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高中数学公式 基础知识

一、集合

元素与集合的关系:x ∈A ⇔x ∉C U A , x ∈C U A ⇔x ∉A . ∅ØA ⇔A ≠∅ 子集：一般地，∅⊆A , A ⊆A , 若A ⊆B , B ⊆C 则A ⊆C 真子集：一般地，∅⊂A , 若A ⊂B , B ⊂C 则A ⊂C

交集：一般地，A A =A , A B =B A , A ∅=∅ A =∅ 并集：一般地，A A =A , A B =B A , A ∅=∅ A =A

集合{a 1, a 2, , a n }的子集个数共有2 个子集（包括空集）；非空子集有2-1个；即真子集有2-1个；非空的真子集有2-2个.

充要条件：1、p ⇒q ，则p 是q 的充分条件；反之（若q ⇒p ），q 是p 的必要条件； 2、p ⇒q ，且q ⇒p ，则p 是q 的充要条件；

3、p ⇒q ，且q ≠>p ，则p 是的q 充分不必要条件； 4、p ≠>q ，且q ⇒p ，则p 是q 的必要不充分条件；

5、p ≠>q ，且q ≠>p ，则是p 是q 的既不充分又不必要条件。

n

n n

n

二、指数与对数

指数性质：(1)1、a

-p

=

10

； （2）、a =1（a ≠0） ； (3)、a mn =(a m ) n p a

(4)、a r ⋅a s =a r +s (a >0, r , s ∈Q ) ；(5)

、n =a （a >0, m , n ∈N *，n >1）(6)

、a

m n

=a >0, m , n ∈N *，且n >1）

⎧a , a ≥0

(7)当n

=a ； 当n

=|a |=⎨

-a , a

对数性质：

若a >0, a ≠1, M >0, N >0, n ∈N +且n ≥2则

M

=log a M -log a N N

n n n

(3)、log a M =n log a M (n ∈R ) ; (4) 、log a m N =log a N

m

log b

(5)、 log a 1=0 (6)、 a a =b (7)、 log a a =1

l o g m N m >0m , ≠1, N > 0N =（8）、换底：l o g (a >0, a ≠1, a

l o g m a

(1)、log a (MN ) =log a M +log a N ; (2)、 log a

2

l o g l o (9)、推论：l o g g =

; 12g N =a N =a b ∙l o b a a

b

指数与对数的关系: l o g a ≠1, N > 0) (a >0, a N =b ⇔a =N

三、数列：

等差数列：

通项公式：（1）a n =a 1+(n -1) d ；（2）a n =a k +(n -k ) d （其中a 1为首项，d 为公差，n 为项数，a n 末项）；（3）a n =S n -S n -1(n ≥2) （注：该公式对任意数列都适用） 前n 项和：（1）S n =

n (a 1+a n )

；其中a 1为首项，n 为项数，a n 为末项。 2

n (n -1)

d （2）S n =na 1+2

（3）S n =S n -1+a n (n ≥2) （注：该公式对任意数列都适用）

常用性质：（1）、若m +n =p +q ，则有 a m +a n =a p +a q

（2）、a p =qa , q =p , a 则=0pq +

；

（3）、若{a n }、{b n }为等差数列，则{a n ±b n }为等差数列。

（4）、{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，则S m , S 2m -S m , S 3m -S 2m 也成等差数列。

（5）、若a m 是a n , a p 的等差中项，则有2a m =a n +a p ⇔n 、m 、p 成等差。

注意：已知S n 求a 1和公差d ：S 1=a1 求出a 1再S 2=a1+a2 求出a 2然后d=a2-a 1 等比数列：

通项公式：（1） a n =a 1q

n -1

=

a 1n

⋅q (n ∈N *) ；（2）a n =a k ⋅q n -k （其中a 1为首项，q

n 为项数，q 为公比）； （3）a n =S n -S n -1(n ≥2) （注：该公式对任意数列都适用） 前n 项和：（1）S n =S n -1+a n (n ≥2) （注：该公式对任意数列都适用）

⎧na 1

⎪

（2）S n =⎨a 1(1-q n )

⎪1-q ⎩

(q =1) (q ≠1)

