梅涅劳斯定理与塞瓦定理
塞瓦定理 设O是△ABC内任意一点,
AB、BO、CO分别交对边于D、E、F,则 BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
(Ⅰ)本题可利用梅内劳斯定理证明:
∵△ADC被直线BOE所截,
∴ CB/BD*DO/OA*AE/EC=1 ①
而由△ABD被直线COF所截,∴ BC/CD*DO/OA*AF/DF=1②
①÷②:即得:BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
(Ⅱ)也可以利用面积关系证明
∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③
同理 CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤
③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1
塞瓦定理:
设
P、Q、R分别是ABC的BC、CA、AB边上的点,则AP、BQ、CR三线共点
BPCQAR
的充要条件是:1
PCQARB
证:先证必要性:设AP、BQ、CR相交于点M,则:BPSABPSBMPSABMCQSBCMARSACM
,
PCSACPSCMPSACMQASABMRBSBCM
BPCQAR1
PCQARBBPCQAR‘
再证充分性:若1,设AP与BQ相交于M,且直线CM交AB于R,
PCQARBBPCQAR拻ARAR
‘1‘因为R和R’都在线
PCQARBRBRB段AB上,所以R’必与R重合,故AP、BQ、CR相交于一点点M;
例1:证明:三角形的中线交于一点;
ACBACB
证明:记ABC的中线AA1,BB1,CC1,我们只须证明1111
C1BACB1A1
AC1BA1CB1
而显然有:AC1C1B,BA1AC,CBBA即1成立,ABC交于一点;11【练习1】证明:三角形的角平【练习2】证明:锐角三角形的例2:在锐角ABC中,角C的平分线交
于AB于L,从L作边AC和BC的垂线,垂足分别是M和N,设AN和BM的交点是
P,证明:CPAB
证:作CKAB下证CK、BM、AN三线共点,且为P点,要证CK、BM、AN三线共点,
AMCNBK
依塞瓦定理1又MCCN
MCNBAK
AMBKAMAL
1AMLAKC
AKNBAKAC
BKBCALBC
BNLBKC即要证1NBBLACBL
ALBC1ACBL
CK、BM、AN三线共点,且为P点CPAB
例3.设AD是ABC的高,且D在BC边上,若P是AD上任一点,BP、CP分别与AC、AB交于E和F,则EDA=FDA
证:过A作AD的垂线,与DE、DF的延长线分别交于M、N。欲证EDAFDA, 可以转化为证明AMAN
ADBC故MN//BC,可得AMECDE,ANFBDFAMAEANAFAECDAFBD,,于是AM,ANCDCEBDBFCEBF
BDCEAF
AD、BE、CF共点于P1
DCEAFB
AECDAFBDAMANEDAFDA
CEBF
【练习3】已知ABC外有三点M、N、R,且BARCAN,CBMABR,ACNBCM,证明:AM、BN、CR三线共点;
例4.在ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1,
ACBACBsinACC1sinBAA1sinCBB1
111
C1BACB1AsinC1CBsinA1ACsinB1BA1
证:如图对ACC1和BCC1应用正弦定理,可得:AC1sinACC1CC1ACsinACC1sinBsinB
1C1CsinAC1BsinC1CBC1BsinC1CBsinA
BAsinBAA1sinCCB1sinCBB1sinA
1,
A1CsinA1ACsinBB1AsinB1BAsinCAC1BA1CB1sinACC1sinBAA1sinCBB1
从而
C1BA1CB1AsinC1CBsinA1ACsinB1BA
【练习4】在ABC的边BC、CA、AB上取点A1、B1、C1,使AA1、BB1、CC1相交于一点,证明,关于角平分线对称于这些直线的直线AA2、BB2、CC2也相交于一点;
课外作业:
1.设A1、B1、C1是ABC的内切圆与边BC、CA、AB的切点,证明:直线AA1、BB1、CC1三线共点;
2.从圆上的点A、D引切线,相交于点S。在AD弧上取点B和C,直线AC和BD相交于
P,AB和CD相交于点Q,证明,直线PQ过点S;3.在ABC的边上向外作正方形,A1、B1、C1是正方形的边BC、CA、AB的对边的中点,证明,直线AA1、BB1、CC1相交于一点;
