特殊积分方法举例
特殊积分方法举例
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1、利用概率分布函数积分
将函数形式转换为概率分布函数形式（或其它类似复杂函数），能迅速解决常规方法不能解决的积分。
例：⎰x 2
x 1e -x dx =？
2
解：联系到正态分布密度函数p (x ) =⎰x 2
x 1-2t dx ，往上凑成这个形式就好办了。 x 2
⎰x 2
x 1e -x dx
2
x 2⎰2x 12
[Φ(x 2) -Φ(x 1) ] 2
查正态分布表，即得结果。
2、利用复数形式
将实数上的积分扩展到复数域上，有时能极大地简化。
例：⎰x 2
x 1sin xe -x dx =？
j ωx 解：联系到复数中的欧拉公式e
积分，左右均相等。 =cos(ωx ) +j sin(ωx ) ，注：容易验证这个公式求导、
⎰
=
=
=x 2x 1[cos(x ) +j sin(x )]e -x dx e jx e -x dx ⎰x 2x 1x 2⎰x 1e (j -1) x dx 1(j -1) x x 2e |x 1 j -1
1+j (j -1) x x 2e |x 1 -2
1+j jx -x x 2e e |x 1 =-2
1+j 2(cosx +j sin x ) e -x |x =x 1 -2=
显然⎰x 2
x 1sin xe dx 是⎰[cos(x ) +j sin(x )]sinxe -x dx 的虚部，故： -x x 1x 2
⎰x 2
x 1sin xe -x dx 1j 2cos xe -x +j sin xe -x ]|x
x 1 -2-2
11-x -x x 2=[-cos xe +sin xe ]|x 1 22=[
3、利用对称性
如果函数能利用对称性能降低积分难度，那就用使用对称性（脑海里要意识到函数的对称图像）
例：⎰π/2
0(sinx ) 2dx =？
解：联系到在第一象限，对任意x ，与sin x 对称位置
针积分π2-x 有cos t =sin x 。(sinx ) 2逆时ππ2，相当于(cosx ) 顺时针积分。 22
2⎰
=
=π/20(sinx ) dx +⎰π/20(cosx ) 2dx ⎰π/2012dx π 2
π/2
0⎰(sinx ) dx =⎰2π/20(cosx ) 2dx
所以，⎰π/2
0(sinx ) 2dx =π 4
4、数值积分
如果是解决实际问题，那就不必要知道解释式了，实际问题也很少能得到解析式。 使用差分方法、直接面积求和，满足精度就可以了（matlab 有积分函数，前提是要有原函数的解析式）。
注：如果纯粹理论研究，尤其学生学习阶段，多研究解析函数的积分是可取的。如果是实际应用，我觉得还是多学习下编程吧，研究数值积分才有意义，用数值积分才能更好地解决实际问题。