴：通过质心的轴。
求物体对于与质心轴平行的另一轴的转动惯量。
此定理说明了同一物体对于上述两轴的不同转动惯量关系。
y y
'
x
i
=
i
+d '
设物体质量M, 质心为c 点，取两组直角坐标系oxyz 、o 是质心轴，
z 轴通过质心c ，y z ，
'
'
z
'
轴平行于z 轴，相距为d ，物体对z 轴的转动惯量为
i
J z =∑（
'
M
r i ）=∑（x i +
2
2
y
2i
）M i
物体对z 轴的转动惯量为
J =∑M
z
'
i
' =
r i ∑
2i
2
M
i
(x ' +i
i
2
2
' y i
2
)=∑
M [x +(y i -d ) ]
i
2
2
i
=∑=∑
M M
(x i +y －2d y +d ) i
（x i +i
i
2
2
y
2i
）－2d ∑
i
M y
i
i
＋d
2
∑M
i
=J z －2d ∑因为z 轴为质心轴， 即
M y
＋M d
2
y
c
=∑
M y i /∑M =0
i
i
所以
J z =J z + Md …………………………平行轴定理
' 2
此定理叙述如下：
物体对于任一轴z ' 的转动惯量，等于物体对平行于z ' 轴的质心轴z 转动惯量，加上物体质量与两轴间距离平方的乘积。
例：固定在一起的两个同轴均匀柱体可绕其光滑的水平对称轴O O ' 转动，设大小
圆柱体的半径分别为R 和r ，质量分别为M 和m 。绕在两柱体上的细绳分别与物体
m
1
和m 2相连，m 1和m 2则挂在圆柱体的两侧。（如图）设R=0.20m,r=0.10m,m=4
㎏,M=10㎏,
m =m
1
2
=2㎏, 且开始时m 1、m 2离地面均为求：
（1） 柱体转动时的角加速度
（2） 两侧细绳的张力T 、T
1
2
（3） m 1
T
a
1
1
a
2
2
1
解：对于第一个物体由牛顿第二定律可知m 1g －T =m 1a 1 对于第二个物体由牛顿第二定律可知 T －m 2g=m 2a 2
2
对于刚体由刚体转动第二定律可知T 1' R －T ' 2r= J α
J=(m r +M
2
1
2
R )
2
又由牛顿第三定律可知T 1=T 1,
'
T
=T 2 2
'
由角量和线量关系可知a 1=Rα，a 2 =αr h=
1
a t 2
1
2
综合上式，代入已知值，可解得
α =6.13,
T =17.2, T =20.8,m 1先着地，时间为t=1.81 (SI)
1
2
§3-3 定轴转动的角动能定理 一 转动动能
设刚体定轴转动时的角速度为ω, 划分微元，对第i 个微元
E
ki
=
12
m υ
i
2i
=1
12
m r ω
i
i 2
2
i
i
22
所以E k =
∑2m r ω
=
12
J ω
2
…………转动动能 (与物体的平动动能相
比较)
二 力矩的功 d
θ
A
i
=
F
i
cos βds =
F r
i
i
cos βd θ=
F r
i
i
sin ϕd θ=
M
i
d ϑ
所以A i =
M =
θ
⎰M
i
d θ
∑M 为刚体所受的合外力距
i
θθ
i
所以A =
∑A
i
=
θ
⎰(∑M
) d θ=
θ
⎰Md θ
注意：因刚体不变形，内力及内力 距的功永远为零。
三 定轴转动的角动能定理
由转动定律：M z =J α=J
ω
d ωdt
=J
d ωd θ
*d θdt
=J ω
d ωd θ
所以 dA =Md θ=J ωd ω
2
A =⎰dA =理
ω
⎰
J ωd ω=
1
12
J ω2-
2
12
J ω1…………………角动能定
2
（J 不变的情况下）
四 刚体的重力势能
E
p
=
∑m g h
i
i
=g ∑m h
i
i
=mg
∑i
i
m
=mg
h
c i
高度
h
c
=
∑m h ………………………刚体的质心
i
m
