梯形和圆为背景的有关计算
梯形和圆为背景的图形有关计算
一、直角梯形直角梯形直腰为直径的圆的有关计算
例:直角梯形ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于E, 基本结论有:
图3图2图1
(1)如图1:①AD+BC=CD ; ②∠COD =∠AEB =90°; ③OD 平分∠ADC (或OC 平分∠BCD );(注:在①、②、③及④“CD 是⊙O 的切线”四个论断中,知一推三)
④AD·BC =
1
AB 2=R 2; 4
(2)如图2,连AE 、CO ,则有:CO ∥AE ,CO•AE=2R 2(与基本图形2重合) (3)如图3,若EF ⊥AB 于F ,交AC 于G ,则:EG =FG .
1、以AB 为直径的⊙O 分别与四边形ABCD 的边AD 、CD 、BC 切于A 、E 、B ,DB=DC。 (1)如图1,求证:BC=2AD;
(2)如图2,延长OE 、AD 交于点P ,tan ∠P 的值。
C
B B
图2图1
2、以AB 为直径的⊙O 分别与四边形ABCD 的边AD 、CD 、BC 切于A 、E 、B ,CE=4DE。 (1)如图1, 求证:AB=BC;
OM
(2)如图2,OE 、BD 交于点M ,求的值。
ME
C C B B
图1图2
1
P
3、如图1,AB 为⊙O 的直径,AD 与⊙O 相切于点A ,DE 与⊙O 相切于点E ,点C 为DE 延长线上一点,且CE=CB。 (1)求证:BC 为⊙O 的切线;
(2)连接AE ,AE 的延长线与BC 的延长线交于点G (如图2所示)。若AB=25,AD=2,
求线段BC 和EG 的长。
E B
图1
B
图2
G
4、如图,AB 是⊙O 的直径,BC ⊥AB ,过点C 作⊙O 的切线CE ,点D 是CE 延长线上一点,连结AD ,且AD+BC=CD.
(1)求证:AD 是⊙O 的切线;
(2)设OE 交AC 于F ,若OF =3,EF =2,求线段BC 的长.
二、直角梯形直角梯形斜腰为直径的圆的有关计算
例题2:直角梯形ABCD 中,∠BCD =90°,AB=AD+BC,AB 为直径的圆交BC 于E ,连OC 、BD 交于F . D ⑴求证:CD 为⊙O 的切线 ⑵若
BE 3BF
,求的值 AB 5DF
1、梯形BCED 中,DE ∥BC ,BD=CD,∠BCE=90° ,以BD 为直径的⊙O 交CE 于F 、G ,交BC 于M 。
(1)求证:BC=2DE (2)若DE=2,CF=8求⊙O 的直径。
2
B
2、已知四边形ABCD 中,∠CD=∠90°,过A 、B 两点的⊙O 与边CD 切于点P 。 (1)如图1,若AB 为⊙O 的直径,AD ≠BC ,求证:AD+BC=AB;
3
(2)如图2,若AD =BC ,且tan ∠APD=,求cos ∠APB 的值。
2
P P
图2
图1
3、如图,AB 为半圆⊙O 的直径,AC=BD,过B 作⊙O 的切线交AD 的延长线于E ,EG ⊥AC 于G ,BN ⊥EG 于N ,连DC 。 (1)求证:AC=BN;
12
,求EG 的长。 (2)若AB=4,DC=5N
E
A
4、如图,在等腰梯形ABCD 中,AD ∥BC ,O 是CD 边的中点,以O 为圆心,OC 长为半径作圆,交BC 边于点E ,过E 作EH ⊥AB ,垂足为H ,已知⊙O 与AB 边相切,切点为F 。 (1)求证:OE ∥AB ;
1
(2)求证:EH=AB
2
BH 1BH
,求(3)若的值。 BE 4CE
3