练习1答案:证:记ABC的角平分线分别是AA1,BB1,CC1,
AC1bBA1cCB1a
,,C1BaACbBAc11
ACBACB
1111三角形的角平分线交于一点;C1BACB1A1
练习2答案:证:记锐角ABC的角平分线分别是AA1,BB1,CC1,
2
2
2
2
a2b2c2
设CB1=x,那么AB1=bx,则:c(bx)BB1axCB1x
2b
c2b2a2b2c2a2a2c2b2
则:B1A同理可得:AC1,C1B
2b2c2c
AC1BA1CB1c2a2b2b2a2c2
BA1,A1C1
2a2aC1BA1CB1A锐角三角形的三条高交于一点;
练习3的答案:证:设AM与BC交于M',BN与AC交于N',CR与AB交于R',ABC的三个内角分别记为A、B、C
1
SABM‘ABsinBAMBMABsinsin(B) ‘
1CMSACM‘ACsinCAMACCMsin(C)ACsinsin(C)AM
‘
BM‘ABsinsin(B)CN'BCsinsin(C)ARCAsinsin(A)‘==,=‘
CMACsinsin(C)AN'BAsinsin(A)BRCBsinsin(B)
‘
ABBMsin(A)
BM'CN'AR'=1,根据塞瓦定理可知:AM'、BN'、CR'三点共线。
CM'AN'BR'
练习4的答案:
证:A2、B2、C2位于ABC的边上,根据例4的结论有:AC2BA2CB2sinACC2sinBAA2sinCBB2
C2BA2CB2AsinC2CBsinA2ACsinB2BA又AA2、BB2、CC2关于角平分线对称于AA1、BB1、CC1,则ACC2C1CB,ACC1C2CB,
sinACC2sinBAA2sinCBB2sinC1CBsinA1ACsinB1BA
sinC2CBsinA2ACsinB2BAsinACC1sinBAA1sinCBB1从而
C1BACBA
111AC1BA1CB1
AC2BA2CB2
1AA2、BB2、CC2三线共点C2BA2CB2A
课后练习答案:
1.证:显然AC1B1A,BA1C1B,CB1A1C
AC1BA1CB1
1即:AA1、BB1、CC1三线共点C1BA1CB1A
sinASPsinDAPsinSPPsinASQsinCAQsinSDQ2.1
sinPSCsinPASsinPPAsinQSCsinQASsinQDA
又DAPSDQ,SDPDAQ,PASQDA,PDAQAS, sinASPsinASQS、P、Q位于一条直线上sinPSDsinQSD
3.证:记直线AA1、BB1、CC1与边BC、CA、AB的交点分别为A2、B2、C2
BA2SABA1ABBA1sinABAABsin(B)1
=
A2CSACA1ACCA1sinACA1ACsin(C)其中=CBA1BCA1arctan2CBBCsin(C)2
B2AABsin(A)将上面三条等式相乘可得:BA2CB2AC2
=1A2CB2AC2B
AA1、BB1、CC1共点
AC2ACsin(A)
C2BBCsin(B)
说明:赛瓦定理的逆定理是证明线共点类问题的一把利器! 如三角形中三条高、三条角平分线、三条中线共点都
可以利用塞瓦定理的逆定理很轻松地解决。
说明:恰当的选择截线是应用梅涅劳斯定理的关键, 其逆定理常用于证明点共线,应用很广泛。 解决比较复杂的问题时注意赛瓦定理与梅涅
劳斯定理联用。
一、选择题
1、如图:设一直线与△ABC的边AB、AC及BC延长线分别交于X、Y、Z,则
Z
AXBZAY
与的关系为 ( ) XBZCCYAXBZAYAXBZAYAXBZAY
A、 B 、 C、 D、XBZCCYXBZCCYXBZCCY
不能确定
2、如图:设X、Y、Z分别是△ABC的边BC、AC、AB上的点,AX、BY、CZ相
B
C 第1题
Z
Y
AZBXAY
与的关系为 ( ) ZBXCYC
AZBXAYAZBXAYAZBXAY
A、; B 、 ; C 、 ; D 、 ZBXCYCZBXCYCZBXCYC
交于点O,则
B
X
C
第2题
不能确定
A
3、如图,在△ABC中,F点分AC成1:2,G是BF的中点,AG的延长线交BC于EE分BC边
F
所成的比为 ( )
1121A、 B、 C、 D、
4253
G
B
E
第3题
C
4、如图,F、D、E分等边△ABC的三边AB、BC、CA均为1:2两部分,AD、BE、CF相交成△PQR
A
的面积是△ABC面积的 ( )
A、
1111
B、 C、 D、
98710
B
F
R
E 第4题
C
D