常用性质：（1）、若m +n =p +q ，则有 a m ⋅a n =a p ⋅a q ；

（2）、若{a n }、{b n }为等比数列，则{a n ⋅b n }为等比数列。

（3）、若a m 是a n , a p 的等比中项，则有 a m =a n ⋅a p ⇔n 、m 、p 成等比。

2

四、三角公式：

诱导公式（奇变偶不变，符号看象限）

公式一： 公式二：

sin （π+α）=－sin α sin（－α）=－sin α cos（π+α）=－cos α cos（－α）=cosα 公式三： 公式四：

sin （π－α）=sin sin（2π－α）=－sin α cos （π－α）=－cos α cos（2π－α）=cosα 公式六： 公式七：

sin （π/2+α）=cosα sin（π/2－α）=cosα

cos （π/2+α）=—sin α cos（π/2－α）=sinα 公式七： 公式八：

sin（3π/2+α）=－cos α sin（3π/2－α）=－cos α cos（3π/2+α）=sinα cos（3π/2－α）=－sin α 上面这些诱导公式可以概括为：

对于k π/2±α(k∈Z) 的三角函数值，

①当k 是偶数时，得到α的同名函数值，即函数名不改变；

②当k 是奇数时，得到α相应的余函数值，即sin →cos; cos→sin; （奇变偶不变） （符号看象限）

例如：sin(2π－α)=sin(4²π/2－α) ，k=4为偶数，所以取sin ；令α为锐角，2π－α∈(270°，360°) ，sin(2π－α)

k

而言的，变与2

sin 2θ+cos 2θ=1；

sin a +cos a a +45o ) =a -45o )

sin(α±β) =sin αcos β±cos αsin β; cos(α±β) =cos αcos β sin αsin β

tan α±tan β

a sin α+

b cos αα+ϕ) ； tan(α±β) =

1 tan αtan βb

(辅助角ϕ所在象限由点(a , b ) 的象限决定, tan ϕ= ).

a

a +βa -βa +βa -β

sin a +sin β=2sin cos sin a -sin β=2cos sin

2222a +βa -βa +βa -β

cos a +cos β=2cos cos sin cos a -cos β=2sin

2222

二倍角公式：

sin 2a =2sin a cos a =

2

2

2tan α

1+tan 2α

2

2

1-tan 2α

cos2α=cos α-sin α=2cos α-1=1-2sin α= 2

1+tan α

2tan αsin 2α1-cos 2α

tan 2α=tan α==

1-tan 2α1+cos 2αsin 2α1-cos 2α1+cos 2α2

sin 2α= cos α=

22

解斜三角形： 正弦定理 ：

a b c

===2R （R 为∆ABC 外接圆的半径）. sin A sin B sin C

⇔a =2R sin A , b =2R sin B , c =2R sin C ⇔a :b :c =sin A :sin B :sin C

余弦定理：

a 2=b 2+c 2-2bc cos A ; b 2=c 2+a 2-2ca cos B ; c 2=a 2+b 2-2ab cos C

面积定理：

111

ah a =bh b =ch c （h a 、h b 、h c 分别表示a 、b 、c 边上的高） 222111

（2）S =ab sin C =bc sin A =ca sin B

222

内角和定理 ：在△ABC 中，有A +B +C =π⇔C =π-(A +B )

C πA +B ⇔=-⇔2C =2π-2(A +B )

222

A +B C A +B C

) =cos ；cos() =sin sin(A +B ) =sin C ；cos(A +B ) =-cos C ；sin(2222

（1）S =

五、向量：

实数与向量的积的运算律:设λ、μ为实数，那么：

(1) 结合律：λ(μa )=(λμ) a ;

(2)第一分配律：(λ+μ) a =λa +μa ;

(3)第二分配律：λ(a +b )=λa +λb .

（4）a 与b 的数量积(或内积) ：a ²b =|a ||b |cos θ

平面向量的坐标运算：

(3)设A (x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) , 则AB =OB -OA =(x 2-x 1, y 2-y 1) .

(4)设a =(x , y ), λ∈R ， 则λa =(λx , λy ) .

(5)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a ²b =(x 1x 2+y 1y 2) 是一个数值

两向量的夹角：

(1)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a +b =(x 1+x 2, y 1+y 2) .

(2)设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，则a -b =(x 1-x 2, y 1-y 2) .

a ⋅b

cos θ==

|a |⋅|b |

(a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ).

平面两点间的距离：

|AB |= d

A , B = (A(x 1, y 1) ，B (x 2, y 2) ).

