投资组合问题
例4.3.1 投资组合问题.美国某三种股票（A，B，C）12年（1943-1954）的投资收益率（收益率=（本金+收益）/本金）如表4.3.1所示（表中还列出各年度500种股票的指数供参考）。假设你在1955年有一笔资金打算投资这三种股票，希望年收益率达到1.15，试给出风险最小的投资方案。
表4.3.1 美国三种股票1943-1954的收益率
年 份 1934 1944 1945 1946 1947 1948 1949 1950 1951 1952 1953 1954 平 均
股票A 1.3 1.103 1.216 0.954 0.929 1.056 1.038 1.089 1.09 1.083 1.035 1.176 1.0891
股票C 1.225 1.29 1.216 0.728 1.144 1.107 1.321 1.305 1.195 1.39 0.928 1.715 1.2137
股票C 1.149 1.26 1.419 0.922 1.169 0.965 1.133 1.732 1.021 1.313 1.006 1.908 1.2346
股票指数 1.258997 1.197526 1.364361 0.919287 1.057080 1.055012 1.187925 1.317130 1.240164 1.183675 0.990108 1.526236
分析 设投资三种股票的资金份额分别为xi(i=1,2,3)，则有
0≤xi≤1,且∑xi=1. （4.3.1）
i=1
3
投资的年收益率为Y=∑xiRi，其中是第i种股票的年收益率，它是
i=1
3
随机变量，用每种股票12年的平均收益率Ri代表股票年收益率的数学期望E(Ri)，则Y的数学期望为
E(Y)=E(∑xiRi)=∑xiE(Ri)=∑xiRi
i=1
i=1
i=1
3
3
3
（4.3.2）
投资者希望年收益率达到1.15，数学表达式为
∑xR
i
i=1
3
i
≥1.15 （4.3.3）
用什么来衡量投资的风险呢？Markowitz建议用收益率的方差或标准差来衡量，即方差越大则风险越大，反之则风险小. 按概率论知识，Y的方差为
D(Y)=D(∑xiRi)=(∑xi2Ri)
i=1
i=1
33
+2x1x2cov(R1,R2)+2x1x3cov(R1,R3)+2x2x3cov(R2,R3)
式中cov(Ri,Rj)是随机变量Ri和Rj之间的协方差，当i=j时，协方差即方差，于是上式可写成
D(Y)=∑∑xixjcov(Ri,Rj) （4.3.4）
i=1j=1
33
当i=1~3,j=1~3,时，cov(Ri,Rj)构成一个3⨯3对称矩阵，称为协方差矩阵，它的主对角线3个元素分别是R1,R2和R3的方差。把求式（4.3.4）的最小值作为目标函数，将式（4.3.1）和式（4.3.3）作为约
束条件，建立规划模型如下：
minZ=∑∑xixjcov(Ri,Rj)
i=1j=1
33
⎧3
⎪∑xiRi≥1.15,⎪i=1⎨ 3
⎪0≤x≤1,x=1.
∑ii
⎪i=1⎩
用Excel求得相关数据如下： 包括原数据、平均值、协方差
用LINGO求解该模型，程序如下：
经过调试运行结果如下：
Local optimal solution found.
Objective value: 0.2054602E-01 Infeasibilities: 0.5551115E-16
Extended solver steps: 2
Total solver iterations: 16
Export Summary Report ---------------------
Transfer Method: OLE BASED
Workbook: D:\数学建模相关\LINGO 练习\投资组合 Ranges Specified: 1 投资份额
Ranges Found: 1 Range Size Mismatches: 0 Values Transferred: 3
Variable Value Reduced Cost MEAN( A) 1.089083 0.000000 MEAN( B) 1.213667 0.000000 MEAN( C) 1.234583 0.000000 X( A) 0.5300907 0.000000 X( B) 0.3564207 0.000000 X( C) 0.1134886 0.000000 COV( A, A) 0.9907000E-02 0.000000 COV( A, B) 0.1137300E-01 0.000000 COV( A, C) 0.1198600E-01 0.000000 COV( B, A) 0.1137300E-01 0.000000 COV( B, B) 0.5352600E-01 0.000000 COV( B, C) 0.5080800E-01 0.000000 COV( C, A) 0.1198600E-01 0.000000 COV( C, B) 0.5080800E-01 0.000000 COV( C, C) 0.8637500E-01 0.000000
Row Slack or Surplus Dual Price 1 0.2054602E-01 -1.000000 2 0.000000 0.3319634 3 0.000000 -0.3243960
导出的数据见附件Excel-投资组合.xlsx