例：一根质量为m 、长为l 的均匀细棒OA （如图），可绕通过其一端的光滑轴O 在
竖直平面内转动，今使棒从水平位置开始自由下摆，求细棒摆到竖直位置时其中心点C 和端点A 的速度。
O A
解：先对细棒OA 所受的力作一分析：重力G ，作用在棒的中心点C ，方向垂直向下；轴和棒之间没有摩擦力，轴对棒作用的支撑力N 垂直于棒和轴的接触面且通过O 点，在棒的下摆过程中，此力的方向和大小是随时改变的。
在棒的下摆过程中，对转轴O 而言，支撑力N 通过O 点，所以支撑力N 的
力矩等于零，重力G 的力矩则是变力矩，大小等于mg 角位移d θ时，重力距所作的微功是
12cos θ
，棒转过一极小的
dA =mg
12
l cos θd θ
在棒从水平位置下摆到竖直位置的过程中，重力距所作的总功
π
2
A =⎰dA =⎰mg cos θd θ=
112
2
m g l
应该指出：重力矩的功就是重力的功，也可用重力势能的差值来表示。棒在水平位置时的角速度ω0=0，下摆到竖直位置是的角速度为ω，按力矩的功和转动动能增量的关系式得
由此得
ω=
3gl J
12m g l =
12J ω
2
因J =
13
m l
2
，代入上式得
3g l
ω=
所以细棒在竖直位置时，端点和中心点的速度分别为 υA =l ω=3gl υC =
l 2
ω=
12
3g l
§3-4
一 质点的角动量（动量矩）
定义： L =r ⨯p 大小： L =pr s i n ϕ
方向：右手螺旋
特例：圆周运动的质点： υ
L =r ⨯p m
大小：L =rp =rm υ=m ωr
2
二 角动量定理与角动量守恒定律
因为 L =r ⨯p 所以
d L dt
=d dt d L dt
(r ⨯p ) =
d r dt
⨯p +r ⨯
d p dt
=υ⨯m υ+r ⨯F =M
即 M =
d L dt
注：M =是对O 点的合力矩，L 是质点对O 点的角动量，也可以是质点系
的角动量。
写成 M dt =d L ⇒
⎰M dt
=
L
2
-
L
1
=∆L
……………………角动量定理
当M =0时（条件）， 可得
d L dt
=0， 即 L =恒量……………角动量守恒定律
§3-5 刚体定轴转动的角动量定理和角动量守恒定律
一 定轴转动刚体的角动量定理
1
刚体的角动量
设刚体绕定轴转动，考虑某一微元
L
i
=
m r ⨯υ
i
i
i
=
m r
i
i
⨯(ω⨯r i ) =m
i
ω(r ∙r ) -r (ω∙r ) ]
i
i
i
i
因为ω⊥r
因此
所以ω∙r i =0
2
L
i
=
m i r i ω⇒L =
∑L
i
=
∑m r
i
2i
ω=J ω…………………角动量 （与
P =m υ比较）
2
角动量定理及角动量守恒定律
M
z
dt =d L =d (J ω)
t z
所以
t 0
t
⎰M
dt =
⎰d L =L -L
L 0
=J ω-J ω0……………角动量定理
（⎰M z dt 叫力矩的冲量矩） t 0
若M z =0（条件），则L =J ω=恒量………………………………刚体角动量守恒定律
例：如图，有一均匀细棒，质量为M ，长为2l 。小球质量为m, 以速度u 垂直落到棒的端点，O 为转轴。设两物体作完全弹性碰撞，求：碰后小球回跳速度及棒的角速度？
f
u
υ
O
ω
f
'
⎰
fdt =-m υ-mu
对细棒应用角动量定理
⎰Mdt =⎰l
因为 l ⊥又因为
f f
'
dt =J ω-0 即
'
l ⎰
f
J ωl
'
dt =J ω
'
，所以
⎰f
'
dt =
-m υ-m u=-J ωl
⎰fdt =-⎰
fdt 所以
J ωl 12
即 m υ+m u= 由弹性碰撞得
12m u =112
M
2
……………………………………………①
2
m υ+
2
1213
J ωM
2
2