向量的平行与垂直 ：设a =(x 1, y 1) , b =(x 2, y 2) ，且b ≠0，则：

a ||b ⇔b =λa ⇔x 1y 2-x 2y 1=0. （交叉相乘差为零）

a ⊥b (a ≠0) ⇔ a ²b =0⇔x 1x 2+y 1y 2=0. （对应相乘和为零）

线段定比分点：设P 1(x 1, y 1) ，P 2(x 2, y 2) ，P (x , y ) 是线段PP 12的分点, PP 1=λPP 2

x +λx 2y +λy 2

y =1则x =1

1+λ1+λ

六、不等式：

（1）a , b ∈R ⇒a +b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时取“=”号) ．

2

2

a +b

≥当且仅当a ＝b 时取“=”号) ． 2

（3）a 3+b 3+c 3≥3abc (a >0, b >0, c >0)

（2）a , b ∈

R +⇒

（4）a -b ≤a +b ≤a +b

2ab a +b （5

）当且仅当a ＝b 时取“=”号) ≤≤≤

a +b 2⎧a =a (a >0) ⎪

（6）a =⎨a =0(a =0)

⎪a =-a (a

不等式解法：

一元二次不等式ax +bx +c 的解

1当(a >0, ∆=b -4ac >0) 时 ○

2

2

ax 2+bx +c 0的解x x 2 (x 1

2

2当(a >0, ∆=b -4ac >0) 时 ○

ax 2+bx +c

b

ax 2+bx +c >0的解x ≠-

2a

2

3当(a >0, ∆=b -4ac >0) 时 ○

ax 2+bx +c 0的解全体实数

注：当a 0时，有 x

x >a ⇔x 2>a 2⇔x >a 或x

七、排列组合以及概率：

分类计数原理（加法原理）：N =m 1+m 2+ +m n . 分步计数原理（乘法原理）：N =m 1⨯m 2⨯ ⨯m n .

m 排列数公式 ：A n =n (n -1) (n -m +1) =

n ！

.(n ，且m ≤n ) ．规定0! =1. m ∈N *，

(n -m ) ！

组合数公式：C

m

n =

n ！A n m n (n -1) (n -m +1) *

m ∈N ，==(∈N ，且m ≤n ). n m

1⨯2⨯ ⨯m m ！⋅(n -m ) ！A m

m n -m m m -1m 0

组合数的两个性质:(1)C n =C n ;(2) C n +C n =C n +1. 规定C n =1.

互斥事件：不可能同时发生的事件。

A , B 分别发生的概率的和：P (A +B ) =P (A ) +P (B )

n 个互斥事件分别发生的概率的：P (A 1+A 2+... A n ) =P (A 1) +P (A 2) +... P (A n )

独立事件：事件A （或B ）是否发生对事件B （A ）发生的概率没有影响。

A , B 同时发生的概率：P (A B ) =P (A ) P (B ) n 个独立事件同时发生的概率：P (A A 2 ... A n ) =P (A 1) P (A 2) ... P (A n ) 1 独立重复试验：一系列的重复实验

k k n -k n 次独立重复试验中某事件恰好发生k 次的概率：P (k ) =C P (1-P ) . n n

八、统计：

1

(x +x +... x ) n 12222

方差：S =[(x 1-x ) +(x 2-x ) +...(x n -x ) ]

n

平均数：x =

函数与几何

一、函数基本知识

函数单调性:

增函数：设f (x ) 在x ∈D 上，若对任意的x 1, x 2∈D 且x 1

减函数：设f (x ) 在x ∈D 上，若对任意的x 1, x 2∈D 且x 1f (x 2) 成立，则f (x ) 在x ∈D 上是减函数。D 则是f (x ) 的递减区间。

单调性性质：(1)、增函数+增函数=增函数；（2）、减函数+减函数=减函数；

(3)、增函数-减函数=增函数；(4)、减函数-增函数=减函数；

单调性解法：

（1）根据定义求解

（2）设x 1, x 2∈[a , b ], x 1≠x 2那么

(x 1-x 2) [f (x 1) -f (x 2) ]>0⇔

f (x 1) -f (x 2)

>0⇔f (x ) 在[a , b ]上是增函数；

x 1-x 2

f (x 1) -f (x 2)

x 1-x 2

(3)导数法：设函数y =f (x ) 在某个区间内可导，如果f '(x ) >0，则f (x ) 为增函数；如果f '(x )

函数奇偶性：（注：是奇偶函数的前提条件是：定义域必须关于原点对称） 奇函数：定义：在前提条件下，若有f (-x ) =-f (x ) ，则f (x ) 就是奇函数。 性质：（1）、奇函数的图象关于原点对称；

（2）、奇函数在x >0和x

（3）、定义在R 上的奇函数，有f (0)=0 .

偶函数：定义：在前提条件下，若有f (-x ) =f (x ) ，则f (x ) 就是偶函数。 性质：（1）、偶函数的图象关于y 轴对称；

（2）、偶函数在x >0和x

(1)、奇函数²偶函数=奇函数； （2）、奇函数²奇函数=偶函数；

(3)、偶奇函数²偶函数=偶函数； (4)、奇函数±奇函数=奇函数（也可能偶函数） (5)、偶函数±偶函数=偶函数； (6)、奇函数±偶函数=非奇非偶函数 奇偶性解法：

（1）前提条件下（定义域必须关于原点对称）如果一个函数的图象关于原点对称，那么这个函数是奇函数；如果一个函数的图象关于y 轴对称，那么这个函数是偶函数． （2）定义法：f (-x ) =-f (x ) ，则f (x ) 就是奇函数；f (-x ) =f (x ) ，则f (x ) 就是偶函数。

函数的周期性：

定义：对函数f (x ) ，若存在T ≠0，使得f (x +T ) =f (x ) ，则就叫f (x ) 是周期函数。 周期函数几种常见的表述形式：

(1)、f (x +T ) =f (-x ) ，此时周期为2T ； （2）、 f (x +m ) =f (x +n ) ，此时周期为2m -n ； (3)、f (x +m ) =-

1

，此时周期为2m f (x )

2π |ω|

（4）、函数y =sin(ωx +ϕ) ，或者y =cos(ωx +ϕ) ，此时周期为T =

函数y =tan(ωx +ϕ) ，x ≠k π+

π

2

, k ∈Z ，此时周期T =

π

|ω|

二、直线（一次函数）

直线的方程：（1）点斜式 y -y 1=k (x -x 1) (直线l 过点P 1(x 1, y 1) ，且斜率为k ) ．

（2）一般式 Ax +By +C =0(其中A 、B 不同时为0).

斜率公式 ：tan α=k =

y 2-y 1

（P 1(x 1, y 1) 、P 2(x 2, y 2) 、α为倾斜角）.

x 2-x 1

两直线夹角：tan α=|

k 2-k 1

|.

1+k 2k 1

两直线平行：k 1=k 2 两直线垂直：k 1*k 2=-1

点线距离：d =

线段A (x 1, y 1) ,B (x 2, y 2) 的中点坐标（

x 1+x 2y +y 2

，1） 22

三、二次函数(特殊抛物线

f (x ) =ax 2+bx +c (a ≠0)