………………………………②
其中 J =联合①②③解得 υ=
(2l )
=
l ………………………………③
6mu (M +3m ) l
u (M -3m ) M +3m
ω=
解法二：碰撞时间极短，冲量矩很大，重力可忽略不计将小球和细棒看成一个系统，则此系统角动量守恒
m u l =-m υl +J ω………………………………………………………① 再结合以上②③式即可得结果。
例： 质量为M 、长为l 的均匀直棒，可绕垂直于棒的一端的水平轴O 无摩擦地转动。它原来静止在平衡位置上，现有一质量为m 的弹性小球飞来，正好在棒的下端与棒垂直地相撞。相撞后，使棒从平衡位置处摆动到最大角度θ=30处。 ①这碰撞设为弹性碰撞，试计算小球初速υ0的值。 ②相撞时，小球受到多大的冲量？
解：设碰后小球速度为υ，棒转速为ω， （1） 因为弹性碰撞，所以
12m υ0=
2
12
m υ+
2
12
J ω
2
…………①
又因为系统合外力矩为0，所以角动量守恒 m υ0l =m υl +J ω…………………②
f
碰后机械能守恒，所以
12J ω13
2
=Mg (1-cos
2
30
︒
) …………③ m
f
'
J =M
l …………………………④
3g (1-
32)
由③④得 ω=
6(2-12
l
代入①②得
υ
=
3) 3m +M
m
gl
（2）方法一： 所以 υ=υ0-
t 2
J ωml
=
6m -2M 12m
3(1-
32
32
) gl
3(1-
fdt =m υ-m υ0=-M
3
) gl
故
t 1
⎰
方法二： 利用牛顿第三定律来做
t 2t 1
t 2
=J ω⇒
t 1
'
⎰Mdt
t 2
⎰f
'
t 2
ldt =l ⎰
f
'
dt =J ω
t 1
⇒
t 1
⎰f
dt =
J ωl
因为 f =-t 2
f
t 2
'
所以
t 1
⎰f d t =-⎰
f
'
dt =-
J ωl
3(1-
323
) gl
=-M
t 1
§3-6 刚体的自由度 刚体的平面平行运动
在刚体定轴转动中，只要一个方程（转动定律）就能解决问题。对一般运动较复杂，需要几个方程联立起来才能求解。究竟需几个独立的方程呢？——自由度。
1 自由度——决定这个系统在空间的位置所需要的独立参量的数目。 例：①一个质点可在三维空间自由运动，则它的位置需用三个独立的坐标来决定，该质点就有三个自由度x 、y 、z 。（如飞机）
②一个质点在一个平面或曲面上运动，则该质点有二个自由度x 、y 。（如轮船）
③一个质点在一条直线或曲线上运动，则该质点有一个自由度x 。（如火车）
对于刚体来说，平动和转动都有，一个自由刚体在三维空间的位置可决定如下：
④指出刚体上某点的位置，需用三个独立的坐标来决定x 、y 、z ，（平动自由度）
⑤用两个独立坐标确定转轴的位置θ、ϕ，（转动自由度） ⑥用一个参量来表示刚体绕转轴的转动ω。（转动自由度）
总结：自由刚体共有6个自由度：3个转动自由度、3个平动自由度，但是当刚
体转动受限时，刚体也可以只有一个自由度（如门的转动）或两个自由度（如摇头电风扇的转动）。物体有几个自由度，它的运动定律就可归结为几个独立的方程式。
一般质点系统，由于质点数目N 很大，如果每个质点都能自由运动，则N 个质点将有3N 个自由度，即3N 个独立的方程，比刚体的6个方程复杂得多。
2 刚体的平面平行运动
刚体的平面平行运动的定义：当刚体运动时，其中各点始终和某一平面保持一定的距离，或者说刚体中各点都平行与某一平面而运动。
R =υ
平+υ转
地面
① 速度： 边缘上任一点A 的速度为υ=υc +ω⨯R =υ平+υ转 ② M
C
=
J
C
α
12m υC +
2
③ 刚体的动能：E k =
12
J ω
C
2
即刚体的全部动能等于质心运动的平动动能与刚体对质心的转动动能的和。