2

①若∆=b -4ac >0, 则x 1,2=b 2

②若∆=b -4ac =0, 则x 1=x 2=-

2a

2

③若∆=b -4ac

b 24ac -b 22

y =ax +bx +c =a (x +) +(a ≠0) 也可看成抛物线

2a 4a

b 4ac -b 2b 4ac -b 2+14ac -b 2-1, ) 焦点(-, ) 准线：y =顶点(-. 2a 4a 2a 4a 4a

x

(1)、 y =a (a >1) 在定义域内是单调递增函数； （2）、 y =a (0

x

(1)、 y =log a x (a >1) 在定义域内是单调递增函数； （2）、y =log a x (00

+(1,∞

(4)、log a x

f (x ) =sin x 定义域R ，值域[-1,1]， k π- 单调性：x ∈[2

π

2

, k 2π+

π

2

(]k ∈z ) 单增 3π

](k ∈z ) 单减 2

x ∈[2k π+

π

2

, 2k π+

奇偶性：奇函数 周期：T =

2π

最小正周期为2π |ω|

f (x ) =cos x 定义域R ，值域[-1,1]， k -1π) , k π2(k ∈z ) 单增 单调性：x ∈[(2

x ∈[2k π,(2k +1) π](k ∈z ) 单减 奇偶性：偶函数 周期：T =

2π

最小正周期为2π |ω|

b c o s x 类型要化为f (x ) =A sin(x +θ) 或者最值（值域）问题：1、当f (x ) =a sin x +

f (x ) =A cos(x +θ) 的形式，sin 和cos 的值域是[-1,1]即可求的最值（以及周期）。

2、当f (x ) =a s i n x +b s i n 2x 或者f (x ) =a sin x +b cos 2x 时，化

o s 2为顶点式的二次函数即可求得最值（若出现的是f (x ) =a sin x +b cos 2x ，把c

幂为2cos x -1即可）

2

x 升

总之，不管一个三角函数式子有多复杂，借助公式化为单个同名三角函数即可求得最值（值域）、周期、奇偶性。奇偶性一般直接用f (-x ) =-f (x ) 和f (-x ) =f (x ) 求解。

七、圆：

圆的方程：

2

2

2

1、圆的标准方程 (x -a ) +(y -b ) =r . （圆心（a ，b ）半径r ） 2、圆的一般方程 x +y +Dx +Ey +F =0(圆心为（

2

2

-D -E

, ），半

径22

r =

2

3、两点式：(x -x 1)(x -x 2) +(y -y 1)(y -y 2) =0(已知圆上两点求圆的方程) 圆与点：点P (x 0, y 0) 与圆(x -a ) +(y -b ) =r 的位置关系有三种：

若d =

2

2

2

d >r ⇔点P 在圆外; d =r ⇔点P 在圆上; d

2

2

2

圆与直线：1、在x +y =r （圆心在原点）的圆上一点P (x 1, y 1) 引一条直线的方程是xx 1+yy 1=r

2、在(x -a ) +(y -b ) =r （圆心不在原点）外面的一点P (x 1, y 1) 引出的切线有2条，解法：令直线方程为：y -y 1=k (x -x 1) 化为一般式后为kx -y +y 1-kx 1=0，

2

2

2

2

圆心（

a ，b ）到该直线的距离等于半径：d =

=r 即

d =ka -b +y 1-kx 1=两边平方解得2个解即为此2切线。

直线与圆的位置关系：直线Ax +By +C =0与圆(x -a ) 2+(y -b ) 2=r 2的位置关系有三种(d =

Aa +Bb +C

2

2

A +B

d >r ⇔相离⇔∆0.

):

两圆位置关系:设两圆圆心分别为O 1，O 2，半径分别为r 1，r 2，O 1O 2=d ，则：

d >r 1+r 2⇔外离⇔4条公切线; d =r 1+r 2⇔外切⇔3条公切线;

r 2-r 1+rr 1-r 2

八、椭圆：

定义一：MF 1+MF 2=2a >|F 1F 2|=2c

x 2y 2

标准方程：2+2=1(a >b >0) 长轴长2a 短轴长2b

a b

c

定义二：M 到同边焦点的距离与M 到准线距离的比等于e = (0

a

c a 22

22

离心率：e = 关系：a =b +c 准线：x (y ) =±

a c

九、双曲线：

定义一：|MF 1-MF 2|=2a

x 2y 2

标准方程：2-2=1(a >b >0) 长轴长2a 短轴长2b

a b

c

(e >1) a

c a 2b 222

离心率：e = 关系：c =a +b 准线：x (y ) =± 渐近线：y =±x

a a c

x y x 2y 2b

若渐近线方程为y =±x ⇔±=0⇒双曲线可设为2-2=λ

a b a a b

x 2y 2x 2y 2

若双曲线与2-2=1有公共渐近线，可设为2-2=λ

a b a b

任何情况下，焦点到渐近线的距离等于b

定义二：M 到同边焦点的距离与M 到准线距离的比等于e =

十、抛物线：

p p ,0) 准线：x (y ) =± 22

定义：M 到焦点的距离与M 到准线距离相等

方程：右开口：y 2=2px 左开口：y 2=-2px 上开口：x 2=2py 下开口：x 2=-2py 离心率：e =1 (右开口) 焦点：(

注：直线与圆锥曲线相交的弦长公式

AB =

（弦端点

⎧y =kx +b 2

由方程⎨ 消去y 得到ax +bx +c =0方程的解A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) ，

⎩F 圆锥(x , y ) =0

是的A , B 横坐标. 再带入直线方程解得A , B 纵坐标即可解得